Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (spl)

Presentasi berjudul: "Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (spl)"— Transcript presentasi:

1 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier (spl)
Edy mulyanto

2 Definisi SPL Suatu sistem yang merupakan gabungan dari beberapa persamaan linier dengan variabel SPL diatas mempunyai m persamaan dan n variabel

3 Bentuk Matrik SPL SPL dengan m persamaan dan n variabel
Bentuk SPL dapat ditulis dengan Dapat ditulis A.x = B =

4 Bentuk Matrik SPL Dimana A = x = B= A adalah matrik koefisien dari SPL
Vektor x disebut vektor variabel Vektor B disebut vektor konstanta

5 Augmented Matrik Matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vektor B pada kolom terakhirnya

6 Contoh x + 3y + 2z = 44 x + 4y + z = 49 2x + 5y + 5z = 83
Bentuk matrik SPL Augmented Matrik =

7 Penyelesaian SPL Berdasarkan penyelesaiannya, SPL dibedakan menjadu 3 macam: Tidak mempunyai penyelesaian (no solutions) Tepat satu penyelesaian (exactly one solution) Banyak penyelesaian(infinitely many solutions)

8 Contoh Seorang pembuat boneka ingin membuat tiga macam boneka yaitu boneka A, B dan C. Ketiga boneka tersebut dibuat dengan menggunakan tiga macam bahan yaitu potongan kain , rol benang dan kancing. Boneka A membutuhkan 3 potongan kain, 2 rol benang dan 6 kancing, boneka B membutuhkan 2 potongan kain 3 rol benang dan 8 kancing dan boneka C membutuhkan 4 potongan kain 2 rol benang dan 5 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A, B dan boneka C yang dapat dibuat dari 21 potongan kain, 20 rol benang dan 55 kancing ?

9 Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :
x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Z = jumlah boneka C Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 3 untuk boneka A + 2 untuk boneka B + 4 untuk boneka C = 21 Rol benang 2 untuk boneka A + 3 untuk boneka B + 2 untuk boneka C = 20 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B + 5 untuk boneka C = 55 Atau dapat dituliskan dengan : 3 x + 2 y + 4 z = 21 2 x + 3 y + 2 z = 20 6 x + 8 y + 5 z = 55 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x, y dan z yang memenuhi ketiga persamaan di atas.

10 Metode Numerik Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Iterasi Gauss-Seidel

11 Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas matrik diubah menjadi augmented matrik :

12 Metode Eliminasi Gauss
ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).

13 Metode Eliminasi Gauss
Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan: Baris terakhir Dan dapat dilakukan substitusi pada baris-baris diatasnya/sebelumnya.

14 Contoh 1 Seorang pembuat boneka ingin membuat tiga macam boneka yaitu boneka A, B dan C. Ketiga boneka tersebut dibuat dengan menggunakan tiga macam bahan yaitu potongan kain , rol benang dan kancing. Boneka A membutuhkan 3 potongan kain, 2 rol benang dan 6 kancing, boneka B membutuhkan 2 potongan kain 3 rol benang dan 8 kancing dan boneka C membutuhkan 4 potongan kain 2 rol benang dan 5 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A, B dan boneka C yang dapat dibuat dari 21 potongan kain, 20 rol benang dan 55 kancing ?

15 Contoh 1 Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan :
x = jumlah boneka A y = jumlah boneka B Z = jumlah boneka C Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 3 untuk boneka A + 2 untuk boneka B + 4 untuk boneka C = 21 Rol benang 2 untuk boneka A + 3 untuk boneka B + 2 untuk boneka C = 20 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B + 5 untuk boneka C = 55 Atau dapat dituliskan dengan : 3 x + 2 y + 4 z = 21 2 x + 3 y + 2 z = 20 6 x + 8 y + 5 z = 55 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x, y dan z yang memenuhi ketiga persamaan di atas.

16 Contoh 1 : Selesaikan sistem persamaan berikut:
Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

17 Contoh 1: Lakukan operasi baris elementer 1 2 3

18 Contoh 1 : Penyelesaian : -7 z = -7  baris terakhir z = -7/-7 z = 1
Baris kedua : 5y – 2z = Baris pertama : 3x + 2y + 4z = 21 5y – 2*(1) = x + 2(4) + 4(1) = 21 5y = x = y = 20 / x = 9 /3 y = x = 3 Jadi yg dapat dari bahan2 tersebut adalah 3 boneka A, 4 boneka B dan 1 boneka C.

19 Contoh 2 : Selesaikan sistem persamaan berikut:
Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut :

20 Contoh 2: Lakukan operasi baris elementer 1 2 3

21 Contoh 2: Penyelesaian : 11 x3 = 11  baris terakhir x3 = 11 / 11
Baris kedua : -1x2 – 3x3 = Baris pertama : x1 + x2 + x3 = 6 -1x2 – 3*(1) = -5 x = 6 -1x2 = x1 = 6 – 3 x2 = -2 / -1 x1 = 3 x2 = 2 X1, X2 dan X3 coba dimasukkan ke persamaan linier simultan.

22 Contoh 2 3 + 2 + 1 = 6 2(3) + 2 – 1 = 7 3(3) – 2 +2(1) = 9
X1, X2 dan X3 coba dimasukkan ke persamaan linier simultan. = 6 2(3) + 2 – 1 = 7 3(3) – 2 +2(1) = 9 PENS-ITS

23 selesai