Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
Diterbitkan olehHengki Susman Telah diubah "6 tahun yang lalu
1
VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR
Disusun Oleh Kelompok 2: Riati Laia Anjelita Gea Janis Anjeli Selvia W. Halawa Mayten G. Daeli Sabarman Mendrofa Hertinus LaiaΒ Guru Pembimbing: Ibu Nini Sadarwati Hia, S.Pd SMA Swasta Pembda 1 Gunungsitoli T.P 2015/2016
2
VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR
1. VEKTOR RUANG A. Pengertian Vektor Ruang Jika titik Q adalah titik pangkal dan titik R adalah titik ujung dengan koordinat (x,y,z), maka QR sebagai wakil vektor rdapat dinyatakan sebagai: Z k r j y Y i x Q X x , y , dan z disebut komponen-komponen vekto r yang nilai-nilainya bersesuainv dengan koordinat titik R ( x, y , z ). Vektor-vektor i, j , dan k disebut basis di R-3 pada arah sumbu x positif sumbu y positif , dan sumbu z positif. Karena i , j , dan k mempunyai panjang satu satuan, maka vektor-vektor itu sering disebut vektor satuan
3
Vektor r= xi + yj +zk dapat di nyatakan dalam bentuk :
Vektor baris r = ( x , y , z ) Vektor kolom r = π₯ π¦ π§ B. Panjang Vektor Β Bila dua titik Q ( x1 ,y1 ,z1 ) dan R ( x2 , y2 ,z2 ) terletak di R3 maka rumus garis berarah QR X2-x1 mewakili vektor y2-y1 z2-z1 yaitu suatu vektor dengan komponen-komponen ( x2-x1 ) , ( y2-y1 ) , dan ( z2-z1 ). Panjang garis berarah QR dapat ditafsirkan sebagai jarak antara titik Q dan R ditulis |QR|. |QR|= (x2 βx1)2 + (y2βy1)2 + (z2βx1)2
4
Vektor satuan( π ) e = π π = π π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 = 1 π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 π₯ π¦ π§ Contoh soal : Jika Q adalah (1, 0 , 1 ) dan R ( 3, 2 , 2 ).tentukan panjang vektor |QR| Penyelesaian: |ππ
|= (X2 β X1)2 + (Y2 β Y1)2 +(Z2 β Z1)2 |ππ
|=β(3-1)2 + (2-0)2 +(2-1)2 |ππ
|=β ππ
= 9 |QR| = 3 C. Penjumlahan Dua Vektor di Ruang Misalkan diketahui vektor a = π₯ π¦ π§ dan vektor b = π₯ π¦ π§
5
Jika vektor c adalah jumlah dari vektor a dan vektor b atau c = a+b , maka vektor c ditentukan oleh : c = π₯ π π¦ π π§ π + π₯ π π¦ π π§ π = π₯ π + π₯ π π¦ π + π¦ π π§ π + π§ π Contoh soal : Dik : vektor a = β4 5 6 , vektor b = 5 β3 2 , tentukanlah vektor a + b ! Jwb: a + b = β β3 2 = β β3 6+2 = 1 2 8
6
D. Pengurangan Dua Vektor Dalam Ruang Misalkan diketahui a = π₯ π π¦ π π§ π dan vektor b = π₯ π π¦ π π§ π . Jika d adalah selisih dari vektor a dengan vektor b atau d = a-b , maka vektor d ditentukan dengan rumus : d = π₯ π π¦ π π§ π - π₯ π π¦ π π§ π = π₯ πβ π₯ π π¦ πβ π¦ π π§ πβ π§ π contoh soal : Dik : vektor a = 3i + 2j βk Vektor b= 4i + j + 2k Dit : a-b....?? Jwb: a-b = ( 3i + 2j β k) β ( 4i + j + 2k ) = (-i + j β 3k )
7
E. Hasil Kali Scalar Dengan Vektor Dalam Ruang Misalkan m adalah suatu scalar dan a adalah vektor di ruang dengan a = π₯ π π¦ π π§ π . Hasil kali scalar dengan vektor a , ditulis sebagai c = m π ,ditentukan : c= m π₯ π π¦ π π§ π = π π₯ π π π¦ π π π§ π Contoh soal : misalkan diketahui suatu scalar m=2 dan π = Tentukanlah nilai m π jawab: m π = = 4 1 4
8
