Probabilitas dan Statistika

Presentasi berjudul: "Probabilitas dan Statistika"— Transcript presentasi:

1 Probabilitas dan Statistika
Deskriptif Ukuran Dispersi Range, Standar Deviasi Oleh: Chaerul Anwar, MTI

2

3 Objective Mahasiswa mampu menjelaskan ukuran dispersi, penggunaaan ukuran dispersi dalam statistika Mampu menggunakan bagian dari ukuran dispersi seperti : Range Deviasi Rata – rata Varian Deviasi standar Range inter-kuartil Deviasi kuartil

4 Pendahuluan Ukuran penyebaran Ukuran penyebaran mencakup data
Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya Ukuran penyebaran mencakup data Ungrouped data Data yang belum dikelompokan Grouped data Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi

5 Ukuran Dispersi Ukuran dispersi adalah ukuran variasi atau seberapa jauh nilai tersebar satu dengan lainnya dari gugus data. Aplikasi ukuran dispersi yang sering digunakan adalah standar deviasi. Ukuran dispersi biasanya digunakan bersamaan dengan tendensi sentral untuk mempelajari distribusi data.

6 Ukuran Dispersi Range (Jangkauan Data) – interval terkecil yang memuat semua data. Didapat dengan mencari selisih nilai maksimum dengan nilai minimum. Standar deviasi – menunjukkan seberapa jauh deviasi data pada suatu gugus dari nilai tengahnya. Varians – menunjukkan seberapa jauh penyebaran satu nilai dengan nilai yang lain pada gugus data. Kuartil & Jangkauan antar kuartil – memecahkan data menjadi empat bagian yang rata.

7 Ukuran Dispersi Rentang Kuartil Jangkauan Antar Kuartil Persentil
Jumlah & Interval Kelompok Standar Deviasi

8 Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak Dikelompokan
Range – Jarak Merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel Rumusan Range Range = Nilai terbesar – nilai terkecil Perusahaan Harga Saham Sentul City 530 Tunas Baru 580 proteinprima 650 total 750 Mandiri 840 Range = 840 – 530 = 310

9 Rentang = data terbesar – data terkecil
Merupakan ukuran dispersi yg merupakan selisih nilai maksimum dan minimum. Rentang = data terbesar – data terkecil

10 Deviasi Rata – rata Populasi
Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya Rumusan Deviasi rata –rata ( MD) ∑|x - x| MD = N X = Nilai data pengamatan X = Rata – rata hitung N = Jumlah data

11 Contoh Deviasi Rata - Rata
Perusahaan Indek x - X Nilai Mutlak Sentul City 7.5 1.14 Tunas Baru 8.2 1.84 proteinprima 7.8 1.44 total 4.8 -1.56 1.56 Mandiri 3.5 -2.86 2.86 Total 31.8 8.84 Rata -rata (X) 6.36 MD 1.768 MD = = ∑|x - x| / n = 8.84 / 5 = 1.768

12 Varians dan Standar Deviasi Populasi
Rata – rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata – rata hitungnya Rumus varians populasi µ = (∑ X) / N (X - µ )2  2= N X = Nilai data pengamatan µ = Nilai rata – rata hitung N = Jumlah total data

13 Contoh Kasus Varians (X - µ )2 17.372  2 = = = 3.4744 N 5 Perusahaan
Indek X - µ (X - µ)² Sentul City 7.5 1.14 1.2996 Tunas Baru 8.2 1.84 3.3856 proteinprima 7.8 1.44 2.0736 total 4.8 -1.56 2.4336 Mandiri 3.5 -2.86 8.1796 Jumlah ( ∑X ) 31.8 ∑(X - µ)² 17.372 Rata - rata (µ) 6.36 s² 3.4744 (X - µ )  2 = = = N

14 Standar Deviasi  =  ²  =  N Standar deviasi Rumus standar deviasi
Akar kuadrat dari varians dan menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya Rumus standar deviasi (X - µ )2  =  N  =  ² atau

15 Contoh Kasus Standar Deviasi
Nilai varians : (X - µ )  2 = = = N Nilai standar deviasi :  =  = 1.864 Nilai penyimpangan sebesar 1.864

