STATISTIKA Pertemuan 3: Ukuran Pemusatan dan Penyebaran

Presentasi berjudul: "STATISTIKA Pertemuan 3: Ukuran Pemusatan dan Penyebaran"— Transcript presentasi:

1 STATISTIKA Pertemuan 3: Ukuran Pemusatan dan Penyebaran
Dosen Pengampu MK: Evellin Lusiana, S.Si, M.Si

2 Materi Ukuran pemusatan Ukuran penyebaran Box-plot Mean Median Modus
Range Varians Standar deviasi Koefisien variasi Kuartil Box-plot

3 Deskripsi Data dengan Ukuran Numerik
Metode grafis seringkali tidak cukup untuk menggambarkan data Ukuran numerik, dapat digunakan untuk populasi dan sample. Parameter  ukuran numerik untuk populasi Statistik ukuran numerik untuk sampel

4 Ukuran Pemusatan Mean Median Modus Rata-rata aritmatika
Overview Ukuran pemusatan Mean Median Modus Rata-rata aritmatika Nilai tengah dari data terurut Nilai yang paling sering muncul

5 Mean Data Tunggal [1] Rata-rata aritmatika (mean) merupakan ukuran pemusatan yang paling sering digunakan Untuk populasi berukuran N: Untuk sampel berukuran n: Nilai populasi Ukuran populasi Nilai pengamatan Ukuran sampel

6 Mean Data Tunggal [2] Mean = jumlah nilai pengamatan dibagi dengan banyaknya pengamatan Sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrim(outliers) Mean = 3 Mean = 22

7 Median Data Tunggal [1] Dalam data yang terurut, median merupakan data yang berada di “tengah Tidak dipengaruhi oleh outlier Median = 3 Median = 3

8 Median Data Tunggal [2] Lokasi median:
Jika banyaknya pengamatan bernilai ganjilmedian adalah nilai tengah Jika banyaknya pengamatan bernilai genapmedian adalah rata-rata dari dua nilai tengah

9 Modus Data Tunggal [1] Nilai yang paling sering muncul
Tidak dipengaruhi oleh outlier Dapat digunakan untuk data kualitatif dan kuantitatif Ada kemungkinan tidak ada modus Ada juga kemungkinan terdapat beberapan modus No Mode Mode = 9

10 Contoh: Ukuran Pemusatan Data Tunggal [1]
Contoh: Berikut ini adalah temperatur (0C) selama 20 hari di perairan laut K. 24, 35, 17, 21, 24 , 37, 26, 46, 58, 30, 32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27

11 Contoh: Ukuran Pemusatan Data Tunggal [2]
24 35 17 21 37 26 46 58 30 32 13 12 38 41 43 44 27 53 Jml : 648 Data terurut 12 13 17 21 24 26 27 30 32 35 37 38 41 43 44 46 53 58 Mean: (648/5) = 32.4 Median: nilai tengah data terurut = (30+32)/2 = 21 Mode: nilai paling sering muncul = 24 dan 27

12 Ukuran Pemusatan Mana Yang Terbaik?
Mean adalah yang paling umum digunakan, selama tidak ada outlier Jika ada outlier, maka gunakan median Modus dapat digunakan baik untuk data kuantitatif maupun kualitatif. Namun, kadang bersifat tidak unik/tunggal

13 Bentuk Distribusi Menunjukkan bagaimana distribusi dari data
Left-Skewed Symmetric Right-Skewed Mean < Median Mean = Median Median < Mean

14 Mean Data Berkelompok Jika nilai n buah data adalah x1, x2, x3, … xn, dan masing-masing frekuensi adalah f1, f2, f3, … fn, maka mean data tersebut didefinisikan sebagai berikut. = jumlah hasil perkalian setiap data dan frekuensinya fi = frekuensi data ke-I x i = data ke-i (atau xi= ½.(batas bawah + batas atas) fi = N = jumlah data

15 Median Data Berkelompok
Med = median Lo = tepi bawah kelas median c = panjang kelas interval kelas median n = banyaknya data pengamatan F = jumlah frekuensi sebelum kelas median f = frekuensi kelas median Kelas median = ½ n

16 Modus Data Berkelompok
Mod = modus Lo = tepi bawah kelas modus c = panjang kelas interval kelas modus n = banyaknya data pengamatan b1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus b2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas setelah kelas modus Kelas modus = kelas dengan frekuensi tertinggi

17 Contoh: Ukuran Pemusatan Data Berkelompok [1]
Contoh: Berikut ini adalah temperatur (0C) selama 20 hari di perairan laut K. 24, 35, 17, 21, 24 , 37, 26, 46, 58, 30, 32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27 Ketika dibuat tabel distribusi frekuensi akan menjadi sbb KELAS Frekuensi 10 – 20 3 20 – 30 6 5 40 – 50 4 2 Jumlah 20

