SISTEM PERSAMAAN LINIER [ELIMINASI GAUSS-JORDAN]

Presentasi berjudul: "SISTEM PERSAMAAN LINIER [ELIMINASI GAUSS-JORDAN]"— Transcript presentasi:

1 SISTEM PERSAMAAN LINIER [ELIMINASI GAUSS-JORDAN]
PERTEMUAN 3 RABU, 20 MARET 2013 08.00 – WIB [MNJ B] 10.30 – WIB [MNJ A] SELASA, 26 MARET 2013 WIB [AKT] NURUL SAILA

2 Sistem Persamaan Linier (SPL) Definisi dan Istilah Persamaan Linier
Metode Menyelesaikan SPL Eliminasi Gauss-Jordan OBE Matrik Eselon Baris Matrik Eselon Baris yg direduksi Matrik yg diperbesar Menyelesaikan SPL dg Eliminasi Gauss-Jordan Kaidah Cramer Perkalian Matrik NURUL SAILA

3 Definisi dan Istilah 1. PERSAMAAN LINIER
Persamaan linier adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu. Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …, xn adalah sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b dimana a1, a2, …, an, b adalah konstanta- konstanta riil. NURUL SAILA

4 Menyelesaikan Persamaan Linier
Pemecahan persamaan linier: a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya. NURUL SAILA

5 Contoh: Tentukan selesaian dari persamaan- persamaan berikut:
2x + 3 = -7 2x + 3y -2 = 10 2x + 3y + 5z + 10 = 15 NURUL SAILA

6 2. Sistem Persamaan Linier
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn dinamakan sebuah system persamaan linier atau sebuah system linier. Sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan dalam n variable adalah: NURUL SAILA

7 Menyelesaikan SPL Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn dinamakan sebuah pemecahan system tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan di dalam system tersebut. NURUL SAILA

8 Contoh: Perhatikan sistem persamaan linier berikut: 2x + 3y – 5z = -8 -x –y + 15z = 42 5x -2y + z = 11 Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3} NURUL SAILA

9 Metode Menyelesaikan SPL
Ada beberapa cara menentukan pemecahan system persamaan linier, yaitu: (1) Eliminasi Gauss (2) Eliminasi Gauss-Jordan (3) Kaidah Cramer (4) Perkalian Matrik NURUL SAILA

10 Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, yang meliputi langkah- langkah sbb: Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system; >>> NURUL SAILA

11 Eliminasi Gauss Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris (row-echelon form). Mengubah matrik eselon baris ke bentuk sistem persamaan. Menyelesaikan tiap persamaan dalam sistem. NURUL SAILA

12 Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada suatu baris matriks, yaitu: Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0. Pertukarkan sebarang dua baris. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd baris yang lain. NURUL SAILA

13 Contoh: OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1)
OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1  B2) OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1) NURUL SAILA

14 Matrik Eselon Baris (Row-echelon form)
Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris adalah sebagai berikut: Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama). Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi. NURUL SAILA

15 Contoh: Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris?
Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris. NURUL SAILA

16 Contoh: Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss. NURUL SAILA

17 Eliminasi Gauss Jordan
Langkah-langkah yang ditempuh, yaitu: Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system; Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris yang direduksi (reduced row-echelon form) NURUL SAILA

18 Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai 0 ditempat lain.
Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris yang direduksi adalah sebagai berikut: Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama). Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1 utama mempunyai 0 ditempat lain. NURUL SAILA

19 Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris yang direduksi?
Contoh: Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris yang direduksi? Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris yg direduksi. NURUL SAILA

20 Contoh: Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan.
NURUL SAILA

21 Tugas Mandiri Silahkan dilihat blog: Dikumpulkan via Paling lambat 27 maret 2013 jam WIB NURUL SAILA