C. Nilai Mutlak Definisi 2.C.1

Presentasi berjudul: "C. Nilai Mutlak Definisi 2.C.1"— Transcript presentasi:

1 C. Nilai Mutlak Definisi 2.C.1
Jika a  R, nilai mutlak dari a, dilambangkan dengan a, didefinisikan dengan a := a jika a ≥ 0, a := -a jika a < 0. Contoh: 4 := 4, -7 := 7. 13/11/2018 6:17

2 -a = a untuk semua a  R. ab = a. b untuk semua a,b di R.
Teorema 2.C.2 -a = a untuk semua a  R. ab = a. b untuk semua a,b di R. Jika c > 0, maka a  c jika dan hanya jika -c  a  c. -a  a  a Bukti Jika a = 0, maka -0 = 0 = 0 Jika a > 0, maka –a < 0 sehingga a = a = -(-a) = -a Jika a < 0, maka –a > 0 sehingga a = -a = -a Jadi -a = a untuk semua a  R. 13/11/2018 6:17

3 ab = a. b untuk semua a,b di R.
Jika salah satu a atau b atau keduanya nol, maka ab = 0 dan ab = 0 jadi ab = a. b Jika a > 0, b > 0, maka ab > 0 dan ab = ab = a.b Jika a > 0, b < 0, maka ab < 0 dan ab = -ab = a.(-b) = a.b Jika a < 0, b > 0, maka ab < 0 dan ab = -ab = (-a).b = a.b Jika a <0, b < 0, maka ab > 0 dan ab = -a.-b = (-a).(-b) = a.b Jadi ab = a.b untuk semua a,b di R 13/11/2018 6:17

4 maka a  c jika dan hanya jika -c  a  c. Misalkan c > 0,
Ini berakibat -a  c dan a  c (mengapa ?) Atau -c  a dan a  c Jadi -c  a  c () -c  a  c Ini berakibat a  c dan -a  c Jadi a  c -a  a  a Ambil c = a, maka dari Teorema 2.C.2 (2) diperoleh -a  a  a. 13/11/2018 6:17

5 Teorema 2.C.3. (Ketidaksamaan segitiga)
Untuk setiap a,b di R, maka a + b  a + b. Bukti Dari Teorema 2.C.2. (4). Kita punyai -a  a  a dan -b  b  b. Dengan Teorema 2.B.5. (2). Kita peroleh –(a+ b) = (–a) + (- b)  a + b  a + b. Selanjutnya dengan Teorema 2.C.2. (3) kita peroleha + b  a + b. 13/11/2018 6:17

6 a = a – b + b  a – b + b, jadi a - b a – b  (*)
Akibat 2.C.4. Untuk sebarang a,b di R. a- b  a - b. a - b  a+ b. Bukti a = a – b + b  a – b + b, jadi a - b a – b  (*) b = b – a + a  b – a + a, jadi b - a  a – b  (**) Dari (*),(**) dan Teorema 2.C.2.(3) kita peroleh Dengan ketidaksamaan segitiga kita peroleh: a - b = a + (-b)  a+ b Jadi a - b  a+ b. 13/11/2018 6:17

7 Untuk sebarang a1, a2, a3, . . . , an unsur-unsur di R,
Akibat 2.C.5 Untuk sebarang a1, a2, a3, , an unsur-unsur di R, a1 + a an   a1 + a2   an  Bukti Gunakan induksi matematika untuk memperluas ketidaksamaan segitiga. Bukti selengkapnya diserahkan kepada pembaca. 13/11/2018 6:17

8 Definisi 2.C.6 Misalkan a di R
Untuk  > 0, lingkungan- dari a adalah himpunan L(a) = Lingkungan dari a adalah himpunan yang memuat lingkungan- dari a untuk suatu  > 0. 13/11/2018 6:17

9 Ini berarti x - a = 0 atau x = a.
Teorema 2.C.7. Misalkan a  R. Jika x  R sehingga x anggota setiap lingkungan dari a, maka x = a. Bukti. x anggota setiap lingkungan dari a, akibatnya x  L(a) untuk setiap  > 0. Menurut Teorema 2.B.8, x - a = 0. Ini berarti x - a = 0 atau x = a. 13/11/2018 6:17

10 Misalkan S subhimpunan dari R.
Definisi 2.D.1 Misalkan S subhimpunan dari R. Unsur u  R, dikatakan batas atas dari S, jika s  u untuk semua s S. Unsur w  R, dikatakan batas bawah dari S, jika s ≥ w untuk semua s S. 13/11/2018 6:17

