Kuliah Ke 5 Elementary Statistics Eleventh Edition

Presentasi berjudul: "Kuliah Ke 5 Elementary Statistics Eleventh Edition"— Transcript presentasi:

1 Kuliah Ke 5 Elementary Statistics Eleventh Edition
and the Triola Statistics Series by Mario F. Triola

2 Chapter 5 Probability Distributions
5-1 Review and Preview 5-2 Random Variables 5-3 Binomial Probability Distributions 5-4 Mean, Variance and Standard Deviation for the Binomial Distribution 5-5 Poisson Probability Distributions

3 Section 5-1 Review and Preview

4 Review and Preview Bab ini menggabungkan metode statistik deskriptif pada bab sebelumnya dan probabilitas yang disajikan dalam Bab 4 sehingga dapat menggambarkan dan menganalisis distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas menjelaskan apa yang mungkin akan terjadi, bukan apa yang sebenarnya sudah terjadi, dan disajikan dalam format grafik, tabel, atau formula. Emphasize the combination of the methods in Chapter 3 (descriptive statistics) with the methods in Chapter 4 (probability). Chapter 3 one would conduct an actual experiment and find and observe the mean, standard deviation, variance, etc. and construct a frequency table or histogram Chapter 4 finds the probability of each possible outcome Chapter 5 presents the possible outcomes along with the relative frequencies we expect Page 200 of Elementary Statistics, 10th Edition

5 Preview Dalam memahami distribusi probabilitas, perlu memahami konsep variabel acak, membedakan antara variabel acak diskrit dan kontinu. Dalam bab ini akan fokus pada distribusi probabilitas diskrit, khusus nya, distribusi probabilitas binomial dan Poisson. Emphasize the combination of the methods in Chapter 3 (descriptive statistics) with the methods in Chapter 4 (probability). Chapter 3 one would conduct an actual experiment and find and observe the mean, standard deviation, variance, etc. and construct a frequency table or histogram Chapter 4 finds the probability of each possible outcome Chapter 5 presents the possible outcomes along with the relative frequencies we expect Page 200 of Elementary Statistics, 10th Edition

6 Combining Descriptive Methods
and Probabilities In this chapter we will construct probability distributions by presenting possible outcomes along with the relative frequencies we expect. page 200 of Elementary Statistics, 10th Edition

7 Section 5-2 Random Variables

8 Random Variable Probability Distribution
variabel (biasanya diwakili oleh x) memiliki nilai numerik tunggal, untuk setiap hasil dari suatu kejadian/pristiwa. Probability distribution Probabilitas untuk setiap nilai variabel acak; dan sering dinyatakan dalam format grafik, tabel, atau formula page 201 of Elementary Statistics, 10th Edition

9 Variabel Random Variabel Random atau Variabel Acak adalah variabel yang nilai nilainya ditentukan oleh kesempatan atau variabel yang dapat bernilai numerik yang didefinisikan dalam suatu ruang sampel. Variabel Random dibagi 2 yakni : 1.Variabel Random Diskrit, yakni variabel yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu. Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli. Contoh : 1. Jumlah anak dalam sebuah keluarga Pemunculan angka pada sebuah dadu yang dilempar Dua kotak masing masing berisi 4 bola yang bertuliskan angka 1, 2, 3, 4. Jika diambil sebuah bola dari tiap kotak secara random, tentukan kenungkinan jumlah angka yang dapat muncul. Jawab: Daerah hasil dari pengambilan ini adalah : R = { 2, 3, 4, 5, 6,7,8} Angka-angka pada R inilah disebut Random Diskrit.

10 2.Variabel Random Kontinu adalah variabel random yang mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang dapat memiliki nilai pada suatu interval tertentu.Nilainya dapat merupakan bilangan bulat maupun pecahan. Contoh : 1.Usia penduduk suatu daerah Pada label kawat baja tertulis diameter 2 ± 0,0005 mm, maka nilai variabel random adalah … ? Jawab : Diameter kawat tersebut tidak boleh kurang dari 1,9995 mm dan tidak boleh lebih dari 2,0005 mm, sehingga daerah hasilnya R = {X / 1,9995 < X < 2,0005 } dan disebut Varibel random kontinu.

