Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

ALJABAR LINIER & MATRIKS

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "ALJABAR LINIER & MATRIKS"— Transcript presentasi:

1 ALJABAR LINIER & MATRIKS
VEKTOR

2 Definisi Vektor Apa beda vektor dengan skalar? Skalar :
besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya memiliki nilai contoh: panjang meja=20cm, luas, volume dsb Vektor: besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang pertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arah contoh: gaya=10N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah barat

3 Deklarasi Vektor Simbol vektor: Gambar vektor:
Karena titik pangkkal P dan titik ujung Q maka vektor disebut sebagai vektor . Panjang vektor ini dilambangkan dengan │PQ │. Simbol vektor: huruf kecil huruf kecil, tebal,ada tanda diatasnya Gambar vektor: vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah sebagai arah. Vektor a; simbol: a atau a atau a Q a P

4 Komponen Vektor Komponen vektor: Panjang vektor:
vektor 2 dimensi : a (1,2) 1 dan 2 merupakan komponen vektor a merupakan nama vektor 1 merepresentasikan nilai pada sumbu x (horisontal) 2 merepresentasikan nilai pada sumbu y (vertikal) vektor 3 dimensi : a (1,2,3) Panjang vektor: suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan dengan |a|. Vektor a(a1,a2), maka

5 Visualisasi Vektor 2 vektor dikatakan sama,jika panjang dan arahnya sama Vektor a dan b dikatakan sama, sebab Arah kedua vektor sama |a| = |b| Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab Arah kedua vektor tidak sama Meskipun, |a| = |b| Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab Meskipun, Arah kedua vektor sama |a| != |b|

6 Vektor dalam sistem koordinat kartesian diantaranya:
1. Koordinat kartesian dua dimensi a=(a1, a2) dalam vektor a terdapat dua komponen vektor, 2. Koordinat kartesian tiga dimensi b=(b1,b2,b3) dalam vektor b terdapat tiga komponen vektor

7 Penggambaran Vektor 2 Dimensi
Gambar vektor m (3,-2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0)! y x 3 -2 m (3,-2)

8 Penggambaran Vektor 2 Dimensi
2.Vektor yang titik pangkalnya di A (x1, y1) dan titik ujungnya di B (x2, y2) dapat dituliskan dalam bentuk komponen : Dilukiskan sebagai : y B (x2, y2) A (x1, y1) x

9 Penggambaran Vektor 2 Dimensi
Gambar vektor p yang berarah ke titik A (3,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal di titik B (1,-2)! y x 1 -2 2 3 pangkal Langkah: Cari titik pangkal Cari titik ujung Tarik garis vektor antara pangkal dan ujung p

10 Contoh Vektor 2 Dimensi vektor m (3,-2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0)! mx adalah panjang vektor terhadap sumbu x = 3 my adalah panjang vektor terhadap sumbu y = 2 y x 3 -2 m (3,-2) Sehingga untuk mencari panjang vektor m, digunakan rumus pytagoras :

11 Penggambaran Vektor 3 Dimensi
Gambar vektor p yang berarah ke titik A (2,2,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal di titik (0,0,0)! z x 1 2 y Langkah: Cari titik pangkal Cari titik ujung Tarik garis vektor antara pangkal dan ujung p

12 Panjang Vektor Panjang vektor a yang berpangkal pada (0,0) didefinisikan sebagai Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti a1=a2=0 Contoh : Cari panjang vektor a (5,-3) !

13 Panjang Vektor Panjang vektor a jika pangkalnya di titik A(x1,y1,z1) yang berarah ke titik B(x2,y2,z2) didefinisikan sebagai

14 Contoh 1 Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0, 3, 5), B(2, 4, 6) dan C(4, 3, 1). Tentukan: Vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B Vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C Vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C Keliling segitiga ABC

15 Penyelesaian Contoh 1 Vektor p yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka p = AB = (2-0, 4-3, 6-5) = (2, 1, 1). Panjang vektor p adalah │p│= ‌ vektor q yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka q = BC =(4-2, 3-4, 1-6)=(2, -1, -5) Panjang vektor q adalah │q│=

16 Penyelesaian Contoh 1 vektor r yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka r = AC =(4-0, 3-3, 1-5)=(4, 0, -4) Panjang vektor r adalah │r│= = keliling segitiga ABC adalah │p│+│q│+│r│=

17 Latihan 1 1. Gambarkan dalam satu koordinat, vektor-vektor berikut :
vektor s berarah ke titik (5,-4) dengan titik pangkal (0,0) vektor g berarah ke titik(2,1) dengan titik pangkal (-3,-2) vektor j berarah ke titik(-3,2) dengan titik pangkal (5,-2) 2. Cari panjang dari masing-masing vektor yang ada pada soal no 1 dan panjang vektor m berarah ke titik (3,2,1) dengan titik pangkal (1,2,1) panjang vektor b berarah ke titik (3,-2,-1) dengan titik pangkal (-1,1,-3)

18 ALJABAR VEKTOR

19 Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor
Cara Segitiga Jumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b. Jika a adalah sebarang vektor bukan nol, maka –a adalah invers aditif a yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. b a c = a - b -b b a c = a + b

20 Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor
2. Cara Jajaran Genjang Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir. b a c = a + b -b c = a - b

21 Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor
Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :

22 Metode Penjumlahan & Pengurangan Vektor
Vektor nol ditulis 0 Vektor nol disebut elemen identitas a + 0 = 0 + a = a Jika a adalah sebarang vektor bukan nol, maka –a adalah invers aditif a yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. a – a = a + (-a) = 0

23 Penjumlahan & Pengurangan Vektor

24 Sifat Penjumlahan Vektor
a + b = b + a Komutatif (a + b ) + c = a + (b + c) Asosiatif a + 0 = 0 + a = a Elemen Netral a + (-a) = a – a = 0 Elemen Invers

25 Contoh 2 Diketahui vektor a dan b di R2 (2 dimensi).
Jika │a│= 5 , │b│=7, │a + b│= tentukan │a - b│!

26 Penyelesaian Contoh 2 Dari │a│= 5, didapat ...(i)
Dari │b│=7, didapat (ii) Dari │a + b│= , didapat Subtitusi pers.(i), (ii) ke (iii)

27 Penyelesaian Contoh 2 Subtitusikan pers (i), (ii) ke pers (iv)

28 Latihan 2 Tentukan komponen-komponen vektor v dengan titik awal P(x1,y1,z1) dan titik ujung Q(x2,y2,z2). Tentukan |v| dan gambarkan grafik v. P(2,-2,3), Q(-2,3,12) P90,2,00, Q(3,0,-7) P(4,-1,2), Q(0,0,0) Tentukan titik ujung vektor v(v1,v2,v3) yang diberikan jika titik pangkalnya adalah titik P serta tentukan panjang vektor tersebut: v(2,3,0), P(4,9,0) v(12,-15,-4), P(0,0,3) v(4,4,4), P(4,4,4) Diketahui vektor a(3,0,2), b(2,2,-1) dan c(1,-2,3). Tentukan hasil dari ekspresi-ekspresi berikut: b + c – a |b – c| |b| - |c|

29 Summary Arah vektor dilihat dari tanda didepan nama vektor, sehingga:
v + (-v) = 0 Elemen-elemen vektor merupakan panjang vektor untuk basis koordinat tertentu Metode yang digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan vektor adalah sama Pangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat koordinat (0,0,0)


Download ppt "ALJABAR LINIER & MATRIKS"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google