PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS

Presentasi berjudul: "PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS"— Transcript presentasi:

1 PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS
Oleh : Choirudin, M.Pd.

2 METODE SIMPLEKS Pengertian
Metode Simpleks : metode pemecahan persoalan program linear yang begitu kompleks dan luas, dan besar yg dengan metode aljabar (sederhana) dan grafik sulit dan tidak dapat diandalkan.

3 Ciri khas metode simpleks ialah dengan memasukkan kegiatan disposal (disposal activities). Peranan kegiatan disposal ini adalah untuk menampung sumberdaya yg tersisa atau tidak digunakan. Dengan adanya kegiatan disposal ini kita dapat membuat ketidaksamaan suatu rumusan matematika menjadi suatu persamaan. Metode simpleks hanya diperkenankan nilai positif dari peubah-peubah Xij.

4 a11X11+a12X12+. . . .+a1nXn+ S1+0S2+. . .+0Sn = b1
Model Umum Metode Simpleks. 1. Kasus Maksimisasi. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – C1X1-C2X –CnXn-0S1-0S Sn = NK Fungsi Pembatas : a11X11+a12X a1nXn+ S1+0S Sn = b1 a21X21+a22X a2nXn+ 0S1+1S Sn = b2 ……. …… ……. ….. ….. …. …..= … am1Xm1+am2Xm amnXn+ S1+0S Sn = bm Var. Kegiatan Slack Var

5 Tabel Simpleks : Var. Dasar Z X1 X2 . . . . Xn S1 S2 Sn NK 1 -C1 -C2
-Cn a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm

6 Fungsi Tujuan : Minimumkan
2. Kasus Minimisasi Fungsi Tujuan : Minimumkan Z – C1X1-C2X –CnXn-0S1-0S Sn = NK Fungsi Pembatas : a11X11+a12X a1nXn - S1 -0S Sn = b1 a21X21+a22X a2nXn - 0S1-1S Sn = b2 ……. …… ……. ….. ….. …. …..= … am1Xm1+am2Xm amnXn- S1- 0S Sn = bm var.kegiatan Surplus var.

7 Tabel Simpleks : Var. Dasar Z X1 X2 . . . . Xn S1 S2 Sn NK 1 -C1 -C2
-Cn a11 a12 . . . a1n -1 b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm

8 3. Kasus-kasus Khusus Perubahan tanda ketidaksamaan men-jadi persamaan pada fungsi pembatas menyesuaikan dengan tanda ketidaksamaan masing-masing persamaan linearnya.

9 Langkah-langkah Metode Simpleks
Merubah fungsi tujuan dan persamaan/pertidaksamaan fungsi tujuan ke persamaan simpleks. Langkah 2 : Memindah semua nilai koefisien dalam tabel simpleks Langkah 3 : Menentukan KOLOM KUNCI dengan cara mencari nilai negatif terbesar yang ada di baris tujuan (Z) pada tabel.

10 Langkah-langkah Metode Simpleks
Menentukan BARIS KUNCI dengan cara membagi setiap angka pada kolom Nilai Kanan (NK) dengan setiap Angka pada Baris Kunci. Kemudian dari hasil pembagian tersebut dipilih hasil positif yang paling kecil.

11 Langkah-langkah Metode Simpleks
Menentukan Angka kunci pada perpotongan antara Kolom kunci dan Baris kunci. Selanjutnya menggunakan angka kunci untuk menentukan baris kunci yang baru, apabila masih menemukan nilai negatif. Langkah 6 : Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka/nilai negatif di baris tujuan (kecuali nilai kanan). Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya.

12 Langkah-langkah Metode Simpleks
Jika ternyata masih ada angka negatif pada baris tujuan (Z), langkah selanjutnya adalah menentukan nilai baris kunci yang baru. Nilai Baris kunci yang baru ditentukan dengan cara membagi semua nilai yang ada pada baris kunci yang lama dengan angka kuncinya. Rumusnya adalah :

13 Langkah-langkah Metode Simpleks
Mengisi/melengkapi sel lain dalam tabel simpleks yang masih kosong, dengan cara angka atau nilai yang lama dikurangi dengan hasil perkalian antara angka baris baru dengan angka kolom kunci.