2. Vektor Posisi Β Vektor posisi suatu vektor yang mempunyai titik pangkal dipusat koordinat O( 0,0,0 ). Semua vektor dapat dinyatakan ke dalam vektor posisi . vektor posisi A adalah vektor a yang diwakili oleh ruas garis berarah OA. Vektor posisi tititk A dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom : Vektor posisi B adalah vektor π yang diwakili oleh ruas garis berarah a . vektor posisi titik B dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom : π = π₯ 2 π¦ 2 π§ 2 X Z B(x2,y2,z2) A(x1,y1,z1 ) Y X
9
Vektor posisi π΄π΅ dapat ditentukan oleh : ππ΄ + π΄π΅ = ππ΅ π΄π΅ = ππ΅ - ππ΄ π΄π΅ = π - π π΄π΅ = π₯ 2 π¦ 2 π§ 2 - π₯ 1 π¦ 1 π§ 1 a. Perbandingan Bagian Dinyatakan Dalam Vektor dan Koordinat 1. Pembagian Ruas Garis Dalam Perbandingan Bagian Suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m:n,Sehingga AP:PB = m:n A m P n B
10
Misalkan diketahui ruas garis QR dipotong oleh titik X dan X berada di
Bila P di dalam AB , maka π΄π , ππ΅ mempunyai arah yang sama dan m , n mempunyai tanda sama. AP : PB = m : n AP : PB = m : (m+n) Bila P di luar AB , maka π΄π , ππ΅ mempunyai arah yang berlawanan dan m, n mempunyai tanda yang berlawan. AP : PB = m : (-n) AP : PB = m : (m-n) Contoh soal : Misalkan diketahui ruas garis QR dipotong oleh titik X dan X berada di dalam QR. Tentukan perbandingan QX dengan XR apabila QR = 6cm dan XR = 2cm Jawab : Panjang QR=6 dan panjang XR = 2 Maka, panjang QX=6-2=4 ππ ππ
= = 2 A P B
11
xp= π π₯ 2 +π π₯ 1 π+π yp = π π¦ 2 +π π¦ 1 π+π Jwb : P = 9π+ β4 π 9β4
= 9 5 πβ 4 5 π = β = β54β β β 4 5 = β Jadi , titk P adalah (-14,12,1) 3. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Koordinat Bila titik P membagi ruas garis yang menghubungkan titik A(x1,y1,z1) dan B(x2,y2,z2) dengan perbandingan m:n ,maka koordinat titik P adalah : xp= π π₯ 2 +π π₯ 1 π+π yp = π π¦ 2 +π π¦ 1 π+π
12
2. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Vektor
Apabila titik P membagi ruas AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, maka vektor π ditentukan dengan rumus : π = π π +π π π+π Contoh soal : Titik P membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan AP:PB = 9: 4, jika titik A(4,3,1), maka koordinat titik P adalahβ¦ Penyelesaian : Dik : AP:AB=9: P diluar AB Dit : p = ? B Vektor posisi titik A dan π Vektor posisi titik P dan π Vektor posisi titik B dan π π P π π C A
13
zp = π π§ 2 +π π§ 1 π+π Contoh soal :
Jika A(1,2,1) dan B(1,5,-5), tentukan koordinat titik R yang membagi garis AB di dalam dengan perbandingan 2:1. Β Penyelesaian: A(1,2,1) B(1,5,-5) AR:RB = 2:1 x= = = 1 y= = = 4 z= 2. β = β9 3 = -3
14
Soal dan Penyelesaian 1. (Anjelita Gea) Jika vektor a = , b= 5 4 β1 , dan c= 4 β1 1 . Maka vektor a + 2b β 3c= Jwb: a + 2b β 3c = β β1 1 = β β3 3 = 1+10β12 2+8β β3 3+ β2 β3 = β1 13 β2
15
2. (Riati Laia) Jika P(-5,0,-3) dan Q(1,2,3) tentukan panjang vektor ππ . Penyelesaian : ππ = (1β β5 ) 2 + (2β0) 2 +(3β β3 ) 2 ππ = ππ = 76 π·πΈ = 2 ππ 3. (Janis Anjeli) Diketahui ruas garis PQ degan koordinat P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1:4 ,maka koordinat titik R adalah... Penyelesaian : Titik R membagi ruas garis PQ dengan P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9) PR:RQ = 1:4 X = = 3 Y= 1 . β = 2 Z= (β1) 1+4 = 1 Jadi,koordinat R adalah (3,2,1)
16
4. (Sabarman Mendrofa) Diketahui ruas garis AB dengan vektor posisi titik A adalah π dan vektor posisi titik B adalah π . Tentukan vektor titik R yang membagi ruas garis AB dengan perbandingan 3:1 Penyelesaian : π = 3 π + π 3+1 π = π π (3 π + π ) 5. (Selvia Wulansari Halawa) Jika diketahui Q(4,2,10) dan R(4,6,2). Maka titik vektor X pada garis QR dengan perbandingan 1:3 adalah... Penyelesaian : π₯ = π +3 π 1+3 π₯ = π₯ = π₯ = π = π π π
17
6. (Hertinus Laia) Diketahui suatu skalar m 2, dan vektor π = β1 3 5 , tentukanlah hasil kali skalar m dengan vektor π . Penyelesaian : m π = 2 β1 3 5 m π = βπ π ππ 7. (Maythen G. Daeli) Vektor π = β4 2 4 , dan vektor π = β1 1 2 , tentukalah 2 π - π ! Penyelesaian : 2 π β π = 2 β4 2 4 β β1 1 2 = β8 4 8 β β1 1 2 = β8β(β1) 4β1 8β2 = βπ π π
18
Jika diketahui A(1,2,3) ,B(2,4,6) dan C(5,10,15)
Jika diketahui A(1,2,3) ,B(2,4,6) dan C(5,10,15). Buktikan bahwa A,B, dan C segaris. Dan tentukan juga nilai perbandingan AB dengan BC. Penyelesaian : π = , π = , π = Maka, π΄π΅ mewakili π - π = = dan π΅πΆ mewakili π - π = = = 3 Jadi, π΅πΆ =3 π΄π΅ ,maka AB:BC=1:3 dan terbukti bahwa A,B, dan C segaris. Diketahui vektor π = 2 β2 β1 . Tentukanlah vektor satuan dari vektor π . Penyelesaian : π = 2 β2 β (β2) 2 + (β1) 2 π = 2 β2 β Β π = 2 β2 β1 3 Β π = π π π βπ βπ
19
Diketahui P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17) jika T pada ruas garis PQ, dan PT:QT=2:1,maka vektor posisi T adalah... Penyelesaian : PT:QT=2: ππ ππ = 2 1 π‘ - π =2( π‘ - π ) π‘ - π =2 π‘ - 2 π π‘ =2 π - π π‘ = 2(5,-4,17) β (-1,5,2 π‘ = (10,-8,34) β (-1,5,2) π =(12,-13,32) Soal Quiz Diketahui π = 3 , π =1, dan | π - π |=1. Panjang vektor π + π adalah... a b c d e.3 π = 5 β6 β2 , π = , π = Jika π = π - π + 3 π , maka| π| ...? a b. 7 c d. 26 e. 5 5
20
Penyelesaian | π + π |2 = 2(a2+b2) - | π - π |2 = 2 (( 3 )2 + 12) β 12
Diketahui titik A (5,2,1) dan B(9,10,9). Titik P di dalam AB dengan perbandingan 1:3. Titik Q di luar AB dengan perbandingan m:n = 2:3. Maka jumlah nilai vektor P + Q ....?? 3 β10 β12 β β3 β10 β12 3 10 β2 Penyelesaian 1. | π + π | = 2( π 2 + π 2 ) β | π - π |2 | π + π |2 = 2(a2+b2) - | π - π |2 = 2 (( 3 )2 + 12) β 12 = 2(4) β 1 = 8 β 1 = 7 | π + π | = 7
21
2. Dik : π = 5 β6 β2 , π = 7 3 1 , π = Dit: | π |=β¦
2. Dik : π = 5 β6 β2 , π = , π = Dit: | π |=β¦? Jika π = π - π + 3 Jwb: π = π - π +3 π = 5 β6 β = 4 β3 0 | π |= (β3) = 25 =5 3. Dik : A(5,2,1)β π₯ 1 =5 ; π¦ 1 =2 ; π§ 1 =1 B(9,10,9)β π₯ 2 =9 ; π¦ 2 =10 ; π§ 2 =9 AP:PB:1:3βm=1, n=3 AB:BQ:2:3βm=2, n=3 Dit : P+Q...? Jawab: Xp = = = 24 4 =6 Yp= = = 16 4 =4 Zp= = = 12 4 =3
22
Xq= 2.9β3.5 2β3 = 18β15 β1 =β3 Yq= 2.10β = 20β6 β1 = 14 β1 =-14 Zq= 2.9β3.1 2β3 = 18+3 β1 =β15 P Q β3 β14 β15 = 6β3 4β14 3β15 = 3 β10 β12
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.