16 Varians dan Standar Deviasi Sampel
(x - x )2 s 2= n -1 S =  s²

17 Contoh Kasus Sampel Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 s² = 824260 / 9
No Perusahaan Harga saham x - X (x - X)² 1 Jababeka 215 -358 128164 2 Indofarma 290 -283 80089 3 Budi Acid 310 -263 69169 4 Kimia farma 365 -208 43264 5 Sentul City 530 -43 1849 6 Tunas Baru 580 7 49 proteinprima 650 77 5929 8 total 750 177 31329 9 Mandiri 840 267 71289 10 Panin 1200 627 393129 Jumlah 5730 824260 Rata - Rata (X) 573 s² S 302.63 Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 s² = / 9 s² = Standar deviasi : S =  s² S =  S =

18 Contoh Kasus Sampel Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 Standar deviasi :
No Perusahaan Harga saham x - X (x - X)² 1 Jababeka 215 2 Indofarma 290 3 Budi Acid 310 4 Kimia farma 365 5 Sentul City 530 6 Tunas Baru 580 7 proteinprima 650 8 total 750 9 Mandiri 840 10 Panin 1200 Jumlah Rata - Rata (X) s² S Varians : ∑(x – X)² s² = n – 1 Standar deviasi : S =  s² S =  S =

19 Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokan
Range – Jarak Merupakan selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah Rumusan Range Range = Batas atas kelas tertinggi – nilai terkecil

20 Contoh Range Batas atas Kelas terendah Batas atas Kelas tertinggi
= 9754 – 215 = 9539

21 Deviasi Rata - Rata MD = n Rumus deviasi rata - rata
 f. |x - x| MD = n Rata – rata hitung data dikelompokan x = ( f.x ) / n

22 Contoh Kasus MD = (∑f.|x - X|) / n = ..... /..... = ..... Kelas
Interval Kelas f Titik tengah (x) f.x |x - X| f.|x - X| 1 16 24 10 20 2 25 33 18 29 3 34 42 14 38 4 43 51 47 5 52 60 56 6 61 69 65 Total 50 Rata - rata (X) MD = (∑f.|x - X|) / n = /..... = .....

23 Contoh Kasus MD = (∑f.|x - X|) / n = 442.08 / 50 = 8.8416 Kelas
Interval Kelas f Titik tengah (x) f.x |x - X| f.|x - X| 1 16 24 10 20 200 13.68 136.8 2 25 33 18 29 522 4.68 84.24 3 34 42 14 38 532 4.32 60.48 4 43 51 47 188 13.32 53.28 5 52 60 56 112 22.32 44.64 6 61 69 65 130 31.32 62.64 Total 50 1684 89.64 442.08 Rata - rata (X) 33.68 MD = (∑f.|x - X|) / n = / 50 =

24 Varians dan Standar Deviasi data di kelompokan
f. (x - x )2 s 2= n -1 S =  s²

25 Contoh Kasus Varians : Standar deviasi : s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1
Kelas Interval Kelas f Titik tengah (x) f.x |x - X| |x - X|² f.|x - X|² 1 16 24 10 20 200 13.68 2 25 33 18 29 522 4.68 3 34 42 14 38 532 4.32 4 43 51 47 188 13.32 5 52 60 56 112 22.32 6 61 69 65 130 31.32 Total 50 255 1684 89.64 Rata - rata (X) 33.68 Varians : s²= (∑f.|x - X|²)/ n – 1 = / 49 = Standar deviasi : S =  s² =  =

26 Ukuran Penyebaran Relatif
Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatif Penggunaan ukuran relatif memberikan manfaat : Data mempunyai satuan penguikuran yang berbeda Data mempunyai satuan ukuran yang sama

27 Ukuran Penyebaran Relatif
Koefisien range Koefisien deviasi rata-rata Koefisien deviasi standar

28 Koefisien Range Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatif Rumusan : KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 % La : Batas atas data atau kelas tertinggi Lb : Batas bawah data atau kelas terendah

29 Contoh Koefisien Range
Kelas Interval Kelas f 1 16 24 10 2 25 33 18 3 34 42 14 4 43 51 5 52 60 6 61 69 KR : = (La – Lb) / (La + Lb) = (69 – 16 ) / ( ) = 53 / 85 = x 100 % = % La : Kelas tertinggi = 69 Lb : Kelas terendah = 16

30 Koefisien Deviasi Rata - Rata
Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya Rumus : KMD = [ MD / x ] x 100% MD = Deviasi rata - rata X = Nilai rata – rata data

