Metode Interpolasi Selisih-terbagi Newton

Presentasi berjudul: "Metode Interpolasi Selisih-terbagi Newton"— Transcript presentasi:

1 Metode Interpolasi Selisih-terbagi Newton
Metode Numerik Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada

2 Interpolasi & Regresi Keduanya sama-sama metode penaksiran suatu nilai berdasarkan sehimpunan data yang dimiliki. Keduanya berbeda dalam hal bagaimana fungsi penaksir disusun berdasarkan himpunan data yang dimiliki.

3 Fungsi Penaksir Interpolasi
Fungsi penaksir disusun agar tepat memenuhi semua nilai himpunan data yang diberikan. Interpolasi baik dilakukan jika data yang dimiliki presisi atau sebarannya nihil.

4 Fungsi Penaksir Regresi
Fungsi penaksir disusun agar paling pas/baik memodelkan kecenderungan perubahan yang diperlihatkan oleh himpunan data yang diberikan. Regresi dilakukan jika data yang dimiliki kurang presisi atau sebarannya signifikan.

5 Ide dasar Interpolasi Jika diberikan sehimpunan n+1 data: (xi, yi) dengan i=0..n Dari data disusun fungsi penaksir y=f(x) yang memenuhi ketentuan nilai f(xi) = yi di semua nilai himpunan data.

6 Ide dasar Interpolasi

7 Fungsi2 Penaksir Fungsi penaksir yang paling sering dipilih adalah polinom, karena mudah: Dievaluasi, Diturunkan, dan Diintegralkan. Polinom penaksir bisa berupa: 1 fungsi untuk seluruh himpunan data, atau 1 fungsi per pasang data.

8 Fungsi2 Penaksir Polinom penaksir bisa dibentuk dalam berbagai ungkapan: Langsung Tak Langsung Lagrange Selisih-terbagi Newton Spline – 1 polinom per pasang data

9 Metode Selisih-terbagi Newton
Fungsi Penaksir Metode Selisih-terbagi Newton

10 Fungsi Penaksir Metode Selisih-terbagi Newton
Dari (n+1) data: (xi, yi) dg i=0..n bisa disusun polinom orde n. Polinom penaksir dipilih berbentuk: Koefisien a0, a1, …, an ditentukan dengan mensyaratkan: f(xi) = yi.

11 Jarak interval seragam
Metode Selisih-terbagi Newton

12 Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h)
Di x=x0, f(x0)=y0:

13 Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h)
Di x=x1, f(x1)=y1:

14 Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h)
Di x=x2, f(x2)=y2:

15 Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h)

16 Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x seragam (h)
Evaluasi koefisien a0 s/d an menjadi sangat mudah dilakukan dengan bantuan tabel pada slide berikut.

17 Persamaan Interpolasi
Persamaan Interpolasi dengan demikian bisa ditulis sebagai:

18 x0 y0=a0 1y0=a1 x1 y1 2y0=a2 1y1 3y0=a3 x2 y2 2y1 4y0=a4 1y2 3y0 x3 y3 2y2 1y3 x4 y4

19 Contoh: Diberikan data berikut: i xi yi 1 9,78 2 12,51 3 17,18 4 23,77 5 32,28

20 Grafik Sebaran Data

21 1 9,78 2,73 2 12,51 0,97 4,67 -0,00221 3 17,18 0,96 -0,00012 6,60 -0,0027 4 23,77 8,51 5 32,28

22 Eksak vs. Prediksi Himpunan 5 pasangan data dalam contoh ini sebenarnya dihitung dari fungsi: Dengan demikian, nilai prediksi dengan fungsi interpolasi bisa dibandingkan dengan nilai eksaknya.

23 Eksak vs. Prediksi

24 Error Prediksi y x exact predicted error abs % 0,1 8,99 0,0047 0,2
y x exact predicted error abs % 0,1 8,99 0,0047 0,2 9,00 0,0036 0,3 9,03 0,0028 0,4 9,08 0,0020 0,5 9,14 0,0015 0,6 9,23 0,0010 0,7 9,34 0,0006 0,8 9,47 0,0003 0,9 9,61 0,0001 1 9,78 0,0000

25 Jarak interval sembarang
Metode Selisih-terbagi Newton

26 Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x sembarang
Dengan cara serupa seperti pada kasus dengan interval antar-x seragam, akan bisa diperoleh hasil serupa pula. Perbedaan hanya terletak pada nilai selisih penyebutnya saja.

27 Koefisien Fungsi Penaksir Interval antar-x sembarang