HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI DAN GRAFIK

Presentasi berjudul: "HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI DAN GRAFIK"— Transcript presentasi:

1 HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI DAN GRAFIK
Bima Dicky ad Nina Ayuningtyas Muhammad Rizka Ardiansyah

2 Apa itu himpunan? segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19

3 Subbab Notasi Himpunan Himpunan Kosong Relasi Antarhimpunan Kelas
Kardinalitas Fungsi Karakteristik Representasi Biner Operasi Dasar Himpunan

4 NOTASI HIMPUNAN Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atauB, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z) Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu.

5 Nama Notasi Contoh Himpunan Huruf besar S Anggota himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf) a Kelas Huruf tulisan tangan C

6

7 Simbol Arti  {} atau Ø Himpunan kosong  Operasi gabungan dua himpunan  Operasi irisan dua himpunan ,,, Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati Komplemen Himpunan kuasa

8 Himpunan dapat didefinisikan menjadi 2 yaitu
ENUMERASI PEMBAGIAN HIMPUNAN

9 ENUMERASI Yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampaui bayak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan ellipsis (…) Contoh: B = {apel,jeruk,manga,pisang} A = {a,b,c,…,y,z} N ={1,2,3,4,…}

10 PEMBANGUN HIMPUNAN Notasi ini tidak dengan cara mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat- sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut Notas pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradox, contohnya seperti himpunan A={x|xA} yang berarti “Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya.”

11 HIMPUNAN KOSONG Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak memiliki anggota apapun Notasi himpunan kosong Ø = { }

12 RELASI ANTARHIMPUNAN HIMPUNAN BAGIAN SUPERHIMPUNAN KESAMAAN 2 HIMPUNAN
HIMPUNAN KUASA

13 HIMPUNAN BAGIAN Dalam suatu himpunan, missal A = {apel,jeruk,manga,pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya diambil dari himpunan itu sendiri Beberapa himpunan seperti {apel,jeruk} ; {jeruk,pisang} ; {apel,mangga,pisang} merupakan himpunan bagian dari A, karena memiliki sifat umum yaitu setiap anggota himpunan diatas merupakan anggota himpunan A. Dari hal itu kemudian dapat dirumuskan “B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A” B  A  xx  B  x 

14 Untuk sembarang himpunan A = Ø  A (mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri) Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri ( B  A  B A  B  A)

15 SUPERHIMPUNAN Merupakan kebalikan dari subhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut

16 KESAMAAN 2 HIMPUNAN Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A. atau Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.

17 HIMPUNAN KUASA Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

18 KELAS Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan A = {{a,b}, {c,d,e,f}, {a,c}, {,}} adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya adalah sebuah keluarga himpunan Contoh: P = {{a,b},c} bukanlah sebuah kelas, karena mengandung unsur c yang bukan himpunan

19 KARDINALITAS Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut Contoh : Banyaknya anggota himpunan {apel, jeruk, manga, pisang} adalah 4. Himpunan {p,q,r,s} anggota nya sejumlah 4. Jadi kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang tinggi Kardinalitas terbagi menjadi 4 yaitu himpunan denunerabel, himpunan berhingga, himpunan tercacah, himpunan non-denumerabel

20 HIMPUNAN DENUMERABEL Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2n

21 HIMPUNAN BERHINGGA Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.

22 HIMPUNAN TERCACAH & HIMPUNAN NON DENUMERABEL
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel. HIMPUNAN NON DENUMERABEL Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas 

23 lanjutan Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah 

24 FUNGSI KARAKTERISTIK Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut. 

25 REPRESENTASI BINER Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota S, sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}

26 Maka akan menjadi : Himpunan Representasi Biner a b c d e f g S = { a, b, c, d, e, f, g } --> A = { a, c, e, f } --> B = { b, c, d, f } --> Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen(pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler- kompiler Pascal dan jugaDelphi