11 Definisi 2.D.2. Misalkan S  R.
Jika S terbatas di atas, maka suatu batas atas dikatakan suprimum (batas atas terkecil) dari S, jika ia lebih kecil dari setiap batas atas yang lain dari S. Jika S terbatas di bawah, maka suatu batas bawah dikatakan infimum (batas bawah terbesar) dari S, jika ia lebih besar dari setiap batas bawah yang lain dari S. 13/11/2018 6:17

12 Definisi ini dapat dinyatakan dengan cara lain berikut ini:
u  R suprimum dari S, jika memenuhi dua sifat: s  u untuk semua s  S. jika s  v untuk semua s  S, maka u  v. t  R infimum dari S, jika memenuhi dua sifat: s ≥ t untuk semua s  S. jika s ≥ r untuk semua s  S, maka t ≥ r. Kita lambangkan sup S atau sup(S) untuk suprimum dari S dan inf S atau inf(S) untuk infimum dari S. 13/11/2018 6:17

13 Akan ditunjukkan bahwa u = sup S. Misalkan v batas atas dan v  u.
Teorema 2.D.3 Suatu batas atas u dari himpunan tak-kosong S di R ádalah suprimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap  > 0 terdapat s  S sehingga u -  < s . () Misalkan u batas atas sehingga untuk setiap  > 0 terdapat s  S sehingga u -  < s. Akan ditunjukkan bahwa u = sup S. Misalkan v batas atas dan v  u. Andaikan v < u, ambil  = u - v > 0, menurut hipótesis, maka terdapat s  S sehingga u -  < s. Akibatnya u –(u – v) = v < s. Ini suatu kontradiksi bahwa v batas atas, jadi haruslah v > u, yang berarti u batas atas terkecil dari S. Jadi u = sup S. 13/11/2018 6:17

14 () Misalkan u = sup S dan ambil  > 0 sebarang.
Karena u -  < u, maka u -  bukan batas atas dari S. Oleh karena itu terdapat s  S yang lebih besar dari u - . Jadi u -  < s untuk suatu s  S. Teorema 2.D.4. (Teorema Suprimum) Setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas atas, mempunyai suprimum. Dengan cara sama, maka setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas bawah, mempunyai infimum. 13/11/2018 6:17

15 Teorema 2.D.5. (Teorema Archimedes)
Jika x  R maka terdapat nx  N sehingga x < nx. Bukti Andaikan tidak demikian, maka terdapat x R, x batas atas dari N. Menurut sifat suprimum, N mempunyai suprimum u  R. Karena u–1 < u, maka menurut Teorema 2.D.3 terdapat m  N sehingga u – 1 < m, Jadi u < m + 1. Karena m  N maka m + 1 N. Ini bertentangan dengan u batas atas dari N, jadi pengandaian salah. Dengan kata lain N tidak mempunyai batas atas, akibatnya jika x R, maka terdapat nx  N sehingga x < nx. 13/11/2018 6:17

16 Misalkan y dan z bilangan real positif maka:
Akibat 2.D.6. Misalkan y dan z bilangan real positif maka: Terdapat n  N sehingga z < ny. Terdapat n  N sehingga Terdapat n  N sehingga n – 1 ≤ z < n. 13/11/2018 6:17

17 , maka terdapat n  N sehingga
Bukti Sebut , maka terdapat n  N sehingga . Oleh karena itu Dari bukti (1) Ambil z = 1, maka 1 < ny untuk suatu n  N. Akibatnya . Jadi Ambil z  R. Sebut K= {m  N : z < m}. Jelas K  . Pilih n = min K, maka n – 1  z < n. 13/11/2018 6:17

18 Terdapat bilangan real positif x sehingga x2 = 2.
Teorema 2.D.7 Terdapat bilangan real positif x sehingga x2 = 2. Bukti Misalkan S = {s  R: 0 < s, s2 < 2} 1  S, jadi S tidak kosong. S terbatas di atas oleh 2, karena jika t > 2, maka t2 > 4, sehingga t  S. Menurut Teorema 2.D.4, S mempunyai suprimum. Misalkan x = sup S. Akan ditunjukkan bahwa x2 = 2. Jika tidak, maka x2 < 2 atau x2 > 2. 13/11/2018 6:17

