Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR"β€” Transcript presentasi:

1 VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR
Disusun Oleh Kelompok 2: Riati Laia Anjelita Gea Janis Anjeli Selvia W. Halawa Mayten G. Daeli Sabarman Mendrofa Hertinus LaiaΒ  Guru Pembimbing: Ibu Nini Sadarwati Hia, S.Pd SMA Swasta Pembda 1 Gunungsitoli T.P 2015/2016

2 VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR
1. VEKTOR RUANG A. Pengertian Vektor Ruang Jika titik Q adalah titik pangkal dan titik R adalah titik ujung dengan koordinat (x,y,z), maka QR sebagai wakil vektor rdapat dinyatakan sebagai: Z k r j y Y i x Q X x , y , dan z disebut komponen-komponen vekto r yang nilai-nilainya bersesuainv dengan koordinat titik R ( x, y , z ). Vektor-vektor i, j , dan k disebut basis di R-3 pada arah sumbu x positif sumbu y positif , dan sumbu z positif. Karena i , j , dan k mempunyai panjang satu satuan, maka vektor-vektor itu sering disebut vektor satuan

3 Vektor r= xi + yj +zk dapat di nyatakan dalam bentuk :
Vektor baris r = ( x , y , z ) Vektor kolom r = π‘₯ 𝑦 𝑧 B. Panjang Vektor Β  Bila dua titik Q ( x1 ,y1 ,z1 ) dan R ( x2 , y2 ,z2 ) terletak di R3 maka rumus garis berarah QR X2-x1 mewakili vektor y2-y1 z2-z1 yaitu suatu vektor dengan komponen-komponen ( x2-x1 ) , ( y2-y1 ) , dan ( z2-z1 ). Panjang garis berarah QR dapat ditafsirkan sebagai jarak antara titik Q dan R ditulis |QR|. |QR|= (x2 –x1)2 + (y2βˆ’y1)2 + (z2βˆ’x1)2

4 Vektor satuan( 𝑒 ) e = π‘Ž π‘Ž = π‘Ž π‘₯ 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 π‘₯ 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 π‘₯ 𝑦 𝑧 Contoh soal : Jika Q adalah (1, 0 , 1 ) dan R ( 3, 2 , 2 ).tentukan panjang vektor |QR| Penyelesaian: |𝑄𝑅|= (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2 +(Z2 – Z1)2 |𝑄𝑅|=√(3-1)2 + (2-0)2 +(2-1)2 |𝑄𝑅|=√ 𝑄𝑅 = 9 |QR| = 3 C. Penjumlahan Dua Vektor di Ruang Misalkan diketahui vektor a = π‘₯ 𝑦 𝑧 dan vektor b = π‘₯ 𝑦 𝑧

5 Jika vektor c adalah jumlah dari vektor a dan vektor b atau c = a+b , maka vektor c ditentukan oleh : c = π‘₯ π‘Ž 𝑦 π‘Ž 𝑧 π‘Ž + π‘₯ 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏 = π‘₯ π‘Ž + π‘₯ 𝑏 𝑦 π‘Ž + 𝑦 𝑏 𝑧 π‘Ž + 𝑧 𝑏 Contoh soal : Dik : vektor a = βˆ’4 5 6 , vektor b = 5 βˆ’3 2 , tentukanlah vektor a + b ! Jwb: a + b = βˆ’ βˆ’3 2 = βˆ’ βˆ’3 6+2 = 1 2 8

6 D. Pengurangan Dua Vektor Dalam Ruang Misalkan diketahui a = π‘₯ π‘Ž 𝑦 π‘Ž 𝑧 π‘Ž dan vektor b = π‘₯ 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏 . Jika d adalah selisih dari vektor a dengan vektor b atau d = a-b , maka vektor d ditentukan dengan rumus : d = π‘₯ π‘Ž 𝑦 π‘Ž 𝑧 π‘Ž - π‘₯ 𝑏 𝑦 𝑏 𝑧 𝑏 = π‘₯ π‘Žβˆ’ π‘₯ 𝑏 𝑦 π‘Žβˆ’ 𝑦 𝑏 𝑧 π‘Žβˆ’ 𝑧 𝑏 contoh soal : Dik : vektor a = 3i + 2j –k Vektor b= 4i + j + 2k Dit : a-b....?? Jwb: a-b = ( 3i + 2j – k) – ( 4i + j + 2k ) = (-i + j – 3k )

