ASSALAMU’ALAIKUM WR.WB.

Presentasi berjudul: "ASSALAMU’ALAIKUM WR.WB."— Transcript presentasi:

1 ASSALAMU’ALAIKUM WR.WB

2 kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi
By : Weni kusumaningrum a

3 Memecahkan konsep dengan teori peluang
STANDAR KOMPETENSI Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi KOMPETENSI DASAR Kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi digunakan dalam menentukan banyaknya cara menyelesaikan suatu masalah INDIKATOR

4 KAIDAH PENCACAHAN NOTASI FAKTORIAL PERMUTASI KOMBINASI SOAL LATIHAN

5 Kaidah pencacahan pengertian
suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. pengertian Contoh: Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi). Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan? Contoh soal penyelesaian

6 Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 susunan pemenang yang mungkin terjadi
Jawab: Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu: AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC. Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut: Langkah 1: Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama. Langkah 2: Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua. Jadi seluruhnya ada 4 x 3 = 12 susunan pemenang yang mungkin terjadi

7 Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :
Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan: n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama. n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi. n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dan nk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi. Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah n1 x n2 x n3 x … x nk. Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah perkalian.

8 Definisi dan Notasi faktorial
Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!. jadi n! = 1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, atau n! = n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

9 Masalah Permutasi Pengertian:
Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan Contoh soal: Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II).Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.

10 Penyelesaian : Obyek Eksp. A B C Cara Eksp. Diundi untuk
memperebutkan 2 hadiah B… C… A… (B,A) = permutasi ke-3 = p3 (A,B) = permutasi ke-1 = p1 (A,C) = permutasi ke-2 = p2 (C,A) = permutasi ke-5 = p5 (C,B) = permutasi ke-6 = p6 (B,C) = permutasi ke-4 = p4 S, n(S) = 3 cara 2 cara Menurut prinsip perkalian = 3×2 = = Banyaknya cara: n(S) = = 3×2 = 6

11 Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
Ada berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?. Contoh soal Jika semua anggota diberi indeks MMAA MAMA AMMA AMAM AAMM MAAM Ada 6 cara M1 A 1 M2 A2 M2 A2 M1 A1 M1 A2 M2 A1 M2 A1 M1 A2 Banyak huruf = 4, banyak M =2, banyak A = 2 P = penyelesaian Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus : Rumus umum

12 Permutasi Siklis Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar A C B Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa: CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal). Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis. Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =

13 Permutasi berulang Contoh soal penyelesaian Rumus umum
berapa banyak kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama Contoh soal penyelesaian Jika kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID. Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara. Rumus umum Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut: dengan r  n

14 kombinasi Rumus umum contoh soal penyelesaian
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan dengan r unsur ditulis n adalah Rumus umum Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk: a. ganda putra b. ganda putri a.Karena banyaknya pemain putra ada10 dan dipilih 2, maka banyak cara ada: b. Karena banyaknya pemain putri ada 8 orang dan dipilih 2, maka banyaknya cara ada: contoh soal penyelesaian

15 Soal latihan Tentukan banyaknya cara untuk menentukan 5 orang pemain cadangan dari 16 orang anggota kesebelasan sepak bola Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah? Bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda, disusun dari angka 4, 5, 6, 7, 8. Tentukan banyak bilangan dengan angka – angka yang berlainan dan kurang dari 500.

16 penyelesaian Banyak anggota = 16 orang, banyak pemain cadangan = 5 orang C(16,5) = Banyaknya jabat tangan dari 15 orang adalah C(15,2) Karena bilangan kurang dari 500, maka angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu 4. angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh 5,6 7, 8.memilih 2 angka dari 4 angka. Jadi ada 12 cara untuk membuat bilangan kurang dari 500

17 Sekian N Terima kasih Wassalamu’alaikum Wr.wb