11 Graphs The probability histogram is very similar to a relative frequency histogram, but the vertical scale shows probabilities. page 202 of Elementary Statistics, 10th Edition Probability Histograms relate nicely to Relative Frequency Histograms of Chapter 2, but the vertical scale shows probabilities instead of relative frequencies based on actual sample results Observe that the probabilities of each random variable is also the same as the AREA of the rectangle representing the random variable. This fact will be important when we need to find probabilities of continuous random variables - Chapter 6.

12 Requirements for Probability Distribution
P(x) = 1 di mana x mengasumsikan semua nilai yang mungkin  0  P(x)  1 untuk setiap nilai individu x Page 203 of Elementary Statistics, 10th Edition

13 Standard Deviation of a Probability Distribution
Mean, Variance and Standard Deviation of a Probability Distribution µ =  [x • P(x)] Mean 2 =  [(x – µ)2 • P(x)] Variance 2 =  [x2 • P(x)] – µ Variance (shortcut)  =  [x 2 • P(x)] – µ Standard Deviation In Chapter 3, we found the mean, standard deviation,variance, and shape of the distribution for actual observed experiments. The probability distribution and histogram can provide the same type information. These formulas will apply to ANY type of probability distribution as long as you have have all the P(x) values for the random variables in the distribution. In section 4 of this chapter, there will be special EASIER formulas for the special binomial distribution. The TI-83 and TI-83 Plus calculators can find the mean, standard deviation, and variance in the same way that one finds those values for a frequency table. With the TI-82, TI-81, and TI-85 calculators, one would have to multiply all decimal values in the P(x) column by the same factor so that there were no decimals and proceed as usual. Page 204 of Elementary Statistics, 10th Edition

14 E =  [x • P(x)] Expected Value
Nilai yang diharapkan dari variabel acak diskrit dilambangkan dengan E, dan merupakan nilai rata-rata hasil. Hal ini diperoleh dengan mencari nilai ∑ [x • P (x)]., Also called expectation or mathematical expectation Plays a very important role in decision theory page 208 of Elementary Statistics, 10th Edition E =  [x • P(x)]

15 Recap In this section we have discussed:
Combining methods of descriptive statistics with probability. Random variables and probability distributions. Probability histograms. Requirements for a probability distribution. Mean, variance and standard deviation of a probability distribution. Identifying unusual results. Expected value.

16 Binomial Probability Distributions
Section 5-3 Binomial Probability Distributions

17 DISTRIBUSI BINOMIAL Distribusi binomial /bernoulli adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal ; ya – tidak ; baik – buruk , kepala –ekor. Ciri-ciri nya : 1.Setiap percobaan hanya memiliki dua peristiwa, seperti ya- tidak atau sukses-gagal. 2.Probabilitas suatu peristiwa adalah tetap, tidak berubah untuk setiap percobaan. 3.Percobaan bersifat independen, artinya peristiwa dari suatu percobaan tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya 4.Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu.

18 Contoh : * Seorang mahasiswa menghadapi 6 pertanyaan pilihan ganda, dan setiap pertanyaan memiliki 5 alternatif jawaban. Jika dalam menjawab pertanyaan , mahasiswa tersebut berspekulasi, maka probabilitas menjawab pertanyaan adalah : 1. Untuk menjawab benar P (B) = 1/5 2.Untuk menjawab Salah P (S) = 1 – 1/5 = 4/5. Untuk 5 jawaban benar, susunannya misalkan : B, B , B, S, B, B maka P (B,B,B,S,B,B ) = 1/5 . 1/5. 1/5. 4/5 . 1/5 . 1/ = ( 1/5) ⁵ . (4/5) Banyaknya kemungkinan susunan 5 benar dari 6 pertanyaan dapat dicari dengan rumus kombinasi C = 6 susunan Karena probabilitas setiap susunan adalah sama, maka probabilitas menjawab 5 pertanyaan benar = P ( 5 ) , dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi dengan probabilitas salah satu susunannya.

