ASSALAMU’ALAIKUM. WR.WB

Presentasi berjudul: "ASSALAMU’ALAIKUM. WR.WB"— Transcript presentasi:

1 ASSALAMU’ALAIKUM. WR.WB

2 GEOMETRI ANALITIK DATAR
Pertemuan 14 RINA AGUSTINA, M. Pd.

3 Garis Singgung Hiperbola
Hiperbola dengan persamaan : 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 Memiliki persamaan dengan titik pusat (𝛼,𝛽) dan sumbu-sumbu simetri sejajar sumbu koordinat adalah: (𝑥−𝛼) 2 𝑎 2 − (𝑦−𝛽) 2 𝑏 2 =1

4 Persamaan garis singgung hiperbola dapat ditentukan bila gradiennya diketahui atau titik singgungnya diberikan atau bila titik di luar hiperbola yang di lalui oleh garis tersebut.

5 1. Jika diketahui gradien
Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah 𝑦=𝑚𝑥+𝑝 dan persamaan hiperbolanya 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1. Absis titik potong garis dan hiperbola diperoleh dari: 𝑥 2 𝑎 2 − (𝑚𝑥+𝑝) 2 𝑏 2 =1 Atau 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎 2 (𝑚𝑥+𝑝) 2 = 𝑎 2 𝑏 2 (𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚)𝑥 2 − 2𝑎 2 𝑚𝑝𝑥− 𝑎 2 𝑝 2 + 𝑏 2 =0

6 Garis ini akan menyinggung hiperbola jika titik-titik potongnya berhimpit.
Hal ini terjadi apabila persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang sama atau apabila diskriminannya sama dengan nol. 𝐷=0 (−2 𝑎 2 𝑚𝑝) 2 − 4 (𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 )(𝑎 2 𝑝 2 + 𝑏 2 )=0 𝑝 2 + 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑚 2 =0 𝑝=± 𝑎 2 𝑚 2 − 𝑏 2

7 Jadi persamaan garis singgung yang gradiennya m adalah:
Tampak bahwa ada dua garis singgung yang gradiennya m. Misalkan persamaan hiperbola (𝑥−𝛼) 2 𝑎 2 − 𝑦−𝛽 2 𝑏 2 =1 Dengan menggunakan translasi sumbu, dapat diperoleh persamaan garis singgungnya adalah: 𝑦−𝛽=𝑚(𝑥−𝛼)± 𝑎 2 𝑚 2 − 𝑏 2

8 Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 𝑥 − 𝑦 2 5 =1 yang sejajar garis 2𝑥−2𝑦+13=0 ! Penyelesaian: Gradien garis 2𝑥−2𝑦+13=0 adalah 𝑚=1. Berarti gradien garis singgung hiperbola juga adalah 1.

9 Persamaan garis singgungnya adalah : 𝑦=𝑚𝑥± 𝑎 2 𝑚 2 − 𝑏 2 𝑦=1. 𝑥± 20

10 2. Jika Diketahui Titik Singgung
Persamaan garis singgung pada hiperbola dengan titik singgung 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ). Misalkan persamaan hiperbola 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 dan P 𝑥 2 , 𝑦 2 suatu titik pada hiperbola, maka berlaku 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 𝑏 2 =1 atau 𝑏 2 𝑥 2 2 − 𝑎 2 𝑦 2 2 = 𝑎 2 𝑏 (1) Karena T pada hiperbola maka berlaku: 𝑏 2 𝑥 1 2 − 𝑎 2 𝑦 1 2 = 𝑎 2 𝑏 (2)

11 𝑏 2 ( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 𝑎 2 ( 𝑦 1 + 𝑦 2 ) = ( 𝑦 1 − 𝑦 2 ) ( 𝑥 1 − 𝑥 2 )
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh : 𝑏 2 𝑥 2 2 − 𝑎 2 𝑦 2 2 = 𝑏 2 𝑥 1 2 − 𝑎 2 𝑦 atau 𝑏 2 (𝑥 1 2 − 𝑥 2 2 )= 𝑎 2 (𝑦 1 2 − 𝑦 2 2 ) Setelah dijabarkan diperoleh; 𝑏 2 ( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 𝑎 2 ( 𝑦 1 + 𝑦 2 ) = ( 𝑦 1 − 𝑦 2 ) ( 𝑥 1 − 𝑥 2 ) Persamaan garis PT adalah : 𝑦− 𝑦 1 = 𝑦 1 − 𝑦 𝑥 1 − 𝑥 2 (𝑥− 𝑥 1 ) atau 𝑦− 𝑦 1 = 𝑏 2 ( 𝑥 1 + 𝑥 2 ) 𝑎 2 ( 𝑦 1 + 𝑦 2 ) (𝑥− 𝑥 1 )

12 Jika P mendekati T sedemikian P sangat dekat dengan T sehingga 𝑥 1 = 𝑥 2 dan 𝑦 1 = 𝑦 2 .
Akibatnya PT menjadi garis singgung di titik T dan persamaannya adalah: 𝑦− 𝑦 1 = 𝑏 2 𝑎 𝑥 1 2 𝑦 1 (𝑥− 𝑥 1 ) Setelah dijabarkan kita memperoleh: 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1

13 Sehingga diperoleh persamaan garis singgung pada hiperbola dengan titik singgung 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) adalah 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Jika persamaan hiperbola nya (𝑥−𝛼) 2 𝑎 2 − (𝑦−𝛽) 2 𝑏 2 =1 Maka persamaan garis singgung nya: ( 𝑥 1 −𝛼)(𝑥−𝛼) 𝑎 2 − ( 𝑦 1 −𝛽)(𝑦−𝛽) 𝑏 2 =1