27 OPERASI DASAR HIMPUNAN
GABUNGAN IRISAN

28 GABUNGAN IRISAN Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama- sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=A ∪ B setara dengan A or B, dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan A ataupun B. Beberapa sifat dasar gabungan: A ∪ B = B ∪ A. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. A ⊆ (A ∪ B). A ∪ A = A. A ∪ ∅ = A. A ⊆ B jika and hanya jika A ∪ B = B. Operasi irisan A ∩ B setara dengan A dan B. Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika A ∩ B = ∅, maka A dan B dapat dikatakan disjoint (terpisah). Beberapa sifat dasar irisan: A ∩ B = B ∩ A. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. A ∩ B ⊆ A. A ∩ A = A. A ∩ ∅ = ∅. A ⊂ B jika and hanya jika A ∩ B = A.

29 KOMPLEMEN HASIL KALI KARTESIAN

30 Prinsip Dualitas pada Himpunan
Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi- operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti   ,   ,   U, U  , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

31 KOMPLEMEN HASIL KALI KARTESIAN
Operasi pelengkap A^C setara dengan not A atau A'. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut. Beberapa sifat dasar komplemen: A \ B ≠ B \ A untuk A ≠ B. A ∪ A′ = U. A ∩ A′ = ∅. (A′)′ = A. A \ A = ∅. U′ = ∅ dan ∅′ = U. A \ B = A ∩ B′. Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan A dan B atau A - Bmenghasilkan Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara A dan B didefinisikan dengan A × B. Anggota himpunan | A × B | adalah pasangan terurut (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B. Beberapa sifat dasar himpunan perkalian: A × ∅ = ∅. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C). (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C). | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

32 RELASI Relasi adalah aturan yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan yang lainnya. Relasi himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota  A dengan anggota-anggota B. Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.

33 RELASI DAN FUNGSI PROPOSISI
Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut. Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

34 Contoh A = {2,3,4,5,6} B = {1,2,3,4,5,6} Relasi : “adalah faktor dari“ Dapat disajikan dalam dua macam cara, yaitu : a. Dengan Diagram Panah 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6

35 b. Dengan Diagram Pasangan Berurutan
Dengan menggunakan penyajian relasi di atas, maka relasi R dari himpunan A ke himpunan B dapat kita definisikan sebagai himpunan pasangan (a,b) pada AxB, di mana a C A dan b C B salah satu dari kalimat berikut: “a berelasi dengan b” ditulis a Rb atau R(a,b) “a tidak berelasi dengan b” ditulis a R b atau R(a,b)

36 Relasi Sebagai Himpunan Dari Pasangan-Pasangan Terurut
Misalkan R* sebarang subhimpunan dari A x B dimana suatu relasi R = (A,B, P (x, y)) dimana P (x, y) berbunyi : “Pasangan terurut (x, y) termasuk dalam R*”. Suatu Relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A x B. 2.Relasi Invers Setiap relasi R dari A ke B mempunyai suatu relasi invers R-1 dari B ke A yang didefinisikan dengan : R-1 = {(b, a) ½(a, b) Î R}

37 Relasi A×A Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut: Refleksif Irefleksif Simetrik Anti-simetrik Transitif Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

38 3.Relasi Refleksif Misalkan    R= P(x,y) suatu relasi dalam sebuah himpunan A, yaitu misalkan R sebuah subhimpunan dari A x A. Maka R disebut suatu relasi refleksif jika, untuk setiap a Î A, (a, a) Î R Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya. Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

39 4. Relasi Irefleksif Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri. Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri. Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

40 5.Relasi Simetris Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik. Sebuah relasi genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

41 6. Relasi Anti -Semetris Suatu relasi R adalah dalam sebuah himpunan A, yaitu sebuah subhimpunan dari A x A, disebut suatu relasi antisimetris jika : (a, b) Î R dan (b, a) Î R maka berarti a = b, jika a ¹ b maka mungkin a berhubungan dengan b dan mungkin b, berhubungan dengan a, tetapi tidak pernah kedua-duanya. Misalkan D menyatakan garis diagonal dari A x A, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (a, a) Î A x A. Maka suatu relasi R dalam A adalah anti simetris jika dan hanya jika R R-1 Ì D