19 Contoh : Probabilitas menghitung 5 jawaban benar , P(5) = C ( 1/5) ⁵ . (4/5) = 0, Sehingga : Distribusi Binomial untuk menjawab dengan jawaban benar adalah JUMLAH JAWABAN BENAR ( X) P (X) 1 2 3 4 5 6 0,2621 0,3932 0,2458 0,0819 0,0154 0,0015 0,0001 JUM LAH 1,0000

20 Rumus Binomial suatu kejadian
Rumus Binomial suatu kejadian. Probabilitas suatu kejadian dapat dihitung dengan mengalikan kombinasi susunan dengan probabiltas salah satu susunannya n x n-x P (X= x) = C P . Q x Dimana : x = banyak kejadian sukses n = banyak percobaan p = probabilitas kejadian sukses q = 1 – p = probabilitas kejadian gagal Contoh : * Sebuah dadu dilempar ke atas 4 kali.Tentukan Probabilitas dari kejadian : a.Mata dadu lima muncul 1 kali b.Mata dadu genap muncul 2 kali Jawab : a.Probabilitas muncul 5 = 1/6, sehingga p = 1/6 dan q = 1-1/6 =5/6 . n = 4 dan x = 1 (muncul 1 kali) Jadi P ( X=1) = C P Q = 4 . 1/6 . ( 5/6) = 0,

21 b. Mata dadu genap p = 3/6 = 1/2 , q = 1/2, n=4 , x= 2 (muncul 2 kali) P (X=2) = C p q = 6 . (1/2) .(1/2) = 0, Contoh Soal : 1.Sebuah dadu dilempar sebanyak 5 kali , Tentukan Probabilitas Mata dadu 2 muncul sebanyak 4 kali ? 2. Sebuah mesin yang memproduksi sebuah alat, ternyata terdapat 5 % rusak. Jika secara acak diambil 10 buah dari alat itu, tentukan probabilitas akan a.Terdapat dua yang rusak. b.Tidak ada yang rusak

22 Probabilitas Binomial Kumulatif
* Probabilitas Binomial Kumulatif. adalah Probabilitas dari kejadian binomial lebih dari satu sukses n n x n-x Rumus : PBK = ∑ C .p .q x=0 x = P (X=0) + P(X = 1) + …..+ P( X=n) Contoh: * Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusan adalah 0,7 .Hitunglah probabilitas paling bayak 2 orang yang lulus ? Jawab . n = 5 ; p = 0,7 ; q = 0,3 ; x = 0 , 1 dan 2 maka P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0) + P (X = 1) + P ( X = 2 ) = 1.(0,7)⁰.(0,3)⁵ + 5.(0,7).(0,3)⁴ + 10(0,7)².(0,3)³ = 0,16

23 Soal : 1.Jika terdapat 4 mahasiswa akan mengikuti ujian D3, dan diperkirakan probabilitas kelulusan adalah 0, Hitunglah Probabilitas paling sedikit 3 diantaranya lulus Given that there is a 0.85 probability that a randomly selected adult knows what Twitter is, use the binomial probability formula to find the probability of getting exactly three adults who know what Twitter is when five adults are randomly selected. 3. Based on a recent Harris poll, 60% of adults believe in the devil Assuming that we randomly select five adults, find the following: a. The probability that exactly three of the five adults believe in the devil b. The probability that the number of adults who believe in the devil is at least two

24 Key Concept Bagian ini menyajikan definisi dasar dari distribusi binomial bersama dengan notasi, dan metode untuk menemukan nilai-nilai probabilitas. Distribusi probabilitas binomial memungkinkan untuk menangani keadaan di mana suatu kejadian memiliki dua kategori yang relevan seperti diterima / cacat atau baik / buruk.