14 Contoh : Tentukan persamaan pada hiperbola 𝑥 2 30 − 𝑦 2 24 =1 yang melalui titik singgung (5, 2) !

15 Penyelesaian : 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 5𝑥 30 − 2𝑦 24 =1 𝑥 6 − 𝑦 12 =1
Rumus persamaan garis singgung : 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 5𝑥 30 − 2𝑦 24 =1 𝑥 6 − 𝑦 12 =1 2𝑥−𝑦=12 Atau 2𝑥−𝑦−12=0 Jadi persamaan garis singgung pada hiperbola adalah 2𝑥−𝑦−12=0

16 3. Jika melalui titik diluar hiperbola
Misalkan persamaan hiperbolanya melalui 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 dan titik-titik 𝐴 1 ( 𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) dan 𝐴 2 ( 𝑥 ′′ , 𝑦 ′′ ) merupakan titik-titik singgung dari garis singgung hiperbola yang melalui titik 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) diluar hiperbola. Persamaan garis singgung di 𝐴 1 adalah: 𝑥′𝑥 𝑎 2 − 𝑦′𝑦 𝑏 2 =1

17 Karena T pada garis singgung, maka :
𝑥′𝑥 1 𝑎 2 − 𝑦′ 𝑦 1 𝑏 2 = (1) Persamaan garis singgung di 𝐴 2 adalah: 𝑥′′𝑥 𝑎 2 − 𝑦′′𝑦 𝑏 2 =1 𝑥′′𝑥 1 𝑎 2 − 𝑦′′ 𝑦 1 𝑏 2 = (2)

18 Dari (1) dan (2) dapat disimpukan bahwa titik 𝐴 1 dan 𝐴 2 terletak pada garis dengan persamaan
𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Persamaan ini disebut persamaan tali busur dari titik 𝑇 𝑥 1 , 𝑦 1 . Tanpa memperhatikan letak titik 𝑇 𝑥 1 , 𝑦 1 , persamaan 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 disebut persamaan garis kutub dari T terhadap hiperbola 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1

19 Sifat Utama Garis Singgung
Garis singgung suatu titik pada hiperbola membagi dua sama besar sudut-sudutnya antara garis-garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik-titik api. 𝐹 2 𝐹 1 𝑇 𝑃

20 Misalkan 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) sebarang titik pada hiperbola dan misalkan 𝑑 1 =𝑇 𝐹 1 , dan 𝑑 2 =𝑇 𝐹 2 dengan 𝐹 1 𝑐, 0 , 𝐹 2 −𝑐, 0 . Maka akan diperoleh perbandingan: 𝑇 𝐹 1 𝑇 𝐹 2 = 𝑑 1 𝑑 2 = 𝑐 𝑎 ( 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 ) 𝑐 𝑎 ( 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐 ) = 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐

21 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Persamaan garis singgung di T adalah :
𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Misalkan titik potong garis singgung ini dengan sumbu X adalah 𝑃, maka diperoleh koordinat: 𝑦 𝑝 =0 dan 𝑥 𝑝 = 𝑎 2 𝑥 1 𝑃 𝐹 1 𝑃 𝐹 2 = 𝑐− 𝑎 2 𝑥 1 𝑐+ 𝑎 2 𝑥 1 = 𝑐 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑥 1 + 𝑎 2 = 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐

22 Sehingga diperoleh : 𝑃 𝐹 1 𝑃 𝐹 2 = 𝑥 1 − 𝑎 2 𝑐 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑐 = 𝑇 𝐹 1 𝑇 𝐹 2 Jadi TP merupakan garis bagi sudut T dalam segitiga 𝑇 𝐹 1 𝐹 2 atau ∠ 𝑇 1 =∠ 𝑇 2 (Terbukti)

23 Dengan tidak memandang letak 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) maka persamaan : 𝑥 1 𝑥 𝑎 2 − 𝑦 1 𝑦 𝑏 2 =1 Disebut persamaan kutub dari 𝑇( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) terhadap hiperbola 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1. Jika T diluar hiperbola, garis kutub ini menjadi tali busur singgung. Jika T pada hiperbola, garis kutub ini menjadi garis singgung. Jika T didalam hiperbola, garis kutub ini tidak memotong hiperbola.

24 Contoh : Dari titik T (2, -5) ditarik garis-garis singgung pada hiperbola 𝑥 2 8 − 𝑦 2 4 =1. Hitung jarak T ke garis yang menghubungkan titik-titik singgung !

25 Penyelesaian : Persamaan tali busur singgung dari T (2, 5) terhadap hiperbola 𝑥 2 8 − 𝑦 2 4 =1 adalah: 2𝑥 8 − −5𝑦 4 =1 𝑥 4 − −5𝑦 4 =1 𝑥+5𝑦−4=0 Jarak T (2, -5) ke tali busur singgung adalah: 𝑑= 𝑎 𝑥 1 +𝑏 𝑦 1 +𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2

26 𝑑= 𝑎 𝑥 1 +𝑏 𝑦 1 +𝑐 𝑎 2 + 𝑏 2 = 1.2+5. −5 −4 1 2 + 5 2 = −27 26 = 27 26 Jadi 𝑑= 27 26 26

27 TUGAS MANDIRI II: 1. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 𝑥 2 20 − 𝑦 2 5 =1 yang tegak lurus garis 4𝑥+3𝑦−7=0 ! 2. Tentukan titik M pada hiperbola 𝑥 2 24 − 𝑦 2 18 =1 yang terdekat ke garis 3𝑥+2𝑦+1=0 ! 3. Tentukan persamaan tali busur dari hiperbola 𝑥 2 16 − 𝑦 2 4 =1 yang dibagi dua oleh titik B (6, 2) !

28 WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB
SELAMAT BELAJAR WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB