Penalaran Matematika.

Presentasi berjudul: "Penalaran Matematika."— Transcript presentasi:

1 Penalaran Matematika

2 Logika sebagai Ilmu Penalaran Sistematis
PENGERTIAN LOGIKA Secara etimologis, istilah Logika berasal dari kata “ Logos “ (Yunani) yang berarti kata, ucapan (sesuatu yg diutarakan/ungkapan lewat bahasa), fikiran secara utuh, atau bisa juga mengandung makna ilmu pengetahuan. Dalam arti luas Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat ( correct ) dengan penalaran yang tidak tepat. Dalam Logika kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang kita lakukan itu tepat ( correct ) atau tidak. Untuk dapat berfikir dengan tepat (correct) , Logika menawarkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat

3 Logika tidak menjelaskan bagaimana sifat atau karakteristik orang yang berfikir, juga tidak mempersoal-kan bagaimana dan dalam keadaan apa seseorang dapat menarik kesimpulan benar atau dapat berfikir dengan tepat, namun Logika menganalisa apakah jalan fikiran atau penarikan kesimpulan benar atau tidak dan Logika juga mempersoalkan apakah sebuah kesimpulan ditarik secara syah atau tidak. Orang yang pertama merintis dan mempelopori Logika adalah Aristoteles , seorang ahli filsafat Yunani yg mengobservasi dan mencatat hukum-hukum dari logika formal , yaitu logika yang kesahihan dari langkah-langkahnya dipandang hanya dari bentuk (form) dari rangkaian langkah-langkah itu dan tidak bergantung pada materi persoalan sehingga berlaku baik di ilmu alam, ilmu kimia, maupun ilmu-ilmu lainnya serta dalam persoalan sehari-hari.

4 Sebagai contoh bentuk penalaran khusus yang dikenal dengan Silogisme dengan bentuk Barbara yang terdiri dari dua premis dan satu konklusi: Premis 1 : semua a adalah b. Premis 2: semua b adalah c. Konklusi:  semua a adalah c. Langkah dari dua premis di atas menghasilkan konklusi, tidak tergantung pada isi dari a , b dan c.

5 Dalam karya-karya tentang logika formal, Aristoteles menggunakan bahasa alami (natural language).
Kelebihan bahasa alami, yaitu adanya berbagai nuansa arti dari kata-kata yang memungkinkan orang mengungkap-kan perbedaan perasaan-perasaan yang halus Kelemahan dan kekurangan bahasa alami yaitu jika dipandang dari segi univalensi dan ketepatan ungkapan, sebab bahasa alami bermakna ganda (multivalent) , tak jelas/kabur (ambiguous) dan tak beraturan (irregular). Padahal ilmu, khususnya matematika, memerlukan ketunggalan dan ketepatan ungkapan, ciri-ciri yang diperlukan untuk menggapai ketajaman penalaran. Pada khususnya kata-kata kunci dalam suatu penalaran seperti “ dan “, “ atau “, “ jika – maka – “, dan lain-lain memerlukan definisi-definisi yang tunggal dan tepat (precise) agar supaya penalaran dapat berjalan dengan derajat ketajaman yang tinggi. Perlu juga dicatat bahwa di dalam matematika, bahasa itu tidak hanya merupakan alat komunikasi, tetapi juga, dan lebih-lebih berfungsi sebagai pembawa pikiran, kendaraan berfikir.

6 Setiap ilmu, termasuk logika formal, mengabdi pada dan mencari kebenaran.
Tadi dikatakan bahwa dalam logika formal, isi dari kalimat-kalimatnya dikesampingkan maka timbul pertanyaan demikian: Misalkan sebagai konklusi dari suatu penalaran didapat suatu kalimat atomic, seperti “ Tono adalah pem-bunuh Ali “. Benarnya suatu kalimat atomic didefinisikan dengan adanya persesuaian antara apa yang disampaikan kalimat itu dan keadaan sebenarnya yang terjadi di realitas. Jika dalam logika formal kalimat-kalimatnya dikosongkan dari isinya, bagaimana menentukan nilai benarnya suatu kalimat ? Dengan kata lain, bagaimana hubungan antara logika formal dengan kebenaran yang menjadi tujuan setiap ilmu ? Hubungan tersebut dapat dijelaskan demikian : “ Apabila kalimat-kalimat pangkal bernilai benar, dan kebenaran itu diyakini dari observasi factual atau mental (berupa kesesuaian dengan fakta-fakta ilmu) atau didapat dari sumber terpercaya, maka, jika penalaran dilakukan sesuai dengan hukum-hukum logika formal, kita punya kepastian bahwa konklusi juga benar, tanpa melakukan observasi lagi

7 Dengan kata lain logika formal memandu penalaran kita bergerak dari hal yang benar ke hal yang benar. Dengan syarat-syarat : Pangkal benar. langkah-langkah sesuai dengan hukum-hukum dari logika formal. Jadi ilmu logika formal hanya menentukan dan mencatat hukum-hukum dari penalaran yang sahih ( correct ) .