25 Binomial Probability Distribution
Sebuah hasil distribusi probabilitas binomial dari kejadian yang memenuhi semua persyaratan sebagai berikut: 1. (Hasil dari setiap percobaan individu tidak mempengaruhi probabilitas dalam uji coba lain.) 2. Uji coba harus independen. (Hasil dari setiap percobaan individu tidak mempengaruhi probabilitas dalam uji coba lain.) Binomial probability distributions are important because they allow us to deal with circumstances in which the outcomes belong to TWO categories, such as pass/fall, acceptable/defective, etc. page 214 of Elementary Statistics, 10th Edition 3. Probabilitas sukses tetap sama di semua kejadian

26 Notation for Binomial Probability Distributions
S and F (success and failure) denote the two possible categories of all outcomes; p and q will denote the probabilities of S and F, respectively, so P(S) = p (p = probability of success) The word success is arbitrary and does not necessarily represent something GOOD. If you are trying to find the probability of deaths from hang-gliding, the ‘success’ probability is that of dying from hang-gliding. Remind students to carefully look at the probability (percentage or rate) provided and whether it matches the probability desired in the question. It might be necessary to determine the complement of the given probability to establish the ‘p’ value of the problem. Page 214 of Elementary Statistics, 10th Edition. P(F) = 1 – p = q (q = probability of failure)

27 Notation (continued) n denotes the fixed number of trials.
x denotes a specific number of successes in n trials, so x can be any whole number between 0 and n, inclusive. p denotes the probability of success in one of the n trials. q denotes the probability of failure in one of the n trials. Page 214 of Elementary Statistics, 10th Edition. P(x) denotes the probability of getting exactly x successes among the n trials.

28 Methods for Finding Probabilities
Sekarang kita akan membahas tiga metode untuk menemukan probabilitas yang sesuai dengan variabel acak x dalam distribusi binomial. Page 216 of Elementary Statistics, 10th Edition.

29 Method 1: Using the Binomial
Probability Formula P(x) = • px • qn-x (n – x )!x! n ! for x = 0, 1, 2, . . ., n where n = number of trials x = number of successes among n trials p = probability of success in any one trial q = probability of failure in any one trial (q = 1 – p) page 216 of Elementary Statistics, 10th Edition

30 Rationale for the Binomial Probability Formula
P(x) = • px • qn-x n ! (n – x )!x! The number of outcomes with exactly x successes among n trials The ‘counting’ factor of the formula counts the number of ways the x successes and (n-x) failures can be arranged - i.e.. the number of arrangements (Review section 4-7, page 181). Discussion is on page 219 of Elementary Statistics, 10th Edition.

31 Binomial Probability Formula
P(x) = • px • qn-x n ! (n – x )!x! Number of outcomes with exactly x successes among n trials The probability of x successes among n trials for any one particular order The remaining two factors of the formula will compute the probability of any one arrangement of successes and failures. This probability will be the same no matter what the arrangement is. The three factors multiplied together give the correct probability of ‘x’ successes.

32 Recap In this section we have discussed:
The definition of the binomial probability distribution. Notation. Important hints. Three computational methods. Rationale for the formula.

33 Mean, Variance, and Standard Deviation for the Binomial Distribution
Section 5-4 Mean, Variance, and Standard Deviation for the Binomial Distribution

34 Key Concept Pada bagian ini menerangkan karakteristik penting dari distribusi binomial termasuk rata rata, variasi dan distribusi. Artinya, distribusi probabilitas binomial dapat menemukan mean, varians dan standar deviasi. Sebuah penekanan agar dapat menafsirkan dan memahami nilai-nilai tersebut.

