Review Kalkulus dan Aritmatika Komputer

Presentasi berjudul: "Review Kalkulus dan Aritmatika Komputer"— Transcript presentasi:

1 Review Kalkulus dan Aritmatika Komputer
Metode Numerik Review Kalkulus dan Aritmatika Komputer

2 Pendahuluan Metode Numerik:
teknik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan- permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arithmetic).

3 Pendahuluan Permasalahan di Bidang IPTEK Persamaan Penyelesaian:
Matematis Penyelesaian: Secara analitis (untuk pers. sederhana) Secara numerik (untuk pers. sulit)

4 Pendahuluan Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak.

5 Pendahuluan KOMPUTER Hasil:pendekatan dari penyelesaian
METODE NUMERIK Hasil:pendekatan dari penyelesaian Analitis (eksak) Terdapat kesalahan (error) terhadap nilai eksak KOMPUTER Dalam proses perhitungannya (algoritma) dilakukan dengan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang

6 Pendahuluan Metode numerik banyak digunakan di berbagai bidang, seperti bidang teknik (sipil, elektro, kimia, dsb), kedokteran, ekonomi, sosial, dan bidang ilmu lainnya. Berbagai masalah yang ada di berbagai disiplin ilmu dapat digambarkan dalam bentuk matematik dari berbagai fenomena yang berpengaruh. Misalnya gerak air dan polutan di saluran, sungai dan laut, aliran udara, perambatan panas, pertumbuhan penduduk, pertumbuhan ekonomi suatu negara, dsb dapat digambarkan dalam bentuk matematik.

7 Pendahuluan Persamaan aliran panas bidang datar: Persamaan Logistic :
Persamaan Logistic (secara iteratif): Untuk itu diperlukan METODE NUMERIK untuk menyelesaikan persamaan permasalahan di atas.

8 Pendahuluan Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar), artinya dalam penyelesaian numeris terdapat kesalahan terhadap nilai eksak.

9 Pendahuluan Terdapat tiga macam kesalahan: Kesalahan bawaan:
merupakan kesalahan dari nilai data. Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

10 Pendahuluan Kesalahan pembulatan:
terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. contoh: nilai: dapat dibulatkan menjadi nilai: 3, dapat dibulatkan menjadi 3,14

11 Pendahuluan Kesalahan pemotongan:
terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga. Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga yaitu:

12 Review Kalkulus Notasi [a , b] – Interval tutup (a, b) – Interval buka
C[a , b] – Himpunan fungsi kontinu bernilai riil pada [a,b] Cn[a,b] – Himpunan fungsi riil yang memiliki turunan kontinu sampai order n pada [a,b]

13 2.Beberapa Teorema Teorema Rolle Mean Value Theorem
f C [a,b], dan f’(x) ada untuk semua a<x<b. Jika f(a)=f(b) =0 , maka ada c, dengan a<c<b, demikian sehingga f’(c)=0 Mean Value Theorem Jika f C [a,b] dan f differentiabel pada (a,b), maka terdapat , a < <b, demikian sehingga

14 Lanjutan C. Intermediate Value Theorem
Jika f C[a,b] dan c sembarang bilangan anatara f(a) dan f(b), maka terdapat , a< <b, demikian sehingga f( )= c D. Generalized Integral Mean Value Theorem Jika f C[a,b] dan g(x) memiliki satu tanda pada [a,b], maka terdapat , a< <b, demikian sehingga

15 Teorema Taylor (Fungsi satu variabel)
Misalkan f Cn[a,b] dan turunan dari f(n+1) ada pada [a,b], dan mis x0 [a,b]. Untuk setiap x [a,b] terdapat diantara x0 dan x demikian sehingga

16 Error Term

17 Latihan Tentukan Polinimial Taylor kedua dan ketiga untuk f(x)= sin(x) disekitar x0=0

18 Representasi Floating Point
Ada dua tipe operasi aritmatika yang tersedia di komputer: Aritmatika Integer Bilangan tanpa bagian pecahan Digunakan untuk counting dan indeks Aritmatika Real atau Floating point Aritmatika Real menggunakan bagian pecahan sebagai operan Paling sering digunakan Aritmatika Komputer

19 Representasi Floating Point
Setiap lokasi (dikatakan word) di memori hanya ditempati oleh sejumlah hingga digit Konsekuensinya semua operan pada operasi aritmatika hanya memiliki sejumlah digit yang hingga juga Aritmatika Komputer

20 Representasi Floating Point
Fixed Position untuk desimal Sebuah lokasi memori menempatkan bilangan Maksimum bilangan yang dapat ditempatkan Minimum bilangan yang dapat ditempatkan Aritmatika Komputer

21 Representasi Floating Point
Normalized floating point Bilangan real dinyatakan sebagai kombinasi dari mantissa dan eksponen Mantissa kurang dari 1 dan lebih besar atau sama dengan 0.1 (1/R) Eksponen adalah pangkat 10 dari mantissa Range bilangan adalah x sampai x 10-99 Contoh: 44.85 x 106 direpresentasikan sebagai .4485E8 (E8 = 108) Aritmatika Komputer

