IKG2H3/ PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASI

Presentasi berjudul: "IKG2H3/ PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASI"— Transcript presentasi:

1 IKG2H3/ PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN APLIKASI
Author-Tim Dosen KK Pemodelan