Momentum Sudut (Bagian 2).

Presentasi berjudul: "Momentum Sudut (Bagian 2)."— Transcript presentasi:

1 Momentum Sudut (Bagian 2)

2 Rotasi dalam Mekanika Kuantum:
Pengenalan Konsep Rotasi dalam Mekanika Kuantum: Sistem Koordinat Bola Harmonik Sferis (Spherical Harmonics) Momentum Sudut Orbital Momentum Sudut Intrinsik (Spin)

3 Tinjau partikel yang bergerak di permukaan bola
dengan radius r. Hamiltonian diberikan oleh: karena energi potensial uniform di permukaan bola dan dapat diambil sama dengan nol. Laplacian: Harus dipecahkan:

4 dengan: Harus dipecahkan:

5 Separasi variabel: ψ(r,θ,ϕ)= R(r)Y(θ,ϕ), maka:
Bagi kedua ruas persamaan dengan RY, menghasilkan:

6 Kalikan dengan -2mr2/ħ2, maka dapat dipisahkan menjadi:
Tuliskan: yaitu bagian radial dan bagian sudut sepenuhnya terpisah. Selanjutnya, kita asumsikan bagian sudut azimut dan zenit juga dapat dipisahkan, yaitu Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ), dan kita ambil:

7 Memberikan: dan: Menghasilkan separasi variabel lebih lanjut, yaitu:

8 Memberikan: Persamaan azimut telah dipecahkan, sedangkan persamaan theta merupakan persamaan diferensial Legendre terasosiasi: Untuk ml = 0, menjadi persamaan diferensial Legendre:  Dipecahkan dengan metode Frobenius-Fuchs

9 Fungsi Legendre; Polinom Legendre derajat-l, dalam formula Rodriguez (dengan w = cos θ):
Fungsi Legendre terasosiasi: Dengan syarat:

10

11

12 Jadi didapat solusi umum:

13 Persamaan: Kita tuliskan dengan:

14 Persamaan diferensial:
Sebenarnya merupakan persamaan untuk θ dan φ yang pada dasarnya dapat dilakukan separasi variabel, dan ruas kiri dapat disertakan dalam komponen radial r.

15 Bagian φ telah dipecahkan, dan bagian θ merupakan
persamaan diferensial Legendre, yang memiliki solusi analitik. Solusi untuk bagian θ dan φ dinamakan sebagai harmonik sferis (Yl,m), dituliskan: dengan Pl|m| adalah polinom Legendre

16

17 Bagaimana dengan E? Sehingga:

18 Catatan: Dalam mekanika kuantum, sebuah operator  yang
merepresentasikan suatu konstanta gerak akan komut dengan hamiltonian, yaitu: [Ĥ,Â] = 0 yang berarti bahwa kita dapat menemukan fungsi-fungsi eigen yang berlaku untuk kedua operator  dan Ĥ.

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33 Representasi momentum sudut dengan komponen dalam sumbu-z
Representasi momentum sudut dengan komponen dalam sumbu-z. Tetapi, karena sudut azimut mengelilingi sumbu-z tak menentu, gambaran (b) lebih tepat, dengan setiap vektor terletak pada sudut azimut sebarang pada kerucut.

34

35

36