GRUP BAGIAN.

Presentasi berjudul: "GRUP BAGIAN."— Transcript presentasi:

1 GRUP BAGIAN

2 Grup Bagian Sistem aljabar yang besar biasanya mengandung sistem bagian yang lebih kecil. Sistem yang lebih kecil mungkin lebih penting dan mungkin membangun sistim yang lebih besar. Sebagai contoh grup < R, + > mengandung grup yang lebih kecil seperti < Q , + > dan < Z , + >. Dengan cara yang sama C* = C – { 0 } mengandung R* = R – { 0 }. Contoh-contoh di atas menyarankan bahwa di samping tipe tertentu dari sistim juga dipelajari sistim bagian ( subsystem ) sehingga dalam penelaahan grup juga dibahas tentang sistim bagiannya yang dinamakan grup bagian.

3 Definisi III.1 Suatu grup bagian S dari grup G adalah himpunan dari bagian G yang merupakan grup di bawah operasi yang sama dalam G yang dibatasi pada S. Contoh III.1 Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup bagian dari R. S = { 0,2,4 } merupakan grup bagian dari Z6. Z6 bukan grup bagian dari Z12.

4 Teorema III.1 Diketahui S himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. Himpunan S merupakan grup bagian dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat : 1. e  S, 2. S tertutup di bawah operasi dari G , 3. untuk sebarang x  S, inversnya x-1 terletak dalam S.

5 Contoh III.2 Q* = { p/q | p dan q tidak nol dalam Z } merupakan grup bagian dari R*. Himpunan bilangan genap E merupakan grup bagian dari Z. S = { 3k | k  Z } merupakan grup bagian dari R*.

6 Soal III.1 : Tentukan grup bagian dari Z4 yang dibangun oleh 2. Jawab : Grup Z4 = { 0, 1, 2, 3 } merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo 4. Elemen 2 dalam Z4 sehingga grup bagian yang dibangun oleh 2 adalah (2) = { k . 2 | k  Z} = { 0, 2 }.

7 Soal III.2 Tentukan grup bagian dari R yang dibangun oleh 1. Jawab : Grup R merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Elemen 1 dalam R sehingga grup bagian yang dibangun oleh 1 adalah (1) = { k . 1 | k  Z} = { ….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …… } = Z. Hal itu berarti grup bagian yang dibangun oleh 1 dalam R adalah himpunan bilangan bulat Z.

8 Latihan Grup Bagian

9 Latihan Grup Bagian (lanjutan)

10 TERIMA KASIH