Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
1
Predicate & quantifier
Pertemuan 2 Matematika diskrit Predicate & quantifier
2
Apakah Ini merupakan proposisi ?
Nurdin mempunyai 2 motor 2 > 1 10 <= 8 x > 3 x + y = 5
3
Predikat dan fungsi proposisi
Perhatikan dari pernyataan P(x), dan notasi simbolik dari x > 5 P(x) : x > 5 X disebut subjek / variabel > disebut predikat P(x) belum mempunyai nilai kebenaran selama x belum diketahui; maka disebut sbg fungsi proposisi P untuk x P(x) akan menjadi proposisi jika kepada x telah diberikan nilai tertentu kepadanya
4
P(x) : x > 5 Akan menjadi proposisi jika x telah diberi nilai tertentu (x telah diikat / bound dengan nilai tertentu) Nilai yang diberikan kepada x diambil dari himpunan nilai yang disebut semesta (universe of discourse) atau domain Dalam contoh di atas domain dapat berupa himpunan bilangan bulat / integer
5
Proposional Function Proposional Function adalah :
Sebuah kandidat proposisi Kal. Yg blm menjadi proposisi, karena terdiri dari satu atau lebih variabel Notasi P(x), P(x,y)
6
Ex : Proposional Function
P(x) = 2 X adalah bil genap, Bgm nilai kebenarannya ? Jwb : X = domain X = integer X = {1, 2, } Coba dimasukkan semua nilai X ke dalam P(x) Ternyata benar, Mk nilai kebenarannya adalah true
7
Cara merubah P.F menjadi proposisi
Tiap var diberi nilai, atau Menjadikan P.F menjadi Quantifier Ex: memberi nilai pada var P(x) = x>3, bagaimana nilai kebenarannya untuk P(4) dan P(2) ? Jwb : P(4) = 4>3 nilai kebenarannya : true P(2) = 2>3 nilai kebenarannya : false
8
Cara merubah P.F menjadi proposisi(count’d)
Ex: memberi nilai pada var Q(x,y) x = y + 3, bagaimana nilai kebenarannya untuk Q(1,2) dan Q(3,0) ? Jwb : Q(1,2) 1 = nilai kebenarannya : false Q(3,0) 3 = nilai kebenarannya : true
9
Quantifier Selain mengikat x dengan suatu nilai dari domain tertentu, x dapat juga diikat dengan quantifier Prosesnya disebut quantification Ada 3 macam quantifiers: Universal quantifier Existential quantifier Unique quantifier
10
Quantifiers Quantifiers Universal quantifier
Existential quantifier Artinya : For all For every Ex: x P (x) artinya : Untuk semua nilai x membuat p(x) menjadi benar Untuk setiap nilai x membuat p(x) menjadi benar P(x) benar untuk semua nilai x
11
Universal quantifier
Ex: P(n) = n2 + 2 n adalah bil ganjil integer n E D = {all integer} Jwb : P(n) is true when n is an odd integer P(n) is false when n is an even integer Ex: P(x) = x + 1 > x , bgm nilai kebenaran dari x P(x), dimana x=bil integer Apakah benar untuk semua x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka x P(x) bernilai true
12
Counterexample Counterexample Ex: Nilai x yg memb P(x) menj salah
P(n) = n2 + 2 n adalah bil ganjil integer , bgm nilai kebenaran dari n P(n), dimana n=integer Jwb : N=2 p(n)=8, ternyata pernyataan ini salah, Mk n=2 adalah counterexample untuk P(n)
13
UNIVERSAL QUANTIFIER P(x) : x > 5 x P(x) di-bahasa-kan demikian:
“untuk semua nilai x dalam domain, x > 5” “untuk semua nilai x membuat P(x) menjadi benar” “P(x) benar untuk semua nilai x” Apakah nilai kebenaran dari x P(x) jika domain adalah { 1, 2, 3, 4, 5 } { } { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } { 6 }
14
UNIVERSAL QUANTIFIER Ex : Q(x) = x < 2, bagaimana nilai kebenaran quantifier x Q(x), dimana domain (x) adalah real number ? Jawab : X = { ……2,3,4,5………) Q(x) tidak benar untuk setiap real number x Misal Q(3) false, maka x =3 adalah counterexample untuk x Q(x)
15
Existential quantifier
Artinya : For some Minimal ada satu nilai yang membuat menjadi benar Ex: x P (x) artinya : Minimal ada satu nilai x membuat p(x) menjadi benar Ex: P(x) = x + 1 > x , bgm nilai kebenaran dari x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka x P(x) bernilai true
16
Existential quantifier
Ex: P(x) = x > 3 , bgm nilai kebenaran dari x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata benar, maka x P(x) bernilai true
17
Existential quantifier
