BAB 2...RUANG VEKTOR www.themegallery.com.

Presentasi berjudul: "BAB 2...RUANG VEKTOR www.themegallery.com."— Transcript presentasi:

1 BAB 2...RUANG VEKTOR

2 1. FIELD Misal { K, + , * }, K adalah himpunan , didefinisikan 2 operasi + ( penjumlahan ) dan * ( perkalian ). Akan dikatakan Field jika dipenuhi : A1. untuk setiap ,  K maka  +  K dan  *   K, dikatakan K tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. A. untuk setiap ,,  K maka (+ ) +  =+ ( + ) A3 Terdapat 0  K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 +  =  + 0 =  , untuk setiap  K Company Logo

3 A5. untuk setiap , K maka  +  =  + 
A4.Untuk masing-masing  K , terdapat -  K disebut negatip dari  sedemikian sehingga (- ) +  =  +(- )=0 A5. untuk setiap , K maka  +  =  +  A6. untuk setiap ,,  K maka (*)* =* ( * ) A7. untuk setiap ,,  K *(  +  )=* + * (  +  )*  = * + * Company Logo

4 A8. untuk setiap , K maka  *  =  *  A9.Terdapat 1 K disebut elemen satuan , sedemikian sehingga 1*  =  *1 =  , untuk setiap  K A10. Untuk masing-masing 0 K , terdapat -1 K disebut invers dari  sedemikian sehingga -1 *  =  *-1=1 Elemen elemen field disebut skalar Company Logo

5 Contoh Bilangan Kompleks Bil.imaginer bil. Riil Bil. Rasional Bil.Irrasional Bil. Bulat Bil Pecahan Company Logo

6 Dijelaskan 10 Syarat di atas diterapkan pada Masing-masing bilangan tersebut. Sehingga dapat disimpulkan Contoh Field adalah Bilangan Kompleks, Riil, dan Rasional. Company Logo

7 RUANG VEKTOR DI ATAS FIELD
RUANG VEKTOR DI ATAS FIELD Misal { V , + , * } , V adalah himpunan vektor dan didefinisikan operasi + ( penjumlahan ) antar elemen elemen V dan * (perkalian ) antara elemen V dengan K . Maka V disebut Ruang Vektor di atas suatu Field K jika dipenuhi syarat berikut : B1. untuk setiap u,v  V dan   K maka u + v  V,  u  V dikatakan Ktertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian Company Logo

8 B2. untuk setiap u,v ,w  V maka (u + v) + w = u + (v + w )
B2. untuk setiap u,v ,w  V maka (u + v) + w = u + (v + w ) B3. untuk setiap u,v  V dan   K maka  *(u + v)=*u + *v B4. Terdapat 0  V disebut vektor nol, sedemikian sehingga u = u = u , untuk setiap u  V B5. Untuk masing-masing u V , terdapat - u V disebut sedemikian sehingga (- u) + u = u +(- u) = 0 Company Logo

9 B6. untuk setiap u,v  V maka u + v = v + u
B6. untuk setiap u,v  V maka u + v = v + u B7. untuk setiap u  V , , K berlaku ( +  ) *u =( * u) +(* u) B8. dan (  ) *u =  (* u) B9. untuk setiap u  V berlaku 1* u = u , dimana 1 adalah elemen satuan dari K Anggota dari Ruang Vektor disebut vektor Company Logo

10 CONTOH V adalah himpunan vektor R2 Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor terhadap operasi operasi : 1. [a,b] + [c,d] = [a+d, b+c] [a,b] = [a, ab] 2. [a,b] + [c,d] = [a+c, b+d] [a,b] = [a, b] 3. [a,b] + [c,d] = [0,0] [a,b] = [ a,ab] Company Logo

11 RUANG VEKTOR BAGIAN (SUBSPCE)
RUANG VEKTOR BAGIAN (SUBSPCE) V adalah Ruang Vektor , W adalah Subset dari V. Untuk menentukan apakah W merupakan ruang bagian V, cukup diperiksa berikut : C1. W   ( W tidak hampa ) , untuk itu perlu ditunjukkan bahwa vektor 0 W. C2. Untuk setiap a, b W maka a + b W C3. Untuk setiap a  W ,   K maka  a  W Company Logo

12 X0Z = ([x,0,Z]/ x  R, Z  R} Y0Z = ([0,y,z]/ Y  R, y  R}
Z X0Z = ([x,0,Z]/ x  R, Z  R} Y0Z = ([0,y,z]/ Y  R, y  R} X X0Y = ([x,y,0]/ x  R, y  R} Y Company Logo

13 CONTOH Tetapkan apakah W merupakan ruang vektor bagian dari R3
CONTOH Tetapkan apakah W merupakan ruang vektor bagian dari R3 W = ([a,b,c] / a = 2b) W= ([a,b,c] / a ≤ b ≤ c) W = ([a,b,c]/ a= c 2 ) Company Logo

14 Vektor yang Bebas dan Bergantung Linier Definisi
Vektor yang Bebas dan Bergantung Linier Definisi Himpunan m buah vektor { u1, u2 , …..um} disebut bergantung linier ( linearly dependent, tidak bebas linier) bila terdapat skalar-skalar 1, 2 , …..m yang tidak semua nol sedemikian sehingga 1 u1 + 2 u2 +….. + um m = 0 ( 0 = vektor nol ). Company Logo

15 u  0 akan bergantung linier karena  u =0=0
Dalam hal lain himpunan { u1, u2 , …..um} disebut bebas Linier (linearly independent ), dengan perkataan lain apabila 1 u1 + 2 u2 +….. + um m = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = ….=m=0. Jika m= 1 maka himpunan hanya mempunyai satu anggota maka  u = 0 akan bergantung linier karena  0 =00 u  0 akan bergantung linier karena  u =0=0 Company Logo

16 Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya { u1, u2 , …,0,..,um} maka himpunan tersebut bergantung linier karena 1 u1 + 2 u2 +… i um m = 0, i  0 Bila u dan v dua vektor yang berkelipatan u =  v maka kedua vektor tersebut bergantung linier . Jika sebagian ( himpunan bagian ) dari m vektor-vektor { u1, u2 , …..um} bergantung linier maka keseluruhannya m vektor tersebut bergantung linier . Company Logo

17 Tapi tidak berlaku sebaliknya.
Contoh : 1). a = [ 1,2,3 ] , b = [ 2,4,6 ], c = [1,3,4 ] 2). a = [ 1,2,3 ] , b = [ 0,0,0 ], c = [ 1,3,4 ] Jika himpunan m vektor-vektor { u1, u2 , …..um} bebas linier maka himpunan bagiannya juga bebas. Tapi tidak berlaku sebaliknya. Company Logo

18 Company Logo