Widita Kurniasari, SE, ME

Presentasi berjudul: "Widita Kurniasari, SE, ME"— Transcript presentasi:

1 Widita Kurniasari, SE, ME
HITUNG DIFERENSIAL Widita Kurniasari, SE, ME

2

3 PENGERTIAN LIMIT Konsep dasar diferensial
Adalah harga batas tertentu, L, yang dicapai oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya mendekati harga tertentu, a. Kegunaan Limit : Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu Menentukan kontinuitas/diskontinuitas suatu fungsi Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan fungsi

4 PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU
Contoh :

5 PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU
Contoh :

6 KONTINUITAS FUNGSI Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu untuk x = a dari suatu interval tertentu jika memenuhi 3 syarat: Y = f(a) terdefinisi mempunyai harga tertentu, misal = L L = f(a) Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, fungsi f(x) untuk x = a, tidak kontinyu atau disebut diskontinyu

7 Contoh Y = f(x) = 4x + 1 tidak kontinyu untuk x = 2
hanya ada kalau x ≥ 3 2x – untuk x < 2 Y = 5 – x untuk 2 ≤ x < 4 x² untuk x ≥ 4 karena pada saat x = 4 harga y = 4²-10 = 6 dan , sehingga grafik fungsi kedua dan ketiga tidak bersambungan (tidak kontinyu) X – 2

8 PERHITUNGAN HASIL BAGI DIFERENSIAL
Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X Jika perubahan X (X) cukup kecil sehingga mendekati nol, maka : Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE PERTAMA =

9 TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT
Y = c  Y’ = 0 Y = aX + b  Y’ = a Y = Xn  Y’ = n Xn-1 Y = Un  Y’ = n Un-1 . U’ Y = U ± V  Y’ = U’ ± V’ Y = U/V  Y’ = (U’V – V’U)/V2 Y = ex  Y’ = ex Y = eu  Y’ = u’.eu Y = ln X  Y’ = 1/X Y = ln U  Y’ = U’/U Y = ax  Y’ = ax ln a

10 Latihan Soal 1. Y = 4x3+3x2–5x+7x-10 2. Y = ln(6x2+x)-e3x-2
4. Y = 3x2e-2x 5. Y = ln((4x+5)/(2x-1)) 6. Y = (3x–7)6 7. Y = 2t2-4t dan X = 3t+1

11 APLIKASI TURUNAN PERTAMA
Menentukan gradien/slope garis singgung Y – Y1 = m (X – X1)  m = Y’ Menentukan koordinat titik stasioner Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar dengan sumbu X atau gradien = 0  f’(x) = 0 Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.

12 Contoh Y = x³-3x²+6x+2 Y’ = 3x²-6x tidak mempunyai titik stationer sebab tidak memiliki akar-akar nyata (D < 0) Y = x³-3x²-9x stationer pada y’ = 0 Y’ = 3x²-6x-9 = 0 atau 3(x²-2x-3) = 3(x-3)(x+1) = 0 X1 = 3 dan x2 = -1 yakni absis titik-titik stationer Untuk x1 = y1= (3)³-3(3)²-9(3)+10 = -17 Untuk x2 = y2= (-1)³-3(-1)²-9(-1)+10 = 15 Jadi titik stationer fungsi y = x³-3x²-9x+10 adalah titik : A (3,-17) dan B (-1,15)

13 APLIKASI TURUNAN PERTAMA
Menentukan bagian kurva yang monoton naik/turun Monoton naik : X > 0  Y > 0 Monoton turun : X > 0  Y < 0 Contoh: Y = x²- 4x Y’ = 2x – 4 Untuk menentukan di bagian mana kurva Y = x²-4x monoton naik maka harus ditentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan Y’ > 0 atau 2x-4 > 0 sehingga himpunan penyelesaiannya adalah A = {x/x > 2}. Jadi untuk interval x > 2 fungsi tersebut akan monoton naik.

14 APLIKASI TURUNAN KEDUA
Menentukan bentuk kurva Cekung ke atas (concave upward) : Harga Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0 Cekung ke bawah (concave downward) : Harga Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0

15 APLIKASI TURUNAN KEDUA
Menentukan titik belok dan titik sadel Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan cekung ke bwh atau sebaliknya Syarat : Y” = f”(x) = 0 Titik Belok : untuk X = 0  Y’ ≠ 0, Y” = 0 Titik Sadel : untuk X = 0  Y’ = 0, Y” = 0

16 CONTOH SOAL Diketahui fungsi Y = X3 – 3X2 – 9X + 22, tentukan :
Persamaan garis singgung di titik dengan absis 2 Koordinat titik esktrim (maks/min) Koordinat titik belok/titik sadel

17 APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI
Analisis marginal Laju pertumbuhan Menghitung Marginal Revenue (MR) dan Marginal Cost (MC) MR = TR’ MC = TC’

18 APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI
Harga Ekstrim Total Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0 Laba maksimum (rugi minimum),   = TR – TC ’ = 0  MR = MC Output optimum Terjadi ketika Average Cost (AC) minimum AC minimum  AC’ = 0  AC = MC

19 APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI
Elastisitas Mengukur perubahan suatu variabel akibat perubahan variabel lain Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed), penawaran (Es), dll Perhitungan elastisitas : Elastisitas Titik (Point Elasticity) Elastisitas Busur (Arc Elasticity)

20 CONTOH SOAL Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan TC = Q2 + 790Q + 1.800
Hitung TR, MR, AR, TC, MC, dan AC ketika Q = 10 Hitung TR maksimum Hitung laba maksimum/rugi minimum Hitung output optimum Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100