ASSALAMU’ALAIKUM WR. WB

Presentasi berjudul: "ASSALAMU’ALAIKUM WR. WB"— Transcript presentasi:

1 ASSALAMU’ALAIKUM WR. WB

2 GEOMETRI ANALITIK RUANG
Pertemuan 14 RINA AGUSTINA, M. Pd.

3 BOLA Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awal nya adalah titik tertentu dan panjangnya adalah tetap. Titik awal tertentu itu disebut titik pusat bola. Panjang vektor yang konstan itu disebut jari-jari.

4 Bola dengan pusat titik O (titik asal) dan berjari-jari r, persamaannya diperoleh dengan cara mengambil sebarang titik P (x, y, z) pada bola. Sehingga 𝑂𝑃 = 𝑟 =(𝑥,𝑦,𝑧)

5 Pada gambar di atas: | 𝑂𝑃 |= 𝑟 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , jari-jarinya r Karena P(x, y, z) sebarang titik pada bola, maka setiap titik (x, y, z) pada bola, berlaku: 𝑟 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Ini berarti persamaan bola dengan pusat O dan berjari-jari r adalah:

6 Misalkan pusat bola adalah M (a, b, c), jari-jari = R
Ambil sebarang titik P ( 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ), pada bola.

7 Maka berlaku: MP = OP – OM = ( 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) – (a, b, c) = ( 𝑥 0 −𝑎, 𝑦 0 −𝑏, 𝑧 0 −𝑐) Sehingga panjang vektor MP adalah |MP|, yaitu: |MP| = ( 𝑥 0 −𝑎) 2 + ( 𝑦 0 −𝑏) 2 + ( 𝑧 0 −𝑐) 2 Karena |MP| = R (jari-jari bola), aka diperoleh: R = ( 𝑥 0 −𝑎) 2 + ( 𝑦 0 −𝑏) 2 + ( 𝑧 0 −𝑐) 2 𝑅 2 = ( 𝑥 0 −𝑎) 2 + ( 𝑦 0 −𝑏) 2 + ( 𝑧 0 −𝑐) 2

8 (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑅 2 …(1)
Jika titik P dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan bola. Jadi persamaan bola B yang berpusat di M (a, b, c) dengan jari-jari R adalah: (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑅 2 …(1) Jika persamaan (1) dijabarkan, maka diperoleh: 𝑥 2 + 𝑦 𝑧 2 −2𝑎𝑥−2𝑏𝑦−2𝑐𝑧+ 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑅 2 =0 persamaan (2)

9 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 …….. (3)
Dari persamaan (2), jika: -2a = A, -2b = B, -2c = C dan 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑅 2 = D Maka persamaan (2)dapat ditulis sebagai: 𝑥 2 + 𝑦 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 …….. (3) Selanjutnya persamaan (3) ini disebut sebagai bentuk umum persamaan bola.

10 Dengan demikian, pusat bola pada persamaan (3) di atas adalah :
Begitu pula karena 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑅 2 = D, maka didapat : 𝑅 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 −D 𝑅 2 = (− 1 2 𝐴) 2 + (− 1 2 𝐵) 2 + (− 1 2 𝐶) 2 −D 𝑅= (− 1 2 𝐴) 2 + (− 1 2 𝐵) 2 + (− 1 2 𝐶) 2 −D

11 Untuk bola dengan persamaan
𝑥 2 + 𝑦 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 terdapat tiga kemungkinan, yaitu: 1. Bila 𝑅 2 > 0, maka bola adalah bola sejati. 2. Bila 𝑅 2 = 0, maka bola adalah bola tiitik (jari-jari = 0) 3. Bila 𝑅 2 < 0, maka bola adalah bola khayal.

12 Contoh: Carilah persamaan bola yang berpusat di titik (1, 3, 2) dan melalui titik (2, 5, 0) ! Penyelesaian: Jari-jari bola adalah jarak dua titik tersebut: 𝑟= (2−1) 2 + (5−3) 2 + (−2) 2 𝑟= = 3

13 Persamaan bola dengan pusat (1, 3, 2) dan jari-jari 3 adalah :
(𝑥−1) 2 + (𝑦−3) 2 + (𝑧−2) 2 =9 Jika dijabarkan menjadi: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −2𝑥−6𝑦−4𝑧+5=0

14 KERJAKAN ! Tentukan pusat dan jari-jari bola, jika diketahui persamaan bola tersebut sebagai berikut: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −10𝑥−8𝑦−12𝑧+68=0 Penyelesaian: Pusat M = (− 1 2 𝐴, − 1 2 𝐵, − 1 2 𝐶) = (− 1 2 (−10), − 1 2 (−8), − 1 2 (-12)) = (5, 4, 6)

15 𝑅= (− 1 2 𝐴) 2 + (− 1 2 𝐵) 2 + (− 1 2 𝐶) 2 −D 𝑅= 9 = 3
𝑅= (5) 2 + (4) 2 + (6) 2 −68 𝑅= −68 𝑅= 9 = 3

16 Jika diketahui 4 buah titik yang tidak sebidang, maka dapat ditentukan persamaan bola yang melalui 4 titik tersebut. Misal titik-titiknya adalah 𝑃 1 ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ), 𝑃 2 ( 𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ), 𝑃 3 ( 𝑥 3 , 𝑦 3 , 𝑧 3 ), dan 𝑃 4 ( 𝑥 4 , 𝑦 4 , 𝑧 4 ). Misal persamaan bola yang dilalui adalah: 𝑥 2 + 𝑦 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0

17 Maka keempat titik tersebut akan memenuhi persamaan ini, yaitu:
𝑥 𝑦 𝑧 𝐴 𝑥 1 +𝐵 𝑦 1 +𝐶 𝑧 1 +𝐷=0 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴 𝑥 2 +𝐵 𝑦 2 +𝐶 𝑧 2 +𝐷=0 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴 𝑥 3 +𝐵 𝑦 3 +𝐶 𝑧 3 +𝐷=0 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴 𝑥 4 +𝐵 𝑦 4 +𝐶 𝑧 4 +𝐷=0

18 Agar lima persamaan ini mempunyai penyelesaian untuk A, B, C, dan D, maka harus dipenuhi :
𝑥 2 + 𝑦 𝑧 2 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 4 𝑦 4 𝑧 = 0 Persamaan determinan ini adalah persamaan kuadrat dalam x, y, dan z yang merupakan persamaan bola yang melalui 4 titik yang diketahui.

19 Bidang Singgung Bola Misalkan bola dengan persamaan :
(𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑅 2 dan suatu titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola. Akan dicari persamaan bidang singgung pada bola di titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ). Bidang singgung di titik T dan berjari-jari R saling tegak lurus.

20 Ambil sebarang titik V (x, y, z) pada bidang singgung, maka:
𝑇𝑉 = < 𝑥− 𝑥 1 , 𝑦− 𝑦 1 , 𝑧− 𝑧 1 > Pusat bola P (a, b, c), maka 𝑃𝑇 = < 𝑥 1 −𝑎, 𝑦 1 −𝑏, 𝑧 1 −𝑐> Karena 𝑇𝑉 ⊥ 𝑃𝑇 , maka 𝑃𝑇 . 𝑇𝑉 = 0

21 𝑟 2 − < 𝑥 1 −𝑎, 𝑦 1 −𝑏, 𝑧 1 −𝑐> . < 𝑥−𝑎, 𝑦−𝑏, 𝑧−𝑐> = 0
𝑃𝑇 ( 𝑃𝑇 − 𝑃𝑉 )= 0 𝑃𝑇 . 𝑃𝑇 − 𝑃𝑇 . 𝑃𝑉 = 0 𝑟 2 − < 𝑥 1 −𝑎, 𝑦 1 −𝑏, 𝑧 1 −𝑐> . < 𝑥−𝑎, 𝑦−𝑏, 𝑧−𝑐> = 0 ( 𝑥 1 −𝑎)(𝑥−𝑎) + ( 𝑦 1 −𝑏)(𝑦−𝑏)+( 𝑧 1 −𝑐)(𝑧−𝑐) = 𝑟 2 Ini adalah persamaan bidang singgung bola dengan persamaan bola (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑅 2 dan suatu titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola.

22 1. Normal bidang singgung diketahui 2. Titik singgung diketahui
Selayaknya bidang singgung pada lingkaran, persamaan bidang singgung pada boal dapat ditentukan jika : 1. Normal bidang singgung diketahui 2. Titik singgung diketahui 3. Titik di luar bola yang dilalui bidang singgung diketahui

23 1. Normal bidang singgung diketahui
Jika T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 + (𝑧−𝑐) 2 = 𝑟 2 , maka persamaan bidang singgung melalui T adalah: ( 𝑥 1 −𝑎)(𝑥−𝑎) + ( 𝑦 1 −𝑏)(𝑦−𝑏)+( 𝑧 1 −𝑐)(𝑧−𝑐) = 𝑟 2 2. Titik singgung diketahui Jika T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola 𝑥 2 + 𝑦 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 , maka persamaan bidang singgung melalui T adalah:

24 3. Titik tertentu di luar bola diketahui
Kuasa suatu titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) pada bola 𝑥 2 + 𝑦 𝑧 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷=0 adalah 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴 𝑥 1 +𝐵 𝑦 1 +𝐶 𝑧 1 +𝐷=0. Jadi T terletak di dalam dam di luar bola, maka kuasa titik terhadap bola berturut-turut mempunyai nilai nol, negatif, dan positif.

25 Jika titik T ( 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) diluar bola maka
Merupakan persamaan bidang polanya.

26 (1−3)(𝑥−3) + (3−1)(𝑦−1)+(3−2)(𝑧−2) = 9
Contoh : Tentukan persamaan bidang singgung pada bola: (𝑥−3) 2 + (𝑦−1) 2 + (𝑧−2) 2 = 3 2 dititik T (1, 3, 3) ! Penyelesaian: Titik T (1, 3, 3) terletak pada bola. Karena titik tersebut memenuhi persamaan bola. Maka bidang singgung pada bola adalah: (1−3)(𝑥−3) + (3−1)(𝑦−1)+(3−2)(𝑧−2) = 9 -2x + 2y + z – 7 = 0

27 TUGAS MANDIRI 1. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 +2𝑥−6𝑦+4𝑧+5=0 yang sejajar bidang xy ! 2. Tentukan persamaan bidang singgung bola 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 −2𝑥+4𝑦−8𝑧+5=0 di titik (1, -2, 0) !

28 WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB
SELAMAT BELAJAR WASSALAMU’ALAIKUM WR.WB