7 E. Hasil Kali Scalar Dengan Vektor Dalam Ruang Misalkan m adalah suatu scalar dan a adalah vektor di ruang dengan a = π‘₯ π‘Ž 𝑦 π‘Ž 𝑧 π‘Ž . Hasil kali scalar dengan vektor a , ditulis sebagai c = m π‘Ž ,ditentukan : c= m π‘₯ π‘Ž 𝑦 π‘Ž 𝑧 π‘Ž = π‘š π‘₯ π‘Ž π‘š 𝑦 π‘Ž π‘š 𝑧 π‘Ž Contoh soal : misalkan diketahui suatu scalar m=2 dan π‘Ž = Tentukanlah nilai m π‘Ž jawab: m π‘Ž = = 4 1 4

8 2. Vektor Posisi Β  Vektor posisi suatu vektor yang mempunyai titik pangkal dipusat koordinat O( 0,0,0 ). Semua vektor dapat dinyatakan ke dalam vektor posisi . vektor posisi A adalah vektor a yang diwakili oleh ruas garis berarah OA. Vektor posisi tititk A dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom : Vektor posisi B adalah vektor 𝑏 yang diwakili oleh ruas garis berarah a . vektor posisi titik B dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom : 𝑏 = π‘₯ 2 𝑦 2 𝑧 2 X Z B(x2,y2,z2) A(x1,y1,z1 ) Y X

9 Vektor posisi 𝐴𝐡 dapat ditentukan oleh : 𝑂𝐴 + 𝐴𝐡 = 𝑂𝐡 𝐴𝐡 = 𝑂𝐡 - 𝑂𝐴 𝐴𝐡 = 𝑏 - π‘Ž 𝐴𝐡 = π‘₯ 2 𝑦 2 𝑧 2 - π‘₯ 1 𝑦 1 𝑧 1 a. Perbandingan Bagian Dinyatakan Dalam Vektor dan Koordinat 1. Pembagian Ruas Garis Dalam Perbandingan Bagian Suatu titik P membagi ruas garis AB dalam perbandingan m:n,Sehingga AP:PB = m:n A m P n B

10 Misalkan diketahui ruas garis QR dipotong oleh titik X dan X berada di
Bila P di dalam AB , maka 𝐴𝑃 , 𝑃𝐡 mempunyai arah yang sama dan m , n mempunyai tanda sama. AP : PB = m : n AP : PB = m : (m+n) Bila P di luar AB , maka 𝐴𝑃 , 𝑃𝐡 mempunyai arah yang berlawanan dan m, n mempunyai tanda yang berlawan. AP : PB = m : (-n) AP : PB = m : (m-n) Contoh soal : Misalkan diketahui ruas garis QR dipotong oleh titik X dan X berada di dalam QR. Tentukan perbandingan QX dengan XR apabila QR = 6cm dan XR = 2cm Jawab : Panjang QR=6 dan panjang XR = 2 Maka, panjang QX=6-2=4 𝑄𝑋 𝑋𝑅 = = 2 A P B

11 xp= π‘š π‘₯ 2 +𝑛 π‘₯ 1 π‘š+𝑛 yp = π‘š 𝑦 2 +𝑛 𝑦 1 π‘š+𝑛 Jwb : P = 9𝑏+ βˆ’4 π‘Ž 9βˆ’4
= 9 5 π‘βˆ’ 4 5 π‘Ž = βˆ’ = βˆ’54βˆ’ βˆ’ βˆ’ 4 5 = βˆ’ Jadi , titk P adalah (-14,12,1) 3. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Koordinat Bila titik P membagi ruas garis yang menghubungkan titik A(x1,y1,z1) dan B(x2,y2,z2) dengan perbandingan m:n ,maka koordinat titik P adalah : xp= π‘š π‘₯ 2 +𝑛 π‘₯ 1 π‘š+𝑛 yp = π‘š 𝑦 2 +𝑛 𝑦 1 π‘š+𝑛

12 2. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Vektor
Apabila titik P membagi ruas AB dengan perbandingan AP : PB = m : n, maka vektor 𝑝 ditentukan dengan rumus : 𝑝 = π‘š 𝑏 +𝑛 π‘Ž π‘š+𝑛 Contoh soal : Titik P membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan AP:PB = 9: 4, jika titik A(4,3,1), maka koordinat titik P adalah… Penyelesaian : Dik : AP:AB=9: P diluar AB Dit : p = ? B Vektor posisi titik A dan π‘Ž Vektor posisi titik P dan 𝑝 Vektor posisi titik B dan 𝑏 𝑏 P 𝑝 π‘Ž C A

13 zp = π‘š 𝑧 2 +𝑛 𝑧 1 π‘š+𝑛 Contoh soal :
Jika A(1,2,1) dan B(1,5,-5), tentukan koordinat titik R yang membagi garis AB di dalam dengan perbandingan 2:1. Β Penyelesaian: A(1,2,1) B(1,5,-5) AR:RB = 2:1 x= = = 1 y= = = 4 z= 2. βˆ’ = βˆ’9 3 = -3

14 Soal dan Penyelesaian 1. (Anjelita Gea) Jika vektor a = , b= 5 4 βˆ’1 , dan c= 4 βˆ’1 1 . Maka vektor a + 2b – 3c= Jwb: a + 2b – 3c = βˆ’ βˆ’1 1 = βˆ’ βˆ’3 3 = 1+10βˆ’12 2+8βˆ’ βˆ’3 3+ βˆ’2 βˆ’3 = βˆ’1 13 βˆ’2

15 2. (Riati Laia) Jika P(-5,0,-3) dan Q(1,2,3) tentukan panjang vektor 𝑃𝑄 . Penyelesaian : 𝑃𝑄 = (1βˆ’ βˆ’5 ) 2 + (2βˆ’0) 2 +(3βˆ’ βˆ’3 ) 2 𝑃𝑄 = 𝑃𝑄 = 76 𝑷𝑸 = 2 πŸπŸ— 3. (Janis Anjeli) Diketahui ruas garis PQ degan koordinat P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1:4 ,maka koordinat titik R adalah... Penyelesaian : Titik R membagi ruas garis PQ dengan P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9) PR:RQ = 1:4 X = = 3 Y= 1 . βˆ’ = 2 Z= (βˆ’1) 1+4 = 1 Jadi,koordinat R adalah (3,2,1)

16 4. (Sabarman Mendrofa) Diketahui ruas garis AB dengan vektor posisi titik A adalah π‘Ž dan vektor posisi titik B adalah 𝑏 . Tentukan vektor titik R yang membagi ruas garis AB dengan perbandingan 3:1 Penyelesaian : π‘Ÿ = 3 π‘Ž + 𝑏 3+1 𝒓 = 𝟏 πŸ’ (3 𝒂 + 𝒃 ) 5. (Selvia Wulansari Halawa) Jika diketahui Q(4,2,10) dan R(4,6,2). Maka titik vektor X pada garis QR dengan perbandingan 1:3 adalah... Penyelesaian : π‘₯ = π‘ž +3 π‘Ÿ 1+3 π‘₯ = π‘₯ = π‘₯ = 𝒙 = πŸ’ πŸ“ πŸ’

17 6. (Hertinus Laia) Diketahui suatu skalar m 2, dan vektor 𝑐 = βˆ’1 3 5 , tentukanlah hasil kali skalar m dengan vektor 𝑐 . Penyelesaian : m 𝑐 = 2 βˆ’1 3 5 m 𝒄 = βˆ’πŸ πŸ” 𝟏𝟎 7. (Maythen G. Daeli) Vektor π‘Ž = βˆ’4 2 4 , dan vektor 𝑏 = βˆ’1 1 2 , tentukalah 2 π‘Ž - 𝑏 ! Penyelesaian : 2 π‘Ž βˆ’ 𝑏 = 2 βˆ’4 2 4 βˆ’ βˆ’1 1 2 = βˆ’8 4 8 βˆ’ βˆ’1 1 2 = βˆ’8βˆ’(βˆ’1) 4βˆ’1 8βˆ’2 = βˆ’πŸ• πŸ‘ πŸ”

18 Jika diketahui A(1,2,3) ,B(2,4,6) dan C(5,10,15)
Jika diketahui A(1,2,3) ,B(2,4,6) dan C(5,10,15). Buktikan bahwa A,B, dan C segaris. Dan tentukan juga nilai perbandingan AB dengan BC. Penyelesaian : π‘Ž = , 𝑏 = , 𝑐 = Maka, 𝐴𝐡 mewakili 𝑏 - π‘Ž = = dan 𝐡𝐢 mewakili 𝑐 - 𝑏 = = = 3 Jadi, 𝐡𝐢 =3 𝐴𝐡 ,maka AB:BC=1:3 dan terbukti bahwa A,B, dan C segaris. Diketahui vektor 𝑐 = 2 βˆ’2 βˆ’1 . Tentukanlah vektor satuan dari vektor 𝑐 . Penyelesaian : 𝑒 = 2 βˆ’2 βˆ’ (βˆ’2) 2 + (βˆ’1) 2 𝑒 = 2 βˆ’2 βˆ’ Β  𝑒 = 2 βˆ’2 βˆ’1 3 Β  𝒆 = 𝟏 πŸ‘ 𝟐 βˆ’πŸ βˆ’πŸ