42 Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

43 7. Relasi Transitif Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung. Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

44 8. Relasi Ekuivalen Suatu Relasi R dalam himpunan A adalah suatu relasi ekuivalen jika 1) R adalah refleksif, yaitu untuk setiap a Î A, (a, a) Î R 2) R adalah simetris, yaitu jika (a, b) Î R maka (b, a) Î R 3) R adalah transitif yaitu jika (a, b) Î R dan (b, c) Î R maka (a, c) Î R

45 9. Ranah Dan Jangkau Dari Suatu Fungsi Misalkan R suatu relasi dari A ke B, yaitu misalkan R subhimpunan dari A x B. Ranah (dominan) D dari relasi R adalah himpunan dari semua elemen pertama dalam pasangan- pasangan terurut yang termasuk R yaitu : D = {(a½a Î A, (a, b) Î R} Jangkau (range) E dari relasi R terdiri atas semua elemen kedua yang muncul dalam pasangan-pasangan terurut dalam R, yaitu E = {b | b Î B, (a, b) Î R} Jadi ranah suatu relasi dari A ke B adalah subhimpunan dari A dan jangkaunya adalah subhimpunan dari B. Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}, dan R = {(2, a), (4, a), (4, c)} Maka ranah dari R adalah himpunan {2, 4}, dan jangkau dari R adalah himpunan {a, c}.

46 FUNGSI

47 Relasi fungsional atau sering disingkat fungsi sering juga disebut dengan istilah pemetaan (mapping) yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal dengan elemen pada B.

48 Grafik contoh sebuah fungsi, Baik domain maupun kisaran dalam gambar adalah himpunan bilangan riil di antara -1 dan 1,5

49 Contoh 1. Gambar di atas adalah fugsi karena terdapat relasi (yang melibatkan dua himpunan yakni A dan B) dan dan pemasangan setiap elemen A adalah secara tunggal. Contoh 2. Gambar di atas bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang dipasangkan tidak secara tunggal dengan elemen pada B A B C D W X Y Z A B C D W X Y Z

50 Sifat Fungsi Injektif (satu-satu) Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu, apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang didefinisikan dengan f(x) = 2x adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.

51 2. Surjektif (onto) Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang- kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A onto B”

52 3. Bijektif (korespondensi satu-satu) Suatu pemetaan f: A->B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”

53 Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi Konstan F: x -> C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f memetakan setiap bilangan real dengan C.

54 2. Fungsi Identitas Fungsi R -> R yang didefinisikan sebagai : F : x -> disebut fungsi identitas

55 3. Fungsi Linear Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax+b, a dan b konstan dengan a tidak sama denga 0 disebut fungsi linear

56 4. Fungsi Kuadrat Fungsi f: R -> R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c C R dan a tidak sama dengan 0 disebut fungsi kuadrat. 5. Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) = p(x)/q(x) dengan p(x) dan q(x) adalah suku banyak dalam x dan q(x) tidak sama dengan 0

57 DOMAIN DAN KODOMAIN Pada diagram di samping, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

58 GRAFIK Fungsi kuadrat (quadratic function) adalah fungsi polinomial yang berderajat dua. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Fungsi kuadrat dapat memotong sumbu-x 2 kali, 1 kali, atau tidak memotong sumbu-x sama sekali.

59

60 fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x minimal di satu titik, misalkan di titik-titik (x1, 0) dan (x2, 0). Sehingga didapatkan f(x1) = f(x2) = 0. Apabila fungsi kuadrat yang memotong sumbu-x di dua titik tersebut melalui titik (x3, y3), maka fungsi kuadrat tersebut dapat ditentukan bentuknya, yaitu sebagai berikut:

61 DAFTAR PUSTAKA