8 Perlu dicatat bahwa kata “ benar “ untuk menyatakan kebenaran suatu kalimat (pernyataan), sedangkan untuk tepatnya suatu penalaran mengguna-kan istilah “ sahih “ . Jadi disini dibedakan antara “ benarnya kalimat atomic “ ( truth of a sentence ) dan “ sahihnya penalaran “ ( validity of reasoning ).

9 Dalam kehidupan sehari-hari kita dituntut untuk menggunakan akal fikiran dalam melakukan setiap kegiatan dengan penuh pemikiran dan pertimbangan. Oleh karena itu kita harus mempunyai pola berfikir yang tepat, akurat, rasional dan obyektif, disamping dapat berfikir kritis. Pola berfikir seperti ini adalah cara berfikir atau penalaran yang terdapat dalam logika. Oleh karena itu Logika sangat penting dalam setiap bidang kehidupan manusia. Difihak lain mempelajari logika juga mempunyai nilai praktis, karena penguasaan prinsip-prinsipnya dapat membantu kita untuk menjadi lebih effektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam penalaran, baik penalaran yang dilakukan orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri. Seseorang yang dapat mengenal dan menghindari kesalahan logika dalam penalaran akan dapat berfikir lebih jelas dan tepat, lebih baik dan lebih yakin, apapun yang mungkin merupakan pokok persoalan yang akan dihadapi .

10 LOGIKA KALIMAT Di dalam Logika Kalimat, kalimat-kalimat dipandang sebagai suatu keseluruhan yang tidak dianalisis atas subyek dan predikat. Kalimat-kalimat itu satu sama lain dihubungkan dengan kata-kata penghubung kalimat yaitu : “dan“ (untuk konjungsi), “ atau “ (untuk disjungsi), “jika … maka …“ (untuk implikasi), “ … jika dan hanya jika …“ (untuk biimplikasi), “tidak“ (untuk negasi). Dalam percakapan sehari-hari, pemakaiannya diwarnai dengan macam-macam konotasi dan arti sampingan, yang tidak sesuai dengan matematika sebagai ilmu yang eksak. Karena itu penggunaannya dalam matematika ditertibkan. Hal ini dilaksanakan di dalam logika kalimat dengan menggunakan tabel-tabel nilai kebenaran. Dalam penalaran matematika, logika kalimat memegang peranan yang penting disamping teori kuantifikasi yang menganalisis struktur internal dari kalimat.

11 PERNYATAAN MAJEMUK DLM LOGIKA KALIMAT
Konjungsi antara pernyataan p dan q dinyatakan dengan simbol “p  q” atau “p & q” , dibaca “ p dan q”. p q p  q B S

12 Disjungsi antara pernyataan p dan q dinyatakan dengan “ p  q “ , dibaca “ p atau q”.
Pernyataan “p  q“ bisa mempunyai arti p atau q, tetapi tidak kedua-duanya. Arti yang demikian dinamakan arti eksklusif. Namun dilain pihak pernyataan “p  q“ dapat juga diartikan p atau q, atau kedua- duanya. Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif.

13 p q p  q B S Disjungsi Eksklusif p q p  q B S Disjungsi Inklusif

14 Implikasi antara pernyataan p dan q dinyatakan dengan simbol “p  q”
dibaca : a. Jika p maka q b. p hanya jika q c. p berimplikasi q d. q jika p e. p adalah syarat cukup untuk q f. q adalah syarat perlu untuk p

15 p q p  q B S

16 p q  p  q p  q q  p p  q q  p
Jika “p q” suatu pernyataan implikasi, maka 1. Konvers dari implikasi “p  q” adalah “q  p” 2. Invers dari implikasi “p  q” adalah “~p ~q” 3. Kontraposisi dari implikasi “p q” adalah “~q  ~p” p q  p  q p  q q  p p  q q  p B S

17 Biimplikasi antara pernyataan p dan q dinyatakan dengan simbol “p  q”
dibaca : “p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q” , biasa disingkat “p jhj q” atau “p bhb q”. p q p  q B S

18 Bagaimana Negasi (Ingkaran) dari Pernyataan Majemuk?
 (p  q)  ………………..  (p  q)  ………………..  (p  q)  ………………..  (p  q)  ………………..

