Tim Pengampu MK Kalkulus II Tel-U

Presentasi berjudul: "Tim Pengampu MK Kalkulus II Tel-U"— Transcript presentasi:

1 Tim Pengampu MK Kalkulus II Tel-U
Fungsi dua peubah Tim Pengampu MK Kalkulus II Tel-U 12/29/2018

2 Sistem Koordinat y x P(x,y) Kuadran I Kuadran II Kuadran III
Kuadran IV y z x P(x,y,z) Oktan 1 R2(Bidang) R3(Ruang) 12/29/2018

3 Permukaan di Ruang (R3) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunyai bentuk umum : Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa lingkaran Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa lingkaran Jejak di bidang YOZ, x = 0  , berupa lingkaran 12/29/2018

4 Gambar Bola a jari-jari = a, pusat titik asal -a -a a a -a
Z a jari-jari = a, pusat titik asal -a -a a y a x -a jari-jari = a, pusat (r,s,t) 12/29/2018

5 Permukaan di Ruang Elipsoida, mempunyai bentuk umum , a, b, c > 0
Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa Ellips Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Ellips , berupa Ellips Jejak di bidang YOZ, x = 0  12/29/2018

6 Gambar Elipsoida Z c -a -b b y a -c x 12/29/2018

7 Permukaan di R3 Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:
, a, b, c > 0 , berupa Ellips Jejak di bidang XOY, z = 0  Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Hiperbolik Jejak di bidang YOZ, x = 0  , berupa Hiperbolik 12/29/2018

8 Gambar Hiperbolik Berdaun Satu
z 1. Bidang XOY, z = 0 Berupa elips c 2. Bidang XOZ, y = 0 Berupa hiperbolik -a y -b b a 3. Bidang YOZ, x = 0 Berupa hiperbolik x -c 12/29/2018

9 Permukaan di R3 Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:
, a, b, c > 0 , maka terdefinisi saat x  - a atau x  a Jejak di bidang XOY, z = 0  , berupa Hiperbolik Jejak di bidang XOZ, y = 0  , berupa Hiperbolik Jejak di bidang YOZ, x = 0  , tidak ada jejak Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips 12/29/2018

10 Gambar Hiperbolik Berdaun Dua
z 1. Bidang XOY, z = 0 Berupa hiperbolik 2. Bidang XOZ, y = 0 Berupa hiperbolik -a y a 3. Bidang YOZ, x = 0 Tidak ada jejak x 12/29/2018

11 Permukaan di R3 Paraboloida eliptik, mempunyai bentuk umum:
Z Bidang XOZ (y =0) Bidang YOZ (x =0) Bidang ZOY (z =0) -a y -b b a x 12/29/2018

12 Permukaan di R3 Paraboloida hiperbolik, mempunyai bentuk umum:
Z Bidang XOZ (y =0) Bidang YOZ (x =0) -a y -b Bidang ZOY (z =0) b a x 12/29/2018

13 Permukaan di R3 Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:
z Bidang XOZ (y =0) Bidang YOZ (x =0) y Bidang ZOY (z =0) x 12/29/2018

14 Permukaan di R3 Bidang, mempunyai bentuk umum: z Bidang XOZ (y =0)
D/C Bidang XOZ (y =0) Bidang YOZ (x =0) D/B y Bidang ZOY (z =0) x D/A 12/29/2018

15 Latihan Sketsakan: x2 + y2 = 4 y = x2 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1
9 z2 + 9x2 + 4y2 = 36 z =4 x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z = 3 12/29/2018

16 Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y) Notasi : f : A  R ( A C R2) (x,y)  z = f(x,y) Contoh: f(x,y) = x2 + 4 y2 f(x,y) = f(x,y) = 12/29/2018

17 Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)
Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari 1. f(x,y) = x2 + 4 y2 12/29/2018

18 Contoh (Jawab) y 1. Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2  R} = {(x,y) R2} x 2.
3 = {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2  0} = {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2  36} 2 x 12/29/2018

19 Contoh (Jawab) 3. = {(x,y) R2| x(1 – y)  0}
= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)  0 atau x  0 dan (1–y)  0} = {(x,y) R2|x  0 dan y  1 atau x  0 dan y  1} y x 12/29/2018

20 Latihan Tentukan dan Gambarkan Df dari 1. f(x,y) = 4. f(x,y) =
12/29/2018

21 Grafik Fungsi Dua Peubah
Grafiknya berupa permukaan di ruang z Z=f(x,y) y Df x Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 12/29/2018

22 Contoh Gambarkan Grafik f(x,y) = 2 x2 + 3y2 f(x,y) = 3 – x2 – y2
z = 2 x2 + 3y2 f(x,y) = 3 – x2 – y2 Z y Paraboloida eliptik x Z 3 -3 y z = 3 – x2 – y2 z = 3 – (x2 +y2) -3 3 3 x 12/29/2018

23 Contoh 3. f(x,y) = 9z2 = 36 – 9x2 – 4y2 9x2 + 4y2 + 9z2 = 36
Elipsoida z positif Z x y 4 4. f(x,y) = z2 = 16 –x2 –y2 x2 + y2 + z2 = 16 4 Bola z positif 4 12/29/2018

24 Contoh grafik fungsi 2 peubah menggunakan aplikasi/sofware
12/29/2018

25 Kurva Ketinggian z = f(x,y)  z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: 12/29/2018

26 Contoh aplikasi kurva ketinggian
12/29/2018

27 . Contoh         1. Gambarkan kurva ketinggian z = k dari
f(x,y) = x2+ 2y2 dengan k = 0, 1, 2, 4  Untuk k = 0 x2 +2 y2 = 0  x = 0, y = 0 titik (0, 0) Untuk k = 1  x2 +2 y2 = 1 y  elips Untuk k = 2  x2 +2 y2 = 2 . k=0 k=1  elips x k=2  Untuk k = 4 x2 +2 y2 = 4 k=4  elips 12/29/2018

28 Contoh         2. Gambarkan kurva ketinggian z = k dari
f(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4  Untuk k = -2 x – y2 = -2  x = y2 – 2 parabola  Untuk k = 0 x – y2 = 0 y k=-2 k=2  parabola x = y2  Untuk k = 2 x – y2 = 2 x  x = y2 + 2 parabola  k=0 Untuk k = 4 x - y2 = 4 k=4  x = y2 + 4 parabola 12/29/2018

29 Latihan f(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4
Gambarkan kurva ketinggian z = k dari f(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4 f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9 f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4 f(x,y) = y2 – x2 , k = 1, 2, 3, 4 12/29/2018

30 Limit Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis Jika ε > 0  > 0  berlaku z Z =f(x,y) L+ε L L–ε y (a,b)  x 12/29/2018

31 Catatan untuk sembarang ada jika kurva yang melalui (a,b).
Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui (a,b) dengan nilai berbeda untuk masing-masing kurva, maka dikatakan tidak ada. . (a,b) 12/29/2018

32 Contoh Buktikan bahwa limit berikut tidak ada Jawab
terdefinisi di Df = R2 – {(0,0)} Di sepanjang garis y = 0, kecuali x = 0, maka nilai f adalah Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah 12/29/2018

33 Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis y = x, maka nilai f adalah
Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah Karena maka tidak ada 12/29/2018

34 Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada 1. 3. 2. 12/29/2018

35 Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. iii. Teorema: 1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm 2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada Df asalkan q(x,y) ≠ 0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b), maka f0g kontinu di (a,b), didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y)) 12/29/2018

36 Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 1. f(x,y) =
Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x 2. f(x,y) = Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom)  g kontinu dimana-mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang 12/29/2018

37 Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut 12/29/2018

38 Contoh: Tentukan fx dan fy 3. 1. Jawab Jawab fx(x,y) = – ln(sinx)
fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2 fy(x,y) = ln(siny) fy(x,y) = x3 + 8 xy 2. Jawab fx(x,y) = –2xy sin(x2 + y2) fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2) 12/29/2018

39 Latihan Tentukan fx dan fy 1. 2. Tentukan fx, fy dan fz 1. 2.
12/29/2018

40 Turunan Parsial Kedua 12/29/2018

41 Contoh Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y)= x y3 + y3x2 Jawab
fx(x,y) = y3 + 2xy3 fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2 fxx(x,y) = 2y3 fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2 fyy(x,y) = 6xy + 6x2y fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2 12/29/2018

42 Contoh 2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3) Jawab fx(x,y)
= y sin(x2+2xy+y3) + xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3) fy(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) fxx(x,y) =y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3) – xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3) fxy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3) +(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) fyy(x,y) =(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3) –xy(2x+3y2)2 sin(x2+2xy+y3) fyx(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3) +(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3) –xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3) 12/29/2018

43 Latihan Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y
2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3) 3. f(x,y) = tan-1(y2/x) 4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2) 5. f(x,y) = (2x-y)/(xy) 12/29/2018

44 Arti Geometri Turunan Parsial
z x y s Perpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a,b,f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x. (a, b) y konstan 12/29/2018

45 Arti Geometri Turunan Pertama (2)
z Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a,b,f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y. s y (a, b) x x konstan 12/29/2018

46 12/29/2018

47 Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan
36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab: Turunan parsial terhadap y adalah Sehingga didapat . Bilangan ini adalah menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t 12/29/2018

48 Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan
2z =(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2)) Jawab: Turunan parsial terhadap x adalah Sehingga didapat . Bilangan ini adalah menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2)) yaitu 3/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t 12/29/2018

49 Latihan 3z =(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik(1, 2, (11/3))
Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 3z =(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik(1, 2, (11/3)) 4z =5(16-x2) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5(3/2)) 12/29/2018

50 Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D  R2
Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagai adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif 12/29/2018

51 Contoh Tentukan dan dari Jawab   Sehingga diperoleh: 12/29/2018

52 Latihan I. Tentukan dari 1. 3. 2. 4. 5. 6. II. Tentukan
di titik yang diberikan 1. di P (– 2,3) 2. di P (– 1, 1) 3. di P (2, –1) 12/29/2018

53 Aturan Rantai Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t
dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t)) Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka 12/29/2018

54 Contoh 1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan Jawab:
= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t) = 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t) = 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t = 6t11+6 t11 = 12 t11 12/29/2018

55 Contoh Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s +7t dan y = 5st, tentukan
Jawab: = 6x.7 + (–2y) 5s = 42 (2s +7t) – 50 s2t = 6x.2 + (–2y) 5 t = 12 (2s+7t) – 50 st2 12/29/2018

56 Latihan 1. Tentukan (dalam t) a. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t
b. w = ex siny – eysin x ; x = 3t, y = 2t c. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =t 2. Tentukan (dalam t dan s) a. w = x2 – y lnx ; x = s/t, y = s2 t b. w = ; x = s sin t, y = t sin s 12/29/2018

57 Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a,b) pada arah vektor satuan adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : atau D f(a, b) = fx(a, b) u1 + fy(a, b) u2 Perhatikan bahwa Sehingga, turunan berarah akan bernilai maksimum ( = 0) jika Sebaliknya akan minimum jika 12/29/2018

58 Turunan parsial Turunan berarah 12/29/2018

59 Contoh   Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x3y pada titik
P(2,1) dalam arah vektor Jawab: Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a  fx (x,y)= 12 x2 y fx (2, 1)= =48  fy (x,y)= 4 x3 fx (2, 1)= 4.23 =32 Sehingga =48 . (4/5) (3/5) = 288/5 12/29/2018

60 Contoh Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada titik P(1,2, /2) dalam arah vektor Jawab: Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a  fx (x,y,z)= y sinz fx (1,2,/2)= 2 sin(/2) =2  fy (x,y,z)= x sinz fx (1,2, /2)= 1.sin(/2) =1  fz (x,y,z)= xy cosz fz (1,2, /2)= 1.2 cos(/2) =0 12/29/2018

61 Contoh (Lanjutan) Sehingga =2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3) = 4/3
12/29/2018

62 Latihan Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang
diberikan dalam vektor a a. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(x,y) = xey – yex , P(0, 0), a = 5 i – 2 j c. f(x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + 3 j d. f(x,y) = x/(x-y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(x,y,z) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3) Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang) paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(x,y) = x3 – y5 , P(2, –1) b. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0) c. f(x,y) = 4x3y2 , P(–1,1) 12/29/2018

63 Latihan (lanjutan) Misal . Tentukan sehingga Jika , Tentukan sehingga
Diketahui jika dan jika a. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2) b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0) 12/29/2018

64 Bidang Singgung Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k ( z = f(x,y) sama dengan F(x,y,z) = f(x,y) – z = 0 ). Maka bidang singgung dari S pada titik Po(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada 12/29/2018

65 Bidang Singgung Teorema:
Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : Fx(a,b,c) (x – a) + Fy(a,b,c) (y – b) + Fz(a,b,c) (z – c) = 0 Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : fx(a,b) (x – a) + fy(a,b) (y – b) – 1 (z – c) = (c = f(a,b)) z – f(a,b) = fx(a,b) (x – a) + fy(a,b) (y – b) 12/29/2018

66 Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal
permukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3) Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2 Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah 2(x – 1) + 4(y – 2) + 12 (z – 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46 12/29/2018

67 Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1 + 2t, y = 2 + 4t , z = t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 12/29/2018

68 Contoh   2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan z = f(x,y) = x2 + 2xy – 3xy2 + 2 di titik (1, 2, -5) Jawab:   Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah (z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2) –6(x – 1) –10(y – 2) – (z + 5) = 0 6x + 10y + z = 21 12/29/2018

69 Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah
x = 1 – 6t, y = 2 – 10t , z = –5 – t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 12/29/2018

70 Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal
permukaan a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6) b. y = ex cos z di titik (1, e, 0) c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1) d. Z = 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1) 2. Tentukan semua titik pada permukaan z = x2 – 2xy – y2 – 8x + 4y dimana bidang singgungnya mendatar 3. Perlihatkan bahwa permukaan x2 + 4y + z2 = 0 dan x2 + y2 + z2 – 6z + 7 = 0 saling menyinggung di titik (0, -1, 2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2 + 2y2 + 3z2 = 12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x =1 + 2t, y = 3 + 8t, z = 2 – 6t 12/29/2018

71 Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah
Definisi Misalkan (x0,y0)  Df, maka f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0)  f(x,y),  (x,y)  Df f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0)  f(x,y),  (x,y)  Df f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N  S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0). 12/29/2018

72 Titik pelana 12/29/2018

73 Di mana nilai ekstrim muncul?
Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu Titik-titik batas Df Titik Stasioner  (bidang singgung datar) Titik Singular  titik dalam S ketika f tidak dapat didiferensialkan 12/29/2018

74 Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu: Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0) dan Jika maka 1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D > 0 dan 2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D > 0 dan 3. f(x0,y0) titik pelana jika D < 0 4. Jika D = 0, tidak dapat ditarik kesimpulan 12/29/2018

75 Contoh    1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari
f(x,y) = 2x4–x2+3y2 Jawab fx(x,y) = 8x3 – 2x fy(x,y) = 6y fxx(x,y) = 24x2 – 2 fyy(x,y) = 6 fxy(x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu   8x3 – 2x=0 2x (4x2 – 1)=0 x=0 , x =± ½  6y =0 y = 0 Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 12/29/2018

76 Contoh (lanjutan) fxx fyy fxy D Keterangan (0,0) – 2 6 –12
Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut: fxx fyy fxy D Keterangan (0,0) – 2 6 –12 Titik pelana (½, 0) 4 24 Titik Minimum (-½, 0) Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana. 12/29/2018

77 Contoh 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari
f(x,y) =x2–y2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2  1} Jawab fx(x,y) = 2x fy(x,y) = – 2y fxx(x,y) = 2 fyy(x,y) = –2 fxy(x,y) = 0 Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos2 t – sin2t+1 (untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S) 12/29/2018

78 Contoh (lanjutan)           
Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:  f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0 4 cos t sint= 0   sin2t= 0 2t= 0, , 2, 3 t= 0, /2, , 3/2   Untuk t = 0 x = 1, y = 0 f(1, 0) = 2   Untuk t = /2 x = 0, y = 1 f(0, 1) = 0   Untuk t =  x = -1, y = 0 f(-1, 0) = 2   Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1 f(0, -1) = 0 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 12/29/2018

79 Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari
a. f(x,y) = x3+y3-6xy b. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2 c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1 d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y 2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari a. f(x,y) =x2–6x+y2–8y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2  1} b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 x 1, –1 y  1} 12/29/2018

80 Metode Lagrange Untuk mencari nilai ekstrim terkendala Misalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ekstrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 – x2 – y2 berikut : g (x, y) = 0 Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0  sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiap x, y  Df sepanjang g(x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung  garis tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian dan kurva kendala, maka 12/29/2018

81 12/29/2018

82 Metode Lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan dengan (x0,y0) titik kritis,  pengali langrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan , g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0 dengan (x0,y0) titik kritis,  pengali langrange 12/29/2018

83 Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(x,y)= x2 + 2y2 pada lingkaran x2+y2=1 Jawab: Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut dan yaitu: 2x =  2x …….(1) 4y =  2y …….(2) x2+y2 = 1 ……..(3) 12/29/2018

84 Contoh (lanjutan)    
Untuk x  0 dari (1), di dapat  = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1  x = ± 1 Untuk x = 0 dari (1), di dapat dari (3)  y = ± 1 Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)  Untuk (1,0) f(1, 0) = 1, Untuk (-1,0)  f(-1,0) = 1  Untuk (0,1) f(0, 1) = 2,  Untuk (0,-1) f(0,-1) = 2 Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (0,1) dan (0,-1), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (1,0) dan (-1,0) 12/29/2018

85 Contoh 2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan
perpotongan x2+y2=2 dan bidang y + z = 1 Jawab: Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut , dan yaitu: 1 = 2x …………….(1) 2 = 2y +  …….(2) 3 =  ……………….(3) x2+y2 = 2 ……..…..(4) y + z = 1 ……..…..(5) 12/29/2018

86 Contoh (lanjutan) Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat  = ± ½. Untuk  = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2). Untuk  = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0) 12/29/2018

87 Latihan Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0 f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1 f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1 f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12 12/29/2018

88 Pustaka Purcell, Varberg, Rigdon. Calculus 9th edition. Prentice-Hall, Inc. Stewart, James. Calculus 7th edition. 12/29/2018