22 Representasi Floating Point
Secara Umum 0.d1d2d3…..dk X 10n d1d2d3…..dk Mantissa n Exponent contoh y=1276 ,Fl(y)= x 104

23 Chopping dan Rounding y= +0.d1d2d3…..dk dk+1……dn-1 dn X 10k
Ch(y)= +0.d1d2d3…..dk X 10k R(y) = +0.d1d2d3…..dkX 10k dk = dk jika dk+1 <5 dk = dk+1 if dk+1 >= 5

24 Operasi Aritmatika Penjumlahan .4546E5 + .5433E5 = .9979E5
.6434E E99 = overflow Aritmatika Komputer

25 Operasi Aritmatika Pengurangan .5452E-3 - .9432E-4 = .4509E-3
.5452E E-99 = underflow Aritmatika Komputer

26 Operasi Aritmatika Perkalian
+.5543E12 X E-15 = E-3 = E-3 .1111E10 X E15 = E25 = .1370E24 .1111E51 X E50 = E101 = E100 (overflow) .1234E-49 X E-54 = E-104 (underflow) Aritmatika Komputer

27 Operasi Aritmatika Pembagian
.9998E1 : E-99 = E100 (overflow) .9998E-5 : E98 = .9998E-104 (underflow) .1000E5 : E3 = E2 = .1000E1 Aritmatika Komputer

28 Konsekuensi dari normalized floating point
Tidak asosiatif 2/3 x 6 = 4 = .3997E1 .6667 x 6 = .4000E1 6a = a + a + a + a + a + a tidak benar Aritmatika Komputer

29 Konsekuensi dari normalized floating point
Hukum Asosiatif dan distributif tidak selalu berlaku . Contoh: a = .5665E1, b = .5556E-1, c = .5644E1 (a+b) = .5665E E-1 = .5720E1 (a+b)-c = .5720E E1 = .7600E-1 (a-c) = .5665E E1 = .2100E-1 (a-c)+b = .2100E E-1 = .7656E-1 Aritmatika Komputer

30 Konsekuensi dari normalized floating point
Contoh: a = .5555E1, b = .4545E1, c = .4535E1 (b-c) = .4545E E1 = .1000E-1 a(b-c) = .5555E1 x E-1 = .5550E-1 ab = .5555E1 x .4545E1 = .2524E2 ac = .5555E1 x .4535E1 = .2519E2 ab-ac = .2524E E2 = .5000E-1 Aritmatika Komputer

31 Latihan Dari hasil pengukuran panjang suatu sisi yakni x dan y kira-kira sebesar : x~3,32 dan y~5,39. hitunglah : x + y x + 0,1*y dan x + 0,01*y (dalam 3 digit) Aritmatika Komputer

32 Latihan x~3,32 = 0,332 x 101 dan y~5,39 = 0,539 x 101 x + y = 0,871 x 101 x + 0,1*y = 0,332 x ,054 x 101 = 0,386 x 101 x + 0,01*y = 0,332 x ,005 x 101 = 0,337 x 101 Aritmatika Komputer

33 Latihan: a b c p q r 2.500 5.200 6.200 1.251 2.605 3.152 Diberikan
Selesaikan menggunakan: Aritmatika biasa Aritmatika Floating point dengan 4 digit mantissa a b c p q r 2.500 5.200 6.200 1.251 2.605 3.152 Aritmatika Komputer

34 Representasi Biner dari Bilangan
Bilangan dapat dinyatakan sebagai: 10 dikatakan sebagai basis atau radix Sistem Biner (basis 2) Contoh: = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x x x2-3 = 5.375 Aritmatika Komputer

35 Representasi Biner Aritmatika Komputer

36 Representasi Biner Octal Binary 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3
000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111 Aritmatika Komputer

37 Representasi Biner Aritmatika Komputer

38 Representasi Biner Binary Hexa 0000 1000 8 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A
1000 8 0001 1 1001 9 0010 2 1010 A 0011 3 1011 B 0100 4 1100 C 0101 5 1101 D 0110 6 1110 E 0111 7 1111 F Aritmatika Komputer

39 Representasi Biner Aritmatika Komputer

40 Error pada Bilangan Tiga tipe error: Dua tipe pengukuran:
Error karena keterbatasan representasi bilangan Rounding error Truncation error Dua tipe pengukuran: Pengukuran error absolut: Pengukuran error relatif: Aritmatika Komputer

41 Contoh: p : Nilai Eksak p*: Nilai Aproksimasi p=3.141592 p*=3.14
ea=| |= er=ea/| |= p=1,000,000 p*=999,996 ea=4 er=

42 3. P= p*= ea= er=0.25 Kesimpulan: Jika |p| semakin jauh dari 1 maka er lebih akurat dibanding ea