19 , menurut Akibat 2.D.6, maka terdapat n  N sehingga 0 < atau
Andaikan x2 < 2. , menurut Akibat 2.D.6, maka terdapat n  N sehingga 0 < atau Adb:  S. Karena =  < = 2.  S, ini bertentangan dengan x = sup S, dengan kata lain tidak mungkin x2 < 2. 13/11/2018 6:17

20 Sehingga menurut Akibat 2.D.6, terdapat n  N
Andaikan x2 > 2. > 0. Sehingga menurut Akibat 2.D.6, terdapat n  N sehingga atau = . > > Jadi > s untuk setiap s  S, yang berarti batas atas dari S. Ini bertentangan dengan x = sup S. Jadi tidak mungkin x2 > 2. Akibatnya x2 = 2. 13/11/2018 6:17

21 Kita sebut b sebagai akar kuadrat dari a dan dilambangkan
Selanjutnya jika a > 0, a  R, maka terdapat secara tunggal bilangan positif b  R sehingga Kita sebut b sebagai akar kuadrat dari a dan dilambangkan Teorema 2.D.8 Jika x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilangan rasional r sehingga x < r < y. . Bukti Tanpa mengurangi sifat umum, misalkan x > 0. Menurut sifat Archimedes, terdapat bilangan asli n sehingga n > Jadi ny – nx > 1. 13/11/2018 6:17

22 karena m – nx  1 < ny –nx, maka m < ny.
Karena nx > 0, maka menurut Akibat 2.D.6 terdapat m  N, sehingga m – 1  nx < m karena m – nx  1 < ny –nx, maka m < ny. Jadi kita peroleh nx < m < ny atau Pilih , jadi r bilangan rasional dan memenuhi x < r < y. 13/11/2018 6:17

23 Menurut Teorema 2.D.8, terdapat bilangan rasional r sehingga:
Akibat 2.D.9 Jika x dan y bilangan real sehingga x < y, maka terdapat bilangan irasional z sehingga x < z < y. Bukti Karena x < y, maka yang keduanya di R. Menurut Teorema 2.D.8, terdapat bilangan rasional r sehingga: akibatnya x < r2 < y. Sebut z = r2, r  R, z bilangan irasional sehingga x < z < y. 13/11/2018 6:17

24 Teorema 2.E.1. (Teorema sarang interval)
Misalkan In = [an , bn], n  N barisan bersarang dari interval-interval tutup terbatas, maka terdapat   R, sehingga   In untuk semua n  N. Selanjutnya jika panjang In = bn – an dan inf { bn – an: n  N} = 0, maka titik  ini tunggal. Bukti. Karena interval-interval tersebut bersarang, kita punyai In  I1 untuk semua n N sehingga an  b1 untuk semua n  N. Karena himpunan { an: n  N} tak-kosong terbatas di atas, maka dapat diambil  = sup{ an: n  N}. Jelas bahwa an   untuk semua n  N. Untuk semua n  N, bn adalah batas atas dari himpunan { an: nN} Jadi kita peroleh: jika n  k, maka In  Ik, sehingga ak < bk < bn, jika k < n, maka Ik  In, sehingga ak  an  bn. 13/11/2018 6:17

25 Oleh karena itu   bn untuk semua n N.
Jadi kita simpulkan bahwa ak  bn untuk semua k sehingga bn batas atas dari himpunan { an: n  N}. Oleh karena itu   bn untuk semua n N. Jadi   In untuk semua n  N. Jika  = inf { bn: n  N}, maka dengan analogi yang sama, kita peroleh an   untuk semua n  N, dan oleh karenanya   . Sehingga x  In untuk semua n  N, jika dan hanya jika   x  . Selanjutnya misalkan inf { bn – an: n  N} = 0, maka untuk sebarang  > 0, terdapat n  N sehingga 0   -   bn – an  . Karena ini dipenuhi untuk sebarang  > 0, maka  -  = 0 atau  =  adalah satu-satunya unsur di In untuk semua n  N. 13/11/2018 6:17

26 Definisi 2.E.2. Titik x R disebut titik kumpul dari himpunan S  R jika setiap lingkungan- L = (x- , x+) dari x memuat sekurang-kurangnya satu titik dari S yang berbeda dengan x. Definisi ini ekivalen dengan: Titik x R disebut titik kumpul dari himpunan S  R jika setiap lingkungan- L = (x- , x +) dari x memuat tak-berhingga titik dari S yang berbeda dengan x. 13/11/2018 6:17