19 PENALARAN MATEMATIKA

20 Menurut Keraf (1982:5): Penalaran (jalan pikiran / reasoning) adalah proses berfikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta yang diketahui menuju ke suatu kesimpulan. Menurut Fadjar Shadiq (2004): Penalaran adalah suatu kegiatan, suatu proses atau aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya. Menurut Shurter dan Pierce (1966, 99): Penalaran merupakan suatu proses pencapaian kesimpulan berdasarkan fakta dan sumber yang relevan.

21 Penalaran: merupakan suatu proses pencapaian kesimpulan berdasarkan fakta dan sumber yang relevan yang dinyatakan sebagai premis-premis dalam sebuah argumen Penalaran memiliki langkah-langkah sistematis yang bersifat baku untuk setiap bidang ilmu. Sehingga Orang lain yang ingin membuktikan gejala yang sama dengan langkah yang sama pasti akan memperoleh hasil yang sama pula asalkan situasi dan kondisinya sama . Jadi dalam penalaran tidak ada kebohongan ilmiah .

22 Penalaran: merupakan suatu proses pencapaian kesimpulan berdasarkan fakta dan sumber yang relevan yang dinyatakan sebagai premis-premis dalam sebuah argumen ARGUMEN ? Argumen merupakan serangkaian pernyataan ( proposisi ) yang mempunyai struktur, terdiri dari beberapa premis dan satu kesimpulan atau konklusi . Dalam Argumen terdapat kata-kata seperti : “ jadi “ , “ maka “ , “ oleh karena itu ‘ , dsb.

23 Penalaran matematika (mathematical reasoning) diperlukan untuk apa?
untuk menentukan apakah sebuah argumen matematika benar atau salah; untuk membangun suatu argumen matematika; untuk melakukan pembuktian (proof); Untuk pemeriksaan program (program verification); untuk melakukan inferensi dalam suatu sistem kecerdasan buatan (artificial intelligence/AI)

24 Beberapa istilah yang akan dipakai dalam penalaran matematika perlu dimengerti artinya, yakni:
1. bukti, 2. inferensi (penarikan kesimp.) 3. teorema, 4. lemma, 5. corollary, dan 6. konjektur (conjecture).

25 Aksioma (axiom) adalah pernyataan dasar dari suatu struktur matematika yang tidak perlu bukti.
Pembuktian (proof) dipakai untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan adalah benar. Suatu pembuktian terdiri dari rangkaian pernyataan-pernyataan yang membentuk sebuah argumen. Langkah-langkah yang menghubungkan pernyataan-pernyataan ini disebut sebagai aturan inferensi (rules of inference).

26 Suatu penalaran yang salah disebut sebagai fallacy.
Teorema adalah pernyataan yang dapat ditunjukkan bernilai benar. Suatu lemma adalah teorema sederhana yang dipergunakan sebagai hasil-antara dalam pem-buktian teorema lain, corollary adalah suatu proposisi yang secara langsung diperoleh dari teorema yang sudah dibuktikan. Suatu konjektur (hipotesa) adalah suatu asumsi yang nilai kebenarannya tidak diketahui. Setelah pembuktian berhasil dilakukan, maka konjektur berubah menjadi teorema.

27 Aturan ini didasarkan pada tautologi ((p  q)  p)  q.
Aturan-aturan inferensi memberikan sarana untuk melakukan pembenaran dari langkah-langkah yang dipakai dalam proses pembuktian. Salah satu aturan penting yang perlu kita kenal adalah modus ponens. Aturan ini didasarkan pada tautologi ((p  q)  p)  q. Kita menuliskan modus ponen dengan cara berikut: p  q p  q ARGUMEN

28 Modus Tolens : Silogisma ( Silogisma Hipotetik ) p  q ~ q   ~ p
q  r  p  r

29 Disamping aturan inferensi, dikenal juga argumen yang juga terdiri dari satu atau beberapa buah hipotesis dan suatu kesimpulan. Suatu argumen disebut valid, apabila, saat semua hipotesisnya benar, maka kesimpulannya juga benar. Tetapi, jika suatu hipotesis salah, argumen yang valid sekalipun dapat mengakibatkan kesimpulan yang juga salah, seperti ditunjukkan pada contoh berikut. Contoh: Pehatikan pernyataan berikut ini : “Jika n dapat dibagi dengan 3, maka n2 juga dapat dibagi 9” “101 dapat dibagi 3. Jadi, 1012 dapat dibagi 9.” Berdasarkan modus ponens, argumen diatas valid. Akan tetapi kesimpulannya salah, karena satu dari hipotesisnya salah (yakni “101 dapat dibagi 3.”). Jika dalam argumen diatas kita gantikan 101 dengan 102, maka kita akan secara benar menyimpulkan bahwa 1022 dapat dibagi dengan 9.

30 Suatu teorema dapat dibuktikan dengan cara langsung maupun secara tidak langsung.
Dalam pembuktian langsung, suatu implikasi pq dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa jika p benar, maka q juga benar. Contoh: berikan pembuktian langsung teorema berikut ini: “Jika n ganjil, maka n2 juga ganjil.” Ide: asumsikan bahwa hipotesis dari implikasi ini benar (yakni, n ganjil). Lalu gunakan aturan inferensi dan teorema yang telah diketahui untuk menunjukkan bahwa q juga benar (yakni n2 ganjil).

31 Bukti: asumsikan n ganjil, maka n bisa dinyatakan sebagai n = 2k + 1, dengan k bilangan bulat. Akibatnya, n2 = (2k + 1)2 ( substitusi n = 2k +1) = 4k2 + 4k + 1 (rumus kuadrat ) = 2(2k2 + 2k) + 1 (sifat distributif kiri) = 2m +1; dengan m = 2k2 + 2k Karena n2 dapat dituliskan dalam bentuk tersebut diatas, maka n2 adalah juga bilangan ganjil.

32 Suatu implikasi p  q adalah ekivalen dengan bentuk contra-positive nya, yakni q  p.
Oleh karena itu, dalam pembuktian tidak langsung, implikasi p  q dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa, saat q salah, maka p juga salah. Contoh: berikan bukti tak langsung teorema “Jika 3n + 2 ganjil, maka n adalah ganjil.” Ide: asumsikan bahwa kesimpulan dari implikasi ini salah (n genap). Kemudian gunakan aturan inferensi dan teorema yg telah diketahui untuk menunjukkan bahwa p juga salah (3n+2 genap).

33 Bukti : Tinjau n genap, sehingga bisa dinyatakan sebagai n = 2k, dengan k bilangan bulat. Dengan demikian 3n + 2 = 3(2k) (substitusi n = 2k) = 6k (sft asosiatif perkalian dn hasil op) = 2(3k + 1) (sifat distributif kiri) = 2m, dengan m = 3k + 1 Oleh karena itu, 3n + 2 adalah bilangan genap. Dengan demikian, kita telah menunjukkan bahwa kontrapositif dari implikasi bernilai benar. Akibatnya implikasinya sendiri juga benar (yakni, “jika 2n+3 ganjil, maka n ganjil“).

34 Dalam pembuktian, ada suatu teknik penting yang disebut sebagai prinsip induksi, yang merupakan suatu cara (tool) untuk membuktikan bahwa predikat tertentu bernilai benar untuk semua bilangan cacah. Prinsip ini tidak dapat dipakai untuk menemukan suatu teorema, melainkan hanya untuk membuktikannya saja.

35 Jika kita punya fungsi proposisi P(n), dan kita ingin membuktikan bahwa P(n) benar untuk sebarang bilangan cacah n, kita lakukan langkah-langkah berikut: • Menunjukkan bahwa P(0) benar (langkah dasar) • Menunjukkan bahwa jika P(n) benar maka P(n+1) juga benar untuk sebarang nN. (langkah induktif) • Maka P(n) haruslah benar untuk sebarang nN. (kesimpulan)

36 1. Tunjukkan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Contoh: Tunjukkan bahwa n < 2n untuk semua bilangan bulat positif n. Jawab: Misalkan P(n) adalah proposisi “n < 2n” 1. Tunjukkan bahwa P(1) benar. (langkah dasar) Untuk n=1, diperoleh relasi 1<2.1 = 2. Jadi P(1) benar 2. Tunjukkan bahwa, jika P(n) benar, maka P(n + 1) juga benar.(langkah induktif) Asumsikan n < 2n benar. Kita perlu menunjukkan bahwa P(n + 1) adalah benar, yaitu n + 1 < 2(n+1) benar. Kita mulai dari n < 2n: n+1 < 2n+1 ≤ 2n + 2 = 2(n + 1) Oleh karena itu, jika n < 2n maka n+ 1 < 2(n+1) 3. Maka P(n) haruslah benar untuk sebarang bilangan bulat positif. (kesimpulan) n< 2n adalah benar untuk sebarang bilangan bulat positif. Akhir dari pembuktian.