31 Contoh Kasus Data dikelompokan : Koefisien deviasi rata – rata :
MD = X = 33.68 Koefisien deviasi rata – rata : KMD = [ / ] x 100 % = x 100 % = %

32 Koefisien Standar Deviasi
Ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase Rumus KSD = [ s / x ] x 100 % S = Standar deviasi X = Nilai rata – rata data

33 Contoh Kasus Data dikelompokan Standar deviasi = 11.2439
Rata – Rata hitung (x) = 33.68 Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ / ] x 100% = x 100 % = %

34 Ukuran Kecondongan - Skewness
Ukuran kecondongan – kemencengan Kurva tidak simetris Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan media Pendekatan : Jika Rata-rata = median = modus : Simetris Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan

35 Koefisien Skewness Sk = [µ - Mo ] /  atau = 3.[µ - Md] / 
Contoh kasus data dikelompokan µ = 33.68 Mo = 18 Md = 32  = Sk = [ ] / Sk = / Sk = 1.394 µ = Nilai rata – rata hitung Mo = Nilai modus Md = Nilai median  = Standar deviasi Sk = {3. [ – 32]} Sk = 5.04 / Sk =

36 Ukuran Keruncingan - Kurtosis
Keruncingan disebut juga ketinggian kurva Pada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian : Leptokurtis = Sangat runcing Mesokurtis = Keruncingan sedang Platykurtis = Kurva datar

37 Koefisien Kurtosis 1/n ∑(x - )4  4
Bentuk kurva keruncingan – kurtosis Mesokurtik 4 = 3 Leptokurtik 4 > 3 Platikurtik 4 < 3 Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan) 4 = Nilai data 1/n ∑(x - )4  4

38 Koefisien Kurtosis 1/n ∑ f. (X - )4 4
Koefisien kurtosis (data dikelompokan) 4 = 1/n ∑ f. (X - )4 4 Jumlah Frekuensi Nilai rata – rata hitung Standar deviasi Nilai tengah kelas

39 Rata – Rata Geometrik Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan – Growth rate Rumus : G = n (x1 . x2 . x3 . … xn ) G = [log x1 + log x2 +… log xn] n G = Antilog (log G)

40 Contoh Data pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1.5, 2.3, 3.4, 1.2, 2.5 % Tingkat pertumbuhan : G = [log log 2.3 +log 3.4 + log log 2.5 ] / 5 G = [ ] / 5 G = / 5 = G = antilog = 2.03

41 Ukuran Penyebaran Lain
Range Inter-Kuartil Jarak inter-kuartil = K3 – K1 Jika : Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ; Bahwa data dalam sampel dan populasi lebih mengelompok ke nilai rata-rata hitung (seragam) Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam

42 Ukuran Penyebaran Lain
Deviasi Kuartil Setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1 Rumusan Deviasi kuartil – DK DK = [ K3 – K1 ] / 2 Jika DK lebih kecil ; Rata – rata data lebih mewakili keseluruhan data

43 Ukuran Penyebaran Lain
Jarak persentil Selisih antara persentil ke 90 dengan persentil ke 10 Rumusan jarak persentil - JP JP = P90 – P10 Jika JP lebih besar Bahwa nilai deviasi lebih besar

44 Kuartil

45 Jangkauan Antar Kuartil
Jangkuan Quartil Merupakan selisih antara q1 dan q3 yang merupakan jarak dari seluruh distribusi Quartil Jangkuan Quartil Qr= Q3 – Q1 Deviasi Quartil merupakan simpangan dari data dari antara Q3 dan Q1 Deviasi Kuartil Qd = ½ (Q3 – Q1)

46 Latihan Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data berikut. Tentukan Q1,Q3, median (Q2), range kuartil ,dan simpangan kuartil dari data berikut.

47 Persentil

48 Jumlah & Interval Kelompok
Menentukan banyaknya kelompok Menentukan Interval Kelompok Data diatas memiliki 5 kelompok dengan interval 14

49 Koefisien Variasi Untuk membandingkan 2 kelompok dengan variabel yang sama tetapi nilai yang berbeda.

50 Resource Walpole, Ronald E., Myers, Raymond H Ilmu Peluang dan Statistik untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 6. Bandung: Penerbit ITB.

51 Terima Kasih