Discrete Mathematics and Its Applications

Presentasi berjudul: "Discrete Mathematics and Its Applications"— Transcript presentasi:

1 Discrete Mathematics and Its Applications
Graph Coloring Discrete Mathematics and Its Applications by Kenneth H. Rosen

2 Graph Coloring Ada dua macam: pewarnaan simpul, dan pewarnaan sisi
Hanya dibahas perwarnaan simpul Pewarnaan simpul: memberi warna pada simpul-simpul graf sedemikian sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda.

3 Graph Coloring Aplikasi pewarnaan graf: mewarnai peta.
Peta terdiri atas sejumlah wilayah. Wilayah dapat menyatakan kecamatan, kabupaten, provinsi, atau negara. Peta diwarnai sedemikian sehingga dua wilayah bertetangga mempunyai warna berbeda.

4 Map Coloring

5 Map Coloring Nyatakan wilayah sebagai simpul, dan batas antar dua wilayah bertetangga sebagai sisi. Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai simpul pada graf yang berkoresponden. Setiap wilayah bertetangga harus mempunyai warna berbeda  warna setiap simpul harus berbeda.

6 Map Coloring

7 Chromatic Number Bilangan kromatik: jumlah minimum warna yang dibutuhkan untuk mewarnai peta. Simbol: (G). Suatu graf G yang mempunyai bilangan kromatis k dilambangkan dengan (G) = k. Graf di bawah ini memiliki (G) = 3.

8 Welch-Powell Algorithm
Menentukan warna sebenarnya sangat sulit kecuali dalam kasus-kasus sederhana seperti pada contoh-contoh yang akan kita bahas dalam bab ini Algoritma Welch-Powell adalah suatu cara yang efisien untuk mewarnai sebuah graf G.

9 Welch-Powell Algorithm
Urutkan simpul-simpul dari G dalam urutan derajat yang menurun. Urutan ini mungkin tidak unik karena beberapa simpul mungkin mempunyai derajat yang sama. Gunakan satu warna tertentu untuk mewarnai simpul pertama. Secara berurut, setiap simpul dalam daftar yang tidak berelasi dengan simpul sebelumnya diwarnai dengan warna ini. Ulangi langkah 2 di atas untuk simpul dengan urutan tertinggi yang belum diwarnai. Ulangi langkah 3 di atas sampai semua simpul dalam daftar terwarnai.

10 Welch-Powell Algorithm
Gunakan algoritma Welch-Powell untuk mewarnai graf di bawah ini dan tentukan bilangan kromatiknya!

11 Graph Coloring Application

12 Graph Coloring Application
Berapa paling sedikit jumlah hari yang dibutuhkan untuk jadwal ujian tersebut sedemikian sehingga semua mahasiswa dapat mengikuti ujian mata kuliah yang diambilnya tanpa bertabrakan waktunya dengan jadwal ujian kuliah lain yang juga diambilnya? Penyelesaian: simpul  mata kuliah sisi  ada mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah (2 simpul)

13 Graph Coloring Application
Bilangan kromatik adalah 2. Jadi, ujian mata kuliah A, E, dan D dapat dilaksanakan bersamaan. Sedangkan ujian mata kuliah B dan C dilakukan bersamaan tetapi pada waktu yang berbeda dengan mata kuliah A, E, dan D.

14 Graph Coloring Application
Ada 6 jenis zat kimia yang perlu disimpan di dalam gudang. Beberapa pasangan zat itu tidak dapat disimpan di dalam ruangan yang sama, karena campuran gasnya bersifat eksplosif (mudah meledak). Untuk zat yang semacam itu, perlu dibangun ruang-ruang terpisah yang dilengkapi ventilasi dan penyedot udara keluar yang berlainan. Jika lebih banyak ruang yang dibutuhkan, berarti lebih banyak ongkos yang dikeluarkan. Karena itu perlu diketahui berapa banyak minimum ruangan yang diperlukan untuk dapat menyimpan semua zat kimia dengan aman. Berikut ini adalah daftar pasangan zat kimia yang tidak dapat disimpan dalam ruangan yang sama. Gambarkan graf yang menyatakan persoalan di atas. Kemudian tentukan jumlah minimum ruangan yang dibutuhkan untuk menyimpan semuazat kimia di atas!

15 Graph Coloring Pada suatu semester, akan disusun jadwal UAS untuk mata kuliah Kalkulus, Matematika Diskrit, Fisika, Bahasa Inggris, Bahasa Indonesia, Agama, dan Kimia. Diketahui tidak ada mahasiswa yang mengambil pasangan matakuliah berikut ini secara bersamaan (dalam semester yang sama): Kalkulus & Kimia Matematika Diskrit & Kimia Bahasa Inggris & Bahasa Indonesia Bahasa Inggris & Agama Kalkulus & Matematika Diskrit Kalkulus & Fisika Fisika & Bahasa Inggris Tetapi ada mahasiswa yang mengambil secara bersamaan untuk kombinasi matakuliah lainnya, dalam semester tersebut. Berapa jumlah slot waktu minimum yang diperlukan untuk menyusun jadwal ujian UAS tersebut, sehingga tidak ada mahasiswa yang bentrok jadwal ujiannya?

16