PERSAMAAN GELOMBANG (PDE)

Presentasi berjudul: "PERSAMAAN GELOMBANG (PDE)"— Transcript presentasi:

1 PERSAMAAN GELOMBANG (PDE)
YULVI ZAIKA

2 PENDAHULUAN Dawai elastis diikatkan pada 2 ujung yaitu pada x=0 dan x=l dengan memberikan gaya tarik seragam T. Jika dawai dirubah sedikit dari posisi awal dengan posisi ujung tetap maka dawai akan bergetar (vibrasi). Posisi titik P pada dawai tergantung pada jarak dari kedua ujung dawai dan waktu. Jika lendutan dawai dinyatakan dengan u dan waktu dalam t maka dapat diekspresikan sebagai u= f(x,t) dimana x adalah jarak dari ujung sebealah kiri. Persamaan untuk gerak dinyatakan dalam T : gaya tarik : massa per satuan panjang Lendutan dawai dianggap kecil sehingga T dan  dianggap konstan

3 SOLUSI PERSAMAAN Solusi dari persamaan Kondisi Batas: Kedua ujung dawai terjepit pada x=0 dan x=l selamanya sehingga u(0,t)=u(l,t)=0 untuk t  0 Kondisi awal (b) Kondisi awal lendutan di titk P pada t=0 dinyatakan dalam f(x) sehingga: u(x,0)= f(x) (c) Kecepatan awal pada P dinyatakan

4 Solusi dengan pemisahan variabel
Asumsi solusi u(x,t)=X(x)T(t) X(x) : fungsi dari x saja T(t) : fungsi dari t saja Bentuk sederhana u=XT

5 Pemahaman matematika Sisi kiri merupakan fungsi x
Sisi kanan merupakan fungsi t Fungsi ini akan sama bila sisi kanan dan kiri merupakan konstanta

6 Bila konstantanya adalah k maka:
Persamaan Pertama: Jika k=0 maka X”=0 X’=a X=ax+b BC: X=0 pada x=0 b=0 maka X=ax X=0 pada x = l  a=0  Pers X=0 bukan persamaan osilasi (2) Jika k positif maka k=p2 X” –p2X=0 persamaan PDO m2 – p2=0  m2=p2 maka m=p solusinya: X=Aepx +Be-px X=0 pada x=0 0=A+B B=-A Dan X=0 pada x=l 0=Aepx +Be-px 0=A(epl +e-pl ) A=0 A=B=0 X=- bukan persamaan osilasi

7 (3) Jika k adalah negatif maka k= -p2  X”+p2X=0
m2+p2=0 m2=-p m=pi sehingga solusinya X= A cos px +B sin px

8 Persamaan berikutnya T”- c2 kT=0
Untuk harga k yang sama maka diperoleh: T=C cos cpt + D sin cpt Sehingga jawabannya: U=XT U(x,t)= (Acos px+B sin px)(C cos cpt + D sin cpt) Jika cp=  p= /c Dimana A, B, C dan D adalah konstanta

9 Kondisi batas: u=0 bila x=0 untuk semua harga t masukkan ke persamaan (b) u=0 bila x=l

10 C1=BC D2= BD

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23