19 Diketahui P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17) jika T pada ruas garis PQ, dan PT:QT=2:1,maka vektor posisi T adalah... Penyelesaian : PT:QT=2: 𝑃𝑇 𝑄𝑇 = 2 1 𝑑 - 𝑝 =2( 𝑑 - π‘ž ) 𝑑 - 𝑝 =2 𝑑 - 2 π‘ž 𝑑 =2 π‘ž - 𝑝 𝑑 = 2(5,-4,17) – (-1,5,2 𝑑 = (10,-8,34) – (-1,5,2) 𝒕 =(12,-13,32) Soal Quiz Diketahui π‘Ž = 3 , 𝑏 =1, dan | π‘Ž - 𝑏 |=1. Panjang vektor π‘Ž + 𝑏 adalah... a b c d e.3 π‘Ž = 5 βˆ’6 βˆ’2 , 𝑏 = , 𝑐 = Jika 𝑑 = π‘Ž - 𝑏 + 3 𝑐 , maka| 𝑑| ...? a b. 7 c d. 26 e. 5 5

20 Penyelesaian | π‘Ž + 𝑏 |2 = 2(a2+b2) - | π‘Ž - 𝑏 |2 = 2 (( 3 )2 + 12) – 12
Diketahui titik A (5,2,1) dan B(9,10,9). Titik P di dalam AB dengan perbandingan 1:3. Titik Q di luar AB dengan perbandingan m:n = 2:3. Maka jumlah nilai vektor P + Q ....?? 3 βˆ’10 βˆ’12 βˆ’ βˆ’3 βˆ’10 βˆ’12 3 10 βˆ’2 Penyelesaian 1. | π‘Ž + 𝑏 | = 2( π‘Ž 2 + 𝑏 2 ) βˆ’ | π‘Ž - 𝑏 |2 | π‘Ž + 𝑏 |2 = 2(a2+b2) - | π‘Ž - 𝑏 |2 = 2 (( 3 )2 + 12) – 12 = 2(4) – 1 = 8 – 1 = 7 | π‘Ž + 𝑏 | = 7

21 2. Dik : π‘Ž = 5 βˆ’6 βˆ’2 , 𝑏 = 7 3 1 , 𝑐 = Dit: | 𝑑 |=…
2. Dik : π‘Ž = 5 βˆ’6 βˆ’2 , 𝑏 = , 𝑐 = Dit: | 𝑑 |=…? Jika 𝑑 = π‘Ž - 𝑏 + 3 Jwb: 𝑑 = π‘Ž - 𝑏 +3 𝑐 = 5 βˆ’6 βˆ’ = 4 βˆ’3 0 | 𝑑 |= (βˆ’3) = 25 =5 3. Dik : A(5,2,1)β†’ π‘₯ 1 =5 ; 𝑦 1 =2 ; 𝑧 1 =1 B(9,10,9)β†’ π‘₯ 2 =9 ; 𝑦 2 =10 ; 𝑧 2 =9 AP:PB:1:3β†’m=1, n=3 AB:BQ:2:3β†’m=2, n=3 Dit : P+Q...? Jawab: Xp = = = 24 4 =6 Yp= = = 16 4 =4 Zp= = = 12 4 =3

22 Xq= 2.9βˆ’3.5 2βˆ’3 = 18βˆ’15 βˆ’1 =βˆ’3 Yq= 2.10βˆ’ = 20βˆ’6 βˆ’1 = 14 βˆ’1 =-14 Zq= 2.9βˆ’3.1 2βˆ’3 = 18+3 βˆ’1 =βˆ’15 P Q βˆ’3 βˆ’14 βˆ’15 = 6βˆ’3 4βˆ’14 3βˆ’15 = 3 βˆ’10 βˆ’12


Download ppt "VEKTOR DI RUANG DITINJAU DARI SUDUT PANDANG ALJABAR"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google