35 Binomial Distribution: Formulas
Std. Dev. = n • p • q Mean µ = n • p Variance 2 = n • p • q Where n = number of fixed trials p = probability of success in one of the n trials q = probability of failure in one of the n trials The obvious advantage to the formulas for the mean, standard deviation, and variance of a binomial distribution is that you do not need the values in the distribution table. You need only the n, p, and q values. A common error students tend to make is to forget to take the square root of (n)(p)(q) to find the standard deviation, especially if they used L1 and L2 lists in a graphical calculator to find the standard deviation with non-binomial distributions. The square root is built into the programming of the calculator and students do not have to remember it. These formulas do require the student to remember to take the square root of the three factors. Page 225 of Elementary Statistics, 10th Edition

36 Rata-rata,Varians dan Simpangan Baku Distribusi Binomial 1
Rata-rata,Varians dan Simpangan Baku Distribusi Binomial 1.Rata-rata ( μ ) = λ = n . P 2.Varians ( α² ) = n . P . Q 3.Simpangan Baku ( α) = V n . P . R Contoh : * suatu deistribusi binomial memiliki n = 6 , p = ¼ dan q = ¾. Hitunglah rata-rata , Varians dan simpangan baku Jawab . A,Rata-rata = μ = n . P = /3 = 1, b.Varians = n .p .q = 6 . ¼ . ¾ = 1, c.Simpangan baku = V n . p . q = V = 1,06

37 Soal : 1.Pada pelemparan 4 mata uang logam sebanyak 50 kali, terdapat distribusi sbb: Jika X = Angka, Tentukan probabilitas keluarnya angka tsb. 2. Seorang ibu berharap dalam dua kali kelahiran, terdapat bayi wanita yang lahir. Dengan Probability Distribution Tentukan : Mean , Variance dan Standard Deviation X 1 2 3 4 f 10 5 17 15

38 Recap In this section we have discussed:
Mean, variance and standard deviation formulas for any discrete probability distribution. Mean, variance and standard deviation formulas for the binomial probability distribution. Interpreting results.

39 Poisson Probability Distributions
Section 5-5 Poisson Probability Distributions

40 Key Concept Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit lain yang penting karena sering digunakan untuk menggambarkan perilaku peristiwa langka (dengan probabilitas kecil)..

41 P(x) = where e  2.71828 Poisson Distribution x! Formula µ x • e –µ
Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang berlaku untuk beberapa kejadian selama interval tertentu. Variabel acak x adalah jumlah kejadian pada interval tertentu. Interval dapat waktu, jarak, luas, volume, atau beberapa unit yang sama. Some discussion of the what the value of ‘e’ represents might be necessary. A minimal scientific calculator with factorial key is required for this formula. Most instructors will want students to use the calculator representation of ‘e’, rather than the rounded version of ‘e’, which might provide a very slightly different final answer. Page 230 of Elementary Statistics, 10th Edition. P(x) = where e  µ x • e –µ x! Formula

42 Requirements of the Poisson Distribution
Variabel acak x adalah jumlah kejadian dari suatu peristiwa pada beberapa interval. Kejadian harus acak. Kejadian harus independen satu sama lain. Kejadian harus didistribusikan secara merata selama interval yang digunakan Page 231 of Elementary Statistics, 10th Edition.

43 Parameters of the Poisson Distribution
The mean is µ. The standard deviation is Page 231 of Elementary Statistics, 10th Edition.

44 Poisson as an Approximation to the Binomial Distribution - μ
Jika kedua persyaratan berikut terpenuhi n  100 np  10 then use the following formula to calculate µ, Page 232 of Elementary Statistics, 10th Edition. Value for μ = n • p

45 Distribusi Probabilitas POISSON Fungsi Poisson termasuk didtribusi teoritis yang memakai variabel random diskrit, yakni banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu di suatu daerah tertentu. Ciri-ciri Fungsi Poisson : 1.Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyak hasil percobaan yg terjadi pada interval waktu dan daerah lain yg terpisah. 2.probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yg terjadi dalam interval waktu yg singkat dapat diabaikan. Contoh : Kejadian datangnya kendaraan yang lewat dalam suatu interval waktu di suatu ruas jalan, maka : 1. Tingkat kedatangan rata rata kendaraan dapat dihitung berdasarkan data masa lalu 2. Tingkat kedatangan rata rata kendaraan per satuan waktu adalah konstan 3.banyak kedatangan kendaraan dalam suatu iterval waktu tertentu merupakan peristiwa independen (bebas) 4.Probabilitas kedatangan kendaraan-kendaraan itu dalam suatu interval waktu adalah kecil dan dapat dikatakan mendekati nol.