18 Contoh: Mean Data Berkelompok
Data Terurut 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58 KELAS Niai tengah (Xi) Fi 10 – 20 15 3 20 – 30 25 6 35 5 40 – 50 45 4 55 2 Total 20

19 Contoh: Median Data Berkelompok
Letak median = ½ n = ½ 20 = 10 Kelas median = 30-40 c = 40 – 30 = 10 n = 20 F = 3+6 =9 f = 5 Lo = 30 – 0,5 = 29,5 KELAS Niai tengah (Xi) Fi 10 – 20 15 3 20 – 30 25 6 35 5 40 – 50 45 4 55 2 Total 20

20 Contoh: Modus Data Berkelompok
Kelas modus = 20-30 Lo = =19.5 c = =10 n = 20 b1 = 6-3 = 3 b2 = 6-5 = 1 KELAS Niai tengah (Xi) Fi 10 – 20 15 3 20 – 30 25 6 35 5 40 – 50 45 4 55 2 Total 20

21 Ukuran Penyebaran Range Range Interkuartil Varians Standar Deviasi
Variasi Range Range Interkuartil Varians Standar Deviasi Koefisien variasi Ukuran penyebaran memberikan informasi mengenai penyebaran atau variabilitas dari nilai-nilai data yang ada pusat sama, Variasi berbeda

22 Range Ukuran penyebaran yang paling sederhana
Selisih antara nilai terbesar dan terkecil Range = Xmax – Xmin misal: Range = = 13

23 Kekurangan Range Tidak mempedulikan distribusi data
Sensitif terhadap outlier Range = = 5 Range = = 5 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5 Range = = 4 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120 Range = = 119

24 Kuartil Membagi data terurut menjadi 4 bagian, dengan banyaknya elemen di setiap bagian adalah sama 25% 25% 25% 25% Q1 Q2 Q3 Kuartil pertama, Q1, menunjukkan terdapat 25% pengamatan yang bernilai lebih kecil dan 75% lainnya lebih besar Q2 sama dengan median (50% lebih kecil, 50% lebih besar) Hanya 25% dari pengamatan yang lebih besar dari Q3

25 Rumus Kuartil Penentuan nilai kuartil dilakukan dengan menentukan posisi yang sesuai dari data terurut posisi kuartil pertama: Q1 = 0.25(n+1) posisi kuartil kedua: Q2 = 0.50(n+1) (posisi median) posisi kuartil ketiga: Q3 = 0.75(n+1)

26 Kuartil Contoh: tentukan kuartil pertama
Sample Ranked Data: (n = 9) Q1 = ada di (9+1) = 2.5 position dari data terurut sehingga ambil nilai tengah antara pengamatan ke 2 dan 3 jadi, Q1 = 12.5

27 Varians Populasi Rata-rata kuadrat deviasi dari nilai mean
Where = mean populasi N = ukuran populasi xi = nilai variabel X ke-i

28 Varians Sampel Varians sampel: Where = rata-rata aritmatika
n = ukuran sampel Xi = nilai variabel X ke-i

29 Standar Deviasi Populasi
Menunjukkan variasi di sekitar mean Memiliki satuan yang sama dengan data asli Population standard deviation:

30 Standar Deviasi Sampel
Sample standard deviation:

31 Pengukuran Variasi Standar deviasi kecil Standar deviasi besar

32 Perbandingan standar deviasi
Data A Mean = 15.5 s = 3.338 Data B Mean = 15.5 s = 0.926 Data C Mean = 15.5 s = 4.570

33 Kelebihan varians dan standar deviasi
Setiap nilai dalam dataset digunakan dalam perhitungan Nilai yang jauh dari mean memiliki bobot yang lebih besar

34 Koefisien Variasi [1] Mengukur variasi relatif
Dalam bentuk persentase (%) Menunjukkan variasi relatif terhadap mean Dapat digunakan untuk membandingkan dua atau lebih data yang berbeda satuan

35 Koefisien Variasi [2] Stock A: Rata-rata harga akhir tahun lalu = $50
Standar deviasi= $5 Stock B: Rata-rata harga akhir tahun lalu= $100 Kedua saham memiliki standar deviasi sama, namun saham A lebih variatif terhadap nilai rata-rata nya dibanding saham B

36 Penggunaan ukuran pemusatan dan penyebaran: Box Plot
Ringkasan lima angka: Min Q1 Median Q3 Max membagi data menjadi 4 bagian ringkasan sederhana terhadap distribusi data Digunakan untuk membentuk box-plot, untuk menentukan bentuk distribusi data dan mendeteksi outlier