Ex: P(x) x = x + 1 , bgm nilai kebenaran dari x P(x), dimana x=bil integer Jwb : Apakah benar minimal ada satu nilai x membuat P(x) menjadi benar? Ternyata tidak ada satu nilaipun untuk x yang benar, maka x P(x) bernilai false
18
EXISTENTIAL QUANTIFIER
P(x) : x > 5 x P(x) di-bahasa-kan demikian: “untuk suatu nilai x dalam domain, x > 5” Apakah nilai kebenaran dari x P(x) jika domain adalah { 1, 2, 3, 4, 5 } { } { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } { 6 }
19
UNIQUE QUANTIFIER P(x) : x > 5 ! x P(x) di-bahasa-kan demikian:
“untuk tepat satu nilai x dalam domain, x > 5” Apakah nilai kebenaran dari ! x P(x) jika domain adalah { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } benar { } salah { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } salah { 6 } benar
20
VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE
Contoh 1: P(x) : x > 5 dalam proposisi P(4), x P(x), x P(x) variabel x disebut variabel terikat P(4) : x diikat oleh nilai 4 x P(x) : x diikat oleh x x P(x) : x diikat oleh x
21
VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE
Contoh 2: P(x, y) : x + y > 5 P(4, y) x adalah variabel terikat (oleh 4) y disebut variabel bebas y P(x, y) x disebut variabel bebas y diikat oleh y x P(x, y) x diikat oleh x
22
VARIABEL TERIKAT, VARIABEL BEBAS, SCOPE
Contoh 3: x [ P(x) Q(x) ] x R(x) scope dari x adalah [ P(x) Q(x) ] scope dari x adalah R(x)
23
NEGASI Contoh: Semua mahasiswa di kelas ini lulus dalam matakuliah Fisika. Tidak semua mahasiswa di kelas ini lulus dalam matakuliah Fisika. Domain (x) = { mahasiswa di kelas ini } F(x) : x lulus dalam matakuliah Fisika x F(x) x F(x) ekivalen dengan x [ F(x)]
24
NEGASI Contoh: Ada mahasiswa dari Lamongan di kelas ini.
Tidak ada mahasiswa dari Lamongan di kelas ini. Domain (x) = { mahasiswa di kelas ini } M(x) : x adalah mahasiswa dari Lamongan 1. x M(x) 2. x M(x) ekivalen dengan x [ M(x)]
25
Negasi Proposisiekivalen TRUE FALSE NEGASI x P(x) x P(x) x P(x)
untuk semua x, P(x) salah / negasi P(x) ada suatu nilai x yang membuat P(x) salah / negasi P(x) ada suatu nilai x yang membuat P(x) benar untuk semua x, P(x) benar
26
PROPOSISI DENGAN BEBERAPA QUANTIFIER
Anggap domain adalah himpunan bilangan nyata (real numbers) x [y (x + y = y +x)] x y (x + y = 0) x y (x + y = 0) x y ( (x > 0) (y < 0) xy < 0 )
27
proposisi TRUE FALSE Ringkasan untuk 2 quantifiers x y P(x, y)
y x P(x, y) P(x, y) benar untuk semua pasangan x dan y Ada pasangan x dan y yang membuat P(x, y) salah x y P(x, y) Untuk tiap x ada suatu y yang membuat P(x, y) benar Ada x yang membuat P(x, y) salah untuk tiap y x y P(x, y) Ada x yang membuat P(x, y) benar untuk tiap y Untuk tiap x ada suatu y yang membuat P(x, y) salah x y P(x, y) Ada pasangan x dan y yang membuat P(x, y) benar P(x, y) salah untuk semua pasangan x dan y
28
Double variable Ex: P(x,y) x+y = y+x Ex: Q(x,y) x+y = 0
Bgm nilai kebenaran untuk x y P(x,y), dimana x,y = integer ? Jwb : Untuk semua x dan untuk semua y, apakah membuat P(x,y) benar ? Apakah x+y=y+x adalah benar ? Ternyata benar, maka proposisi ini berniali benar Ex: Q(x,y) x+y = 0 Bgm nilai kebenaran untuk : y x Q(x,y) x y Q(x,y) Dimana x,y adalah integer
29
Jwb : y x Q(x,y) : x y Q(x,y)
Min ada 1 nilai y untuk semua/setiap nilai x yang membuat Q(x,y) benar Mis y=2, mk x = -2 , padahal seharusnya 2 ini bisa untuk sembarang nilai x, maka Proposisi ini bernilai false x y Q(x,y) Untuk semua nilai x min ada 1 nilai y yg membuat Q(x,y) benar Mis x=2, mk y=-2 Mis x=3, mk y=-3 Mk => proposisi ini bernilai true
30
Triple variable Ex: Q(x,y,z) x+y = z Bgm nilai kebenaran untuk :
x y z Q(x,y,z) x y z Q(x,y,z) Dimana x,y,z adalah integer
31
Jwb : x y z Q(x,y,z) : x y z Q(x,y,z)
Min ada 1 nilai z untuk semua/setiap nilai x dan y yang membuat Q(x,y,z) benar Mis y=2 dan x = 3 , maka z = 5 Proposisi ini bernilai benar x y z Q(x,y,z) Min ada 1 nilai x untuk semua nilai y dan z yang membuat Q(x,y,z) benar MEmbaca dari kiri ke kanan, Jadi x =1 apakah bisa untuk sembarang nilai y dan z , jawaban tidak Mk => proposisi ini bernilai false
32
PR Halaman 30 Nomor 12-16 Nomor 17-21
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.