46 Rumus Distribusi Poisson. x -λ P (X = x ) = λ. e : x
Rumus Distribusi Poisson x -λ P (X = x ) = λ . e : x ! Keterangan : λ = rata rata terjadinya suatu peristiwa e = bilangan euler/alam = 2,7182=2,72 Contoh: *Sebuah toko alat listrik,mencatat rata rata penjualan lampu TL setiap hari 5 buah.Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan 3 lampu TL ? Jawab . λ= 5 ; e = 2,72 ; x = P (x= 3) = 5³ . eˉ⁵ : 3 ! = (0,0067) : = 0,14

47 Contoh lain : Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman, terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas seandainya sebuah halaman majalah itu dibuka terdapat 4 kata salah cetak. Jawab. n= ; p = 1/180 ; x = λ= n . P = / = 0,67 = 0, P ( x=4) = 0,7⁴ . eˉ ⁰᾿⁷ : 4 ! = 0,24 . 0,497 : = 0,005

48 Contoh : 2.Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata rata pasien sebanyak 4 orang per hari.Kedatangan pasien mengikuti proses poisson. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari ? Jawab : t = 1 ; λ = 4 ; x = P ( x=2 ) = eˉ⁴ `ⁱ ( 4 x 1 ) ² : 2 ! = (0,018)(16) : = 0, Rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata rata pasien 6 orang per hari. Jika kedatangan pasien mengikuti proses poisson, Berapa probabilitas kedatangan 3 pasien pada siang hari.

49 Distribusi Poisson Kumulatif adalah probabilitas dari kejadian Poisson lebih dari satu. PPK = P (x=0) + P( x = 1) + P (x=2) …….+ P (x=n) Contoh . Sebuah toko alat listrik mencatat rata rata penjualan lampu setiap hari 5 buah.Jika permintaan lampu mengikuti distribusi poisson, maka probabilitas penjualan paling banyak 2 lampu ? Jawab . λ = 5 ; eˉ⁵ = 0, ; x = 0 ; x = 1 ; x = P ( x= 0,1,2 ) = P (x=0) + P( x=1) + P (x=2) = 0,125 Contoh Lain : *Suatu mesin diturunkan untuk diperbaiki rata rata 2 kali sebulan.Ternyata Penurunan mesin lebih dari 4 kali , menyebabkan produksi terganggu.Jika penurunan mesin mengikuti distribusi poisson,berapa probabilitas rencana produksi tidak tercapai ? Jawab : λ= 2 ; eˉ² = 0, P ( x ≥ 4 ) = 1 - { P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P (x=4) } = 1 – 0, = 0,055

50 Soal : Gunakan Fungsi Poisson dan Fungsi Binomial
Soal : Gunakan Fungsi Poisson dan Fungsi Binomial. Sebuah konveksi pakaian menggunakan 10 mesin jahit.Jika probabilitas sebuah mesin jahit memerlukan perbaikan adalah 0,02. Tentukan probabilitas dari 3 mesin jahit memerlukan perbaikan ? Jawab : a.Fungsi Poisson : n = 10 ; p = 0,02 ; x = P ( x=3 ) = b.Fungsi Binomial : n = 10 ; p = 0,02 ; q = 0,98 ; x = P (x=3) =

51 Recap In this section we have discussed:
Definition of the Poisson distribution. Requirements for the Poisson distribution. Difference between a Poisson distribution and a binomial distribution. Poisson approximation to the binomial.

52 Soal: Sebuah konveksi pakaian menggunakan 20 mesin jahit
Soal: Sebuah konveksi pakaian menggunakan 20 mesin jahit. Probabilitas sebuah mesin jahit mengalami dan memerlukan perbaikan adalah 0,02. Tentukan probabilitas dari 3 mesin yang akan mengalami gangguan dan memerlukan perbaikan. Gunakan : a.Pendekatan Binomial b. Pendekatam Poisson