27 Definisi 2.E.2. Titik x R disebut titik kumpul dari himpunan S  R jika setiap lingkungan- L = (x- , x+) dari x memuat sekurang-kurangnya satu titik dari S yang berbeda dengan x. Definisi ini ekivalen dengan: Titik x R disebut titik kumpul dari himpunan S  R jika setiap lingkungan- L = (x- , x +) dari x memuat tak-berhingga titik dari S yang berbeda dengan x. 13/11/2018 6:17

28 : n N } mempunyai sebuah titik
Contoh. Jika S1 interval buka (0 , 1), maka setiap titik pada interval tutup [0 , 1] adalah himpunan titik kumpul dari S1. Sebagai catatan bahwa 0 dan 1 adalah titik kumpul dari S1 yang bukan unsur di S1. Himpunan berhingga tidak mempunyai titik kumpul. S2 = N meskipun anggotanya tak berhingga, tetapi tidak mempunyai titik kumpul. Himpunan S3 = { : n N } mempunyai sebuah titik kumpul yaitu 0, tetapi 0 bukan unsur di S3. Himpunan S4 = I Q, yaitu semua bilangan rasional pada interval satuan. Semua titik dari I merupakan titik kumpul dari S4. 13/11/2018 6:17

29 Teorema 2.E.3. (Teorema Bolzano Weierstrass)
Setiap subhimpunan tak-berhingga terbatas di R sekurang-kurangnya mempunyai satu titik kumpul. Bukti. Misalkan S himpunan tak-berhingga terbatas, maka S dimuat oleh suatu interval I1 = [a , b]. Proses bukti ini adalah memotong berulang-ulang sehingga membentuk sarang interval tutup. Pertama-tama I1 kita potong menjadi dua subinterval . . dan Karena I1 memuat tak-berhingga titik, maka salah satu dari subinterval di atas, pasti memuat tak-berhingga titik. Subinterval ini kita beri nama I2. 13/11/2018 6:17

30 pada interval yang memuat
Misalkan I2 = pada interval yang memuat tak-berhingga titik. I2 kita potong menjadi dua dan Dari pemotongan ini tentu salah satu dari subinterval memuat tak-berhingga titik. dan Subinterval ini kita beri nama I3 pada interval yang memuat tak-berhingga titik. . Proses ini kita lanjutkan sehingga kita peroleh barisan sarang interval tutup I1  I2  I3  ...  In  ..., dengan panjang In = 13/11/2018 6:17

31 S  In memuat tak-berhingga titik, untuk setiap n  N.
Menurut Teorema Sarang interval terdapat x  Akan ditunjukkan bahwa x titik kumpul dari S. Ambil  > 0 sebarang dan V = (x- , x+) lingkungan- dari x. Pilih n  N sehingga . < . Karena x  In dan panjang In < , maka In  V dan karena juga memuat takberhingga titik dari S yang berbeda dengan x, maka x adalah titik kumpul dari S. 13/11/2018 6:17

32 F. Himpunan Buka dan Himpunan Tutup
Definisi 2.F.1. G Subhimpunan dari R buka di R jika untuk setiap xG terdapat lingkungan V dari x sehingga V  G. F Subhimpunan dari R tutup di R jika komplemen C(F) = R – F buka di R. 13/11/2018 6:17

33 Untuk menunjukkan bahwa G  R buka di R, cukup ditunjukkan bahwa untuk setiap x pada G mempunyai lingkungan- yang dimuat di G. Atau G buka jika dan hanya jika untuk setiap x  G, terdapat x > 0 sehingga (x-x , x+x)  G. Untuk menunjukkan F tutup, cukup ditunjukkan bahwa untuk setiap y  F mempunyai lingkungan- yang saling lepas terhadap F, atau untuk setiap y  F, terdapat y > 0 sehingga F  (y-y , y+x) = . 13/11/2018 6:17

34 Teorema 2.F.2. Sifat Himpunan buka.
Gabungan dari sebarang koleksi himpunan buka dari R adalah buka. Irisan koleksi berhingga himpunan buka adalah buka. Akibat 2.F.3. Sifat Himpunan tutup. Irisan dari sebarang koleksi himpunan tutup di R adalah tutup. Gabungan koleksi berhingga himpunan tutup adalah tutup. 13/11/2018 6:17

35 Teorema 2.F.4. Ciri Himpunan buka.
G subhimpunan dari R buka jika dan hanya jika G merupakan gabungan berhitung dari interval buka saling lepas di R. Teorema 2.F.5. Ciri Himpunan tutup. F subhimpunan dari R tutup jika dan hanya jika F memuat semua titik kumpulnya. 13/11/2018 6:17