Akar Persamaan Tak Linier

Presentasi berjudul: "Akar Persamaan Tak Linier"— Transcript presentasi:

1 Akar Persamaan Tak Linier
Oleh: Swasti Maharani

2 Metode setengah interval

3

4 Metode Setengah Interval
Flow Chart Metode Setengah Interval Tetapkan xl, x2 dan ε Hitung titik tengah xt Hitung f(xt) lf(xt) l<ε f(xl)f(xt)<0 Tdk xl=xt x2=xt Akar = xt ya Lokasi Akar f(xt) xl xt x2 xt = xl + x2 2 f(xr)

5 Metode interpolasi linier
Metode ini dikenal juga dengan metode false position Langkah – langkah penyelesaian Cari nilai fungsi untuk setiap interval x (menghitung nilai f (x) pada interval antara dua titik sedemikian sehingga nilai f (x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda)

6 Kedua nilai fungsi tersebut ditarik garis lurus hingga terbentuk suatu segitiga, dengan menggunakan sifat segitiga sebangun didapat persamaan berikut :

7 Gunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f (xi) atau f (xi + 1) sedemikian sehingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda Langkah di atas diulang sampai tingkat ketelitian yang diinginkan

8 Flowchart metode interpolasi linier
Tetapkan xl, x2 dan ε Hitung x* Hitung f(x*) lf(x*)l<ε f(xl)f(x*)<0 Tdk xl=x* x2=x* Akar = x* ya Flowchart metode interpolasi linier

9 Contoh Soal Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga pada interval antara dua titik x1 = 1 dan x2 = 2 berikut ini pada: f(x) = x3 + x2 – 3x - 3 dengan tingkat ketelitian 0,0001

10 Penyelesaiannya Dihitung nilai f(x) pada interval antara dua titik x1 = 1 dan x2 = 2 Untuk x1 : f (x1 ) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = – 4 Untuk x2 : f (x2) = (2)3 + (2)2 – 3(2) – 3 = 3 Dengan menggunakan persamaan segituga diatas maka, didapat: f (x) = (1,57142)3 + (1,57142)2 – 3(1,57142) – 3 = –1,36449. Karena f (x) bertanda negatif maka akar terletak antara x = 1,57142 dan x = 2, selanjutnya dihitung nilai x: x = 1,70540 f (x) = (1,70540)3 + (1,70540)2 – 3(1,70540) – 3 = –0,24787.

11 Untuk memudahkan perhitungan maka menggunakan pemrograman komputer, hasil hitungan tersebut diatas ada pada Tabel berikut dan didapat pada iterasi ke 7, yaitu x = 1,73205.

12 Hasil hitungan dengan metode INTERPOLASI LINIER
xi xi + 1 x* f (xi) f (xi + 1) f (x*) 1 1,00000 2,00000 1,57143 -4,00000 3,00000 -1,36443 2 1,70541 -0,24775 3 1,72788 -0,03934 4 1,73140 -0,00611 5 1,73195 -0,00095 6 1,73204 -0,00015 7 1,73205 -0,00002

13 Latihan Soal Hitung salah satu akar pangkat tiga dibawah ini dengan menggunakan metode Interpolasi linier : f(x) = x – 5x2 + 6x3 Pada interval antara dua titik xi = -1 dan xi+1 = 1 dgn tingkat ketelitian 0,01

14 2. Tentukan akar dari salah satu persamaan berikut dengan Metode interpolasi linier : X3 – x2 + 2x + 9 = 0, interval x1 = -5 dan x2 = -3 2x3 – 9x2 + 12x = 0, interval x1 = -3 dan x2 = -1 dgn tingkat ketelitian 0,01

15 Metode newton rapshon atau
Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar persamaan Membuat perkiraan awal dari akar adalah xi, maka suatu garis singgung didapat titik (xi, f (xi)) Menentukan turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan kemiringan atau

16 Metode newton rapshon secara grafis

17 Langkah – langkah penyelesaian
Menentukan turunan pertama dari fungsi f(x) Hitunglah xi + 1 dengan menggunakan rumus ekivalen kemiringan Tentukan nilai xi sembarang hitung fungsi dan turunan pertama Lakukanlah langkah 2 sampai menghasilkan f(xi + 1 ) bernilai 0

18 Flowchart metode Newton Raphson
Tetapkan xi, dan ε Hitung xi+1 Hitung f(xi+1) lf(xi+1)l<ε Tdk xi=xi+1 Akar = xi+1 ya Flowchart metode Newton Raphson

19 Contoh soal Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metode Newton-Raphson. f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0 dgn tgkt ktltian 0,0001 Cara Penyelesaiannya : a. Menentukan turunan pertama dari fungsi : f (x) = 3x2 + 2x – 3 b. Menghitung nilai xi + 1

20 c. Sebelum menghitung xi + 1 maka tentukan dulu nilai fungsi dan turunannya dengan nilai xi sembarang, misalnya x1 = 1, maka f (1) = (1)3 + (1)2 – 3(1) – 3 = – 4 f (1) = 3(1)2 + 2(1) – 3 = 2 d. Melanjutkan kelangkah b, yaitu menghitung fungsi dan turunannya dengan nilai x1 = x1 f (3) = (3)3 + (3)2 – 3(3) – 3 = 24. f (3) = 3(3)2 + 2(3) – 3 = 30. e. Hitunglah sampai mendapatkan fungsi bernilai 0, untuk memudahkan gunakan program komputer

21 Hasil hitungan metode Newton-Raphson
xi xi + 1 f (xi) = x3 + x2 – 3x – 3 f' (xi) = 3x2 + 2x – 3 f (xi + 1) 1 1,0000 3,0000 -4,000 2,000 24,000 2 2,2000 30,000 5,888 3 1,8302 15,920 0,989 4 1,7378 10,709 0,055 5 1,7321 9,535 0,000 6 9,464 Pada iterasi ke 6 terdapat nilai fungsi bernilai 0 maka akar persamaan tersebut x = 1,7321

22 Latihan Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metode Newton-Raphson. Dgn tingkat ketelitian 0,01 a. f (x) = x3 - 5x2 - x + 2 b. f (x) = x3 – 3x – 1 c. f (x) = 3x5 – 5x3 + 1 d. f (x) = x3 – 3x2 + 2 e. f (x) = x3 – 3x + 4

23 Thank You !