37 Disamping prinsip induksi matematika yang telah dijelaskan, ada teknik pembuktian lain yang sangat mirip dengan prinsip induksi matematika yang disebut sebagai prinsip kedua dari induksi matematika. Prinsip ini dapat dipergunakan untuk membuktikan bahwa suatu fungsi proposisi P(n) bernilai benar untuk sebarang bilangan cacah n. Langkah-langkah pembuktian dalam prinsip kedua adalah sebagai berikut: • Tunjukkan bahwa P(0) adalah benar. (langkah dasar) • Tunjukkan bahwa jika P(0) dan P(1) dan … dan P(n) benar, maka P(n+1) benar untuk sebarang n N. (langkah induktif) • Maka P(n) haruslah benar untuk sebarang n  N. (kesimpulan)

38 Disini ada dua kemungkinan:
Contoh: tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil perkalian bilangan-bilangan prima. • Tunjukkan bahwa P(2) adalah benar. (langkah dasar) 2 adalah hasil perkalian satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri. • Tunjukkan bahwa jika P(2) dan P(3) dan … dan P(n) benar, maka P(n+1) benar untuk sebarang n∈N. (langkah induktif) Disini ada dua kemungkinan: • Jika (n+1) bilangan prima, maka jelas bahwa P(n +1) benar.

39 Jika (n+1) adalah komposit, maka bilangan tersebut akan dapat dituliskan sebagai hasil perkalian dua bilangan bulat a dan b sedemikian hingga 2 < a b = n + 1. Berdasarkan hipotesa induksi, baik a maupun b dapat dituliskan sebagai hasil perkalian bilangan-bilangan prima. Jadi, n + 1 = a⋅b dapat dituliskan sebagai hasil perkalian bilangan-bilangan prima. • Dengan demikian, P(n) haruslah benar untuk sebarang n N. (kesimpulan) Akhir dari pembuktian. Kita telah menunjukkan bahwa sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat dituliskan sebagai hasil perkalian bilangan-bilangan prima.

40 Reductio Ad Absurdum Bentuk umum dari bukti dengan Reductio Ad Absurdum adalah sebagai berikut, dimulai dengan mengandaikan bahwa yang berlaku adalah ingkaran dari apa yang harus dibuktikan. Dari pengandaian ini diturunkan suatu kontradiksi. Karena kontradiksi tidak mungkin terjadi sedangkan penalaran sahih maka kekeliruan harus ada pada permulaan penalaran. Yaitu pada pengandaian. Sehingga pengandaian harus diingkar. Dengan menggunakan ingkaran rangkap maka terbuktilah apa yang harus dibuktikan. Apa yang harus dibuktikan dapat berupa kalimat atomik atau kalimat majemuk. Rumus-rumus berikut ini menyajikan beberapa bentuk dari reductio ad absurdum. Rumus 15. ~ p  ( q  ~ q ) .  . p Reductio ad absurdum bentuk pertama menyatakan apabila dari kalimat “~ p” dapat diturunkan suatu kontradiksi “q ~ q” , maka dapat disimpulkan benarnya “ p “.

41 Rumus 16. ~ p  p .  . p Reductio bentuk kedua menyatakan bahwa untuk membuktikan benarnya pernyataan “ p “, maka dimulai dengan mengandaikan “~ p “. Apabila dari “~ p “ dapat diturunkan “p” maka di dalam sistem ada kontradiksi. Yaitu “~ p “ karena diandaikan, dan “p” karena dibuktikan. Sehingga pengandaian harus diingkar dg hasil “~ (~ p ) “, yaitu “p” terbukti. Rumus 17. ( p ~ q )  q . . p  q Rumus 18. ( p  ~ q )  ~ p .  . p  q Rumus 19. ~ p .  . p  q

42 Buktikan bahwa 2 adalah
bilangan irational.