37 Membuat Box-Plot [1] Hitung Q1, median, Q3 dan IQR = Q3-Q1
gambarkan garis horizontal untuk menyatakan skala satuan pengukuran gambarkan kotak (box) untuk Q1, median, Q3. Q1 m Q3

38 Membuat Box-Plot [2] * Outlier ditentukan dengan pagar
Pagar bawah: Q1-1.5 IQR Pagar atas: Q3+1.5 IQR data yang berada di luar pagar, dikatakan outlier (*). Q1 m Q3 *

39 Membuat Box-Plot [3] gambarkan “whiskers” yang menghubungan nilai max dan min yang bukan outlier Q1 m Q3 *

40 Interpretasi Box-Plot
garis median tepat di tengah box – simetris garis median di kiri pusat box dan dan whisker panjang di kanan— miring kanan (skewed right) garis median di kanan pusat box dan dan whisker panjang di kiri—miring kiri (skewed left)

41 Contoh: Ukuran Penyebaran Data Tunggal [1]
Contoh: Berikut ini adalah temperatur (0C) selama 20 hari di perairan laut K. 24, 35, 17, 21, 24 , 37, 26, 46, 58, 30, 32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27 Data Terurut 12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58 - Range: max – min= = 44

42 Contoh: Ukuran Penyebaran Data Tunggal [2]
Xi Xi-Xbar 12 -20.4 416.2 13 -19.4 376.4 17 -15.4 237.2 21 -11.4 130 24 -8.4 70.56 26 -6.4 40.96 27 -5.4 29.16 30 -2.4 5.76 32 -0.4 0.16 35 2.6 6.76 37 4.6 21.16 38 5.6 31.36 41 8.6 73.96 43 10.6 112.4 44 11.6 134.6 46 13.6 185 53 20.6 424.4 58 25.6 655.4 Jumlah 3051 Rumus definisi:

43 Contoh: perhitungan varians [2]
Rumus kerja: Xi 12 144 13 169 17 289 21 441 24 576 26 676 27 729 30 900 32 1024 35 1225 37 1369 38 1444 41 1681 43 1849 44 1936 46 2116 53 2809 58 3364 648 24046

44 Box-Plot 12 13 17 21 24 26 27 30 32 35 37 38 41 43 44 46 53 58 Q1=24 Q2=31 Q3=42.5 posisi kuartil pertama = 0.25(n+1)=0.25(21)=5.25 (antara obs 5 dan 6) Q1=0.75(24) (24) =24 posisi kuartil kedua/median = 0.50(n+1)=0.50(21)=10.5 (antara obs 10 dan 11) Q2= 0.50 (30+32) = 31 posisi kuartil ketiga = 0.75(n+1) = 0.75 (21) = (antara obs 15 dan 16) Q3=0.25(41) (43 )=42.5 IQR = Q3 - Q1 = 42.5– 24 = 18.5 Pagar Bawah = Q1 – 1.5(IQR) = 24 – 1.5(18.5) = -3.75 Pagar Atas = Q (IQR) = (18.5) = 70.25

45 Box-Plot

46 VARIANS DAN STANDAR DEVIASI DATA BERKELOMPOK
Varians s2 = varians sampel s = standar deviasi Xi = nilai tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i = rata-rata sampel Standar deviasi

47 Kuartil Data Berkelompok
Qi = kuartil ke-i (i = 1, 2, 3) L0 = tepi bawah kelas kuartil c = panjang kelas interval kelas kuartil n = banyaknya data pengamatan F = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil f = frekuensi kelas kuartil

48 Contoh: Ukuran Pemusatan Data Berkelompok [1]
Contoh: Berikut ini adalah temperatur (0C) selama 20 hari di perairan laut K. 24, 35, 17, 21, 24 , 37, 26, 46, 58, 30, 32, 13, 12, 38, 41, 43, 44, 27, 53, 27 Ketika dibuat tabel distribusi frekuensi akan menjadi sbb KELAS Frekuensi 10 – 20 3 20 – 30 6 5 40 – 50 4 2 Jumlah 20

49 Contoh: Varians Data Berkelompok
KELAS Niai tengah (Xi) Fi 10 – 20 15 15-33=-18 (-18)2=324 3 3(324)= 972 20 – 30 25 25-33=-8 (-8)2=64 6 6(64)=384 35 35-33=2 22=4 5 5(4)=20 40 – 50 45 45-33=12 122=144 4 4(144)=576 55 55-33=22 222=484 2 2(484)=968 Total 20 2920

50 Kuartil 1 Data Berkelompok
c = 30 – 20 = 10 n = 20 F = 3 f = 6

51 Kuartil 2 Data Berkelompok
c = 40 – 30 = 10 n = 20 F = 3+6= 9 f = 5

52 Kuartil 3 Data Berkelompok
c = 50– 40 = 10 n = 20 F = 3+6+5=14 f = 4