14 Kasus Maksimisasi : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan :
Maksimumkan : Z = 15X1 + 10X2 2. Fungsi Pembatas : 2.1. X1 + X2 ≤ 600 X1 + X2 ≤ 1000 X1, X2 ≥ 0

15 Langkah : 1 Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan
Z – 15X1– 10X2 – 0S1 – 0S2 = 0 2. Fungsi Pembatas : X1 + X2 + S1 + 0S2 = 600 X1 + X2 + 0S1+ 1S2 = 1000 X1, X2, S1, S2 ≥ 0

16 Tabel Simpleks Langkah : 2 Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10
600 2 1000

17 1. Iterasi Awal (Iterasi-0)
Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) 2. Iterasi-1 : Langkah : 3 a. Menentukan kolom kunci : Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000

18 Kolom Kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan
yang bernilai negatif terbesar. Negatif Terbesar Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000

19 Kolom Kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan
yang bernilai negatif terbesar. Negatif Terbesar Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 Kolom Kunci

20 b. Menentukan baris kunci : Langkah : 4
NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -15 -10 - 600 2 1000 500

21 b. Menentukan baris kunci : Langkah : 4
NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -15 -10 - 600 2 1000 500 Baris Kunci

22 c. Menentukan Angka Kunci : Langkah : 5
Angka Kunci ditentukan dari perpotongan antara Kolom Kunci dan Baris Kunci. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000

23 c. Menentukan Angka Kunci : Langkah : 5
Angka Kunci ditentukan dari perpotongan antara Kolom Kunci dan Baris Kunci. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 Angka Kunci

24 C. Perubahan-perubahan nilai baris :
Langkah : 6 dan 8 - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 2 1000 1 500 0/2 2/2 1/2 0/2 1/2 1000/2

25 C. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai baris yang lain = Baris lama – (Nilai baris kunci baru X angka kolom kunci baris) Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -15 -10 600 500

26 C. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris Z Baris Lama [ ] NBKB x [ 0 1 ½ 0 ½ ] – Baris Baru ½ 0 7½ 7500

27 C. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris S1 Baris Lama [ ] NBKB x [ 0 1 ½ 0 ½ ] – Baris Baru 0 0 ½ 1 - ½ 100

28 C. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -2½ 7½ 7500 - ½ 100 500

29 Langkah 6 : Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka/nilai negatif di baris tujuan (kecuali nilai kanan). Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK 1 -2½ 7½ 7500 - ½ 100 500

30 simpleks masih ada yang bernilai negatif.
3. Iterasi-2 : perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel simpleks masih ada yang bernilai negatif. Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -2½ 7½ 7500 - - ½ 100 200 500 1000 Angka Kunci

31 - Merubah baris pada angka kunci.
Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -2½ 7½ 7500 - - ½ 100 500 1 2 -1 200 0/½ 0/½ ½/½ 1/½ -½/½ 100/½

32 - Merubah angka pada baris-baris lainnya.
Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 -2½ 7½ 7500 - 2 -1 200 500

33 C. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris Z Baris Lama [ ½ 0 7½ ] NBKB -2½ x [ ] – Baris Baru

34 C. Perubahan-perubahan nilai baris :
- Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris X1 Baris Lama [ 0 1 ½ 0 ½ ] NBKB ½ x [ ] – Baris Baru

35 - Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya.
Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 NK Indeks 1 5 8000 - 2 -1 200 400

36 Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb: X1= 400 dan X2 = 200 dengan Zmaksimum = 8000

37 Contoh-2 : Model Program Linear Fungsi Tujuan :
Maksimumkan : Z = 3X1+2X2 Fungsi Pembatas : X1 + X2 ≤ 15 2X1 + X2 ≤ 28 X1 + 2X2 ≤ 20 X1, X2 ≥ 0

38 Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 3X1–2X2–0S1–0S2–0S3 = 0
Model Simpleks Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 3X1–2X2–0S1–0S2–0S3 = 0 Fungsi Pembatas : X1 + X2 + S = 15 2X1 + X S = 28 X1 + 2X S3 = 20 X1, X2 ≥ 0

39 Tabel Simpleks Variabel Dasar Z X1 X2 S1 S2 S3 NK 1 -3 -2 15 2 28 20
15 2 28 20

40 (a). Iterasi Awal (Iterasi-0) :
Angka Kunci Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z -3 -2 - 1 15 2 28 14 20

41 (b). Iterasi-1 Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z -½ 3/2 42 - ½
-½ 3/2 42 - 1 14 6

42 (c). Iterasi-2 Angka Kunci Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z
-½ 3/2 42 - 1 2 14 28 6 4

43 Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya.
Variabel Dasar X1 X2 S1 S2 S3 NK Indeks Z 1 43 - 2 -1 13 -3 3

44 Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian perhitungan persoalan program linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan rincian sbb : X1 = 13; X2 = 2, Zmaksimum = 43

45 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan :
Tugas Mandiri : 1 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 2X1 + 3X2 2. Fungsi Pembatas : X1 + X2 ≤ 5 X1 + 2X2 ≤ 6 X1, X2 ≥ 0

46 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan :
Tugas Mandiri : 2 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 50X1 + 70X2 2. Fungsi Pembatas : 4X1 + 8X2 ≤ 32 5X1 + 6X2 ≤ 30 X1, X2 ≥ 0