KETAKSAMAAN MARKOV DAN CHEBYSHEV

Presentasi berjudul: "KETAKSAMAAN MARKOV DAN CHEBYSHEV"— Transcript presentasi:

1 KETAKSAMAAN MARKOV DAN CHEBYSHEV
Variansi suatu variabel acak memberi gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar rataan. Variansi kecil menunjukkan pengamatan mengelompok di dekat rataan. Akibatnya peluang suatu variabel acak mendapat nilai dalam suatu selang tertentu di sekitar rataan akan lebih besar dari variabel acak serupa yang lebih besar simpangan bakunya.

2 Ketaksamaan Markov dan Chebyshev membantu kita dalam menentukan rentang peluang (batas atas dan batas bawah suatu peluang) jika distribusi peluang ataupun fungsi distribusi tidak diketahui, tapi melalui rata-rata dan variansi dari variabel acak tersebut.

3 Teorema : Ketaksamaan CHEBYSHEV
Misalkan variabel acak X mempunyai distribusi Peluang ( asumsikan hanya diketahui varians dan rata-rata ) maka  k>0

4 Bukti : Karena maka dengan ketaksamaan Markov,

5 Jadi Selanjutnya apabila k diganti dengan k, maka :

6 Jadi, teorema Chebyshev mengatakan,
Misalkan X variabel acak dengan mean , variansi Untuk suatu konstanta c dan k, pernyataan berikut ekivalen : Batas atas Batas bawah

7 Contoh: 1. Jika X adalah variabel acak dengan dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, tentukan batas bawah untuk

8 Jawab: 1. Dengan ketaksamaan Chebyshev,

9 Batas untuk dan Maka batas bawahnya adalah:

10 2. Jika A adalah variabel acak dimana
dan ada. Perlihatkan bahwa Jawab: Misalkan Dengan ketaksamaan Markov, Maka

11 3. Sebuah kantor pos rata-rata dapat mengirim
surat perhari. Tentukan peluang kantor pos tersebut dapat mengirim a) paling sedikit surat b) kurang dari surat. Jawab: Dengan ketaksaman Markov,

12 3. Lebar gordyn jendela kamar Mira berkisar
antara 42,5 dan 42,5 inci. Mira membeli gordyn di toko yang mempunyai 30 gordyn. Berapa peluang Mira mendapatkan gordyn sesuai keinginannya, jika rata-rata lebar gordyn di toko adalah 42 inci dan simpangan baku 0,25? Jawab: Misalkan lebar gordyn yang dibeli Mira: X Dengan ketaksamaan Chebyshev,

13 k Jadi peluang Mira mendapatkan gordyn sesuai
keiinginannya minimal 75 %.

14 SOAL: 1. Jika X adalah variabel acak yang mempunyai dan ,dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev tentukan: a. b.

15 2. Misalkan X mempunyai pdf Tentukan jika a. b. Hitung secara eksak, bandingkan dengan nilai di atas

16 3. Misalkan X mempunyai peluang di titik x= -1,0,1 berturut-turut. a) Dengan Ketaksamaan Chebyshev, tentukan jika b) Hitung secara eksak (peluang biasa), kemudian bandingkan dengan hasil a). 4. Rata-rata IQ siswa suatu sekolah adalah 110. Jika variansnya 15, apa yang dapat kita katakan tentang prosentase siswa yang ber IQ tidak kurang dari 140?