BAB 6: TRANSFORMASI LINIER

Presentasi berjudul: "BAB 6: TRANSFORMASI LINIER"— Transcript presentasi:

1 BAB 6: TRANSFORMASI LINIER
Pengertian Transformasi Transformasi Vektor Linier Matriks Transformasi Produk Transformasi Transformasi Invers Nilai eigen dan vektor eigen

2 1. Pengertian Transformasi
Misalkan 2 buah himpunan A dan B. Suatu fungsi f : A → B , jika mengaitkan setiap x ϵ A dengan tepat satu y ϵ B . Di mana: a ᶠ 2 b ᶠ 1 c ᶠ 2 f adalah fungsi A → B. Himpunan A adalah domain. Himpunan B adalah kodomain. Selanjutnya digunakan perkataan transformasi sebagai pengganti perkataan fungsi. a b c 1 2

3 1. Pengertian Transformasi
Contoh: Tentukan peta dari [2, -1, 4], jika diketahui suatu transformasi T : R³ → R³ untuk setiap x = [x1 , x2 , x3] ϵ R³ dengan rumus transformasinya sebagai berikut: a) T [x1 , x2 , x3] = [x2 , 2x2 – x1 , x3] b) T [x1 , x2 , x3] = [x1 , x2 + x3 , x1 – x3] c) T [x1 , x2 , x3] = [x3 , x1 + x3 , x1 – x3] d) T [x1 , x2 , x3] = [x1, x2 + x3, x1 + x3] e) T [x1 , x2 , x3] = [x1, x2 + x3, –x3]

4 2. Transformasi Vektor Linier
Transformasi linier banyak dipakai dalam bidang-bidang seperti ekonomi, fisika, keteknikan, dll. Khusus untuk informatika banyak sekali dipakai dalam bidang citra (image). Transformasi vektor linier yaitu pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor yang lain yang memenuhi aksioma kelinieran. Aksioma kelinieran yang dimaksud adalah sebagai berikut: Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap dan berlaku : Jika V = W maka T dinamakan operator linear

5 Contoh : Tunjukan bahwa T : R2  R3, dimana merupakan tranformasi linear. Jawab : Ambil unsur sembarang di R2, Misalkan (i) Akan ditunjukan bahwa 10/01/ :09

6 10/01/ :09

7 (ii) Ambil unsur sembarang Jadi, T merupakan transformasi linear.
10/01/ :09

8 Contoh 2 : Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuk setiap A  M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier. Jawab : Misalkan maka untuk setiap  R berlaku det (A) = 10/01/ :09

9 (i) Ambil unsur sembarang R^3,
Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A) Jadi T bukan transformasi linier. Contoh 3 : Diketahui T : R^3  R^2, dimana a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan Jawab : (i) Ambil unsur sembarang R^3, 10/01/ :09

10 Sehingga Perhatikan bahwa
10/01/ :09

11 Ambil unsur sembarang R3,
dan   R, sehingga Jadi, T adalah transformasi linear b. 10/01/ :09

12 Latihan Soal Transformasi Vektor Linier
Diketahui rumus Transformasi Vektor sebagai berikut: 1. T : R3  R3 T[x1, x2, x3] = [x2, 2x2 – x1, x3]. 2. T : R3  R3 T[x1, x2, x3] = [2x1 + 3x2 + x3, 3x3 + 2x2 – 3, 2x1 – 2x2]. Apakah rumus transformasi di atas merupakan transformasi vektor linier?, Tunjukkan dengan jelas.

13 3. Matriks Transformasi Suatu transformasi linear T : Rn  Rm dapat direpresentasikan dalam bentuk :  Amxn dinamakan matriks transformasi dari T. Contoh 1: Misalkan, suatu transformasi linear T : R2  R3 didefinisikan oleh : untuk setiap  V.

14 Jawab : Perhatikan bahwa Jadi matriks transformasi untuk T : R2  R3 adalah Jika T : Rn  Rm merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah m x n 10/01/ :09

15 Contoh 2: Misalkan, suatu transformasi linear T : R3  R3 didefinisikan oleh rumus transformasi sbb: T[x, y, z] = [y, 2y + x, z] Carilah matriks Transformasi dari [2, 2, 1]! Jawab : Perhatikan bahwa Jadi matriks transformasi dari [2, 2, 1] adalah = matriks transformasi 1 2 x y z 1 2 2 1 2 6 1 10/01/ :09

16 ST disebut produk transformasi dari S ke T
Pandang 2 buah transformasi linier T : Vn  Wr S : Wr  Um dengan matriks transformasi berturut-turut A dan B. Setiap vektor v oleh transformasi T dipetakan menjadi w = Av , kemudian hasilnya w oleh transformasi S dipetakan menjadi u = Bw = B (Av) = (BA) v v w u  V n  W r T S  V n  W r  U m w = Av u = Bw = B (Av) = B A (v) v u : transformasi baru ST dengan matriks transformasi BA ST disebut produk transformasi dari S ke T

17 Diketahui rumus transformasi sebagai berikut:
Contoh : Diketahui rumus transformasi sebagai berikut: T : R3  R3 dengan T[x1, x2, x3] = [x1 + 2x2, x2 + x3, x1] S : R3  R3 dengan S[x1, x2, x3] = [3x2 + x3, x1 + x3, x1 + 2x2 + x3] Tentukan: Matriks transformasi dari T! Matriks transformasi dari S! Matriks transformasi ST! Rumus dari produk transformasi ST! Peta dari [2, 1, 0] oleh matriks transformasi ST! 10/01/ :09

18 5. Transformasi Invers Pandang 2 buah transformasi linier T : Vn  Wr
S : Wr  Vn dengan matriks transformasi berturut-turut A dan B v w v = B.w w = A.v Produk transformasi ST (dengan matriks transformasi BA) : (BA) v = B (Av) = B . w = v = I . v , ( I : matriks Identitas) Produk transformasi TS (dengan matriks transformasi AB) : (AB) w = A (Bw) = A . v = w = I . w , ( I : matriks Identitas) T  V n  W r S

19 Dituliskan: S = T ˉ¹ atau T = Sˉ¹ B = Aˉ¹ atau A = B ˉ¹ Contoh:
Bila A dan B matriks-matriks transformasi dari transformasi linier T dan S dimana berlaku BA = AB = I, maka dikatakan S adalah transformasi invers dari T dan sebaliknya T adalah transformasi invers dari S. Dituliskan: S = T ˉ¹ atau T = Sˉ¹ B = Aˉ¹ atau A = B ˉ¹ Contoh: Carilah vektor v jika diketahui vektor w = [-2, 2, 3] adalah peta dari v oleh transformasi T dengan matriks transformasi A = 1 2

20 6. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi : Misalkan Anxn matriks matriks persegi, adalah vektor tak nol di Rn dan λ adalah skalar Rill sehingga memenuhi : maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen dari A .

21 Contoh : A = dan , maka Nilai eigen 5 10 Vektor eigen 10/01/ :09

22 Perhatikan !!! Ingat…. merupakan vektor tak nol Ini Berarti
Persamaan Karakteristik 10/01/ :09

23 Tentukan nilai eigen dari matriks
Contoh : Tentukan nilai eigen dari matriks Persamaan Karakteristik det (A – λI) = 0 10/01/ :09

24 Dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-2
(1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0 (1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0 (1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0 Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu : λ = −1, λ = 1, dan λ = 2. Contoh : Tentukan Nilai eigen dari : 10/01/ :09

25 Nilai eigen dari A diperoleh saat
Jawab : Nilai eigen dari A diperoleh saat   (λ – 2){( λ – 2)2 –1} + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0  (λ – 2){ λ2 – 4 λ + 3} – (λ – 1) – (λ – 1) = 0  (λ – 2){( λ – 3)( λ – 1 )} – 2 (λ – 1) = 0  (λ – 1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0  (λ – 1)( λ2 – 5 λ + 4) = 0  (λ – 1)2( λ – 4) = 0 10/01/ :09

26 Tentukan nilai eigen dan vektor eigen
Contoh : Tentukan nilai eigen dan vektor eigen Persamaan Karakteristiknya adalah      10/01/ :09

27 Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
Untuk Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah vektor tak nol yang berbentuk , dimana t merupakan parameter. 10/01/ :09

28 Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
Untuk Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah vektor tak nol yang berbentuk , dimana t merupakan parameter 10/01/ :09

29 Tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks
Contoh : Tentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks Jawab : Persamaan karakteristik dari matriks A adalah : atau 10/01/ :09

30 Dengan menggunakan ekspansi kofaktor : Pilih Baris I
Sehingga diperoleh nilai eigen 10/01/ :09

31 , dimana t adalah parameter tak nol
Untuk Dengan OBE maka , dimana t adalah parameter tak nol Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah 10/01/ :09

32 , dimana t adalah parameter tak nol
Untuk Dengan OBE maka , dimana t adalah parameter tak nol Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah 10/01/ :09

33 , dimana t adalah parameter tak nol
Untuk Dengan OBE maka , dimana t adalah parameter tak nol Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah 10/01/ :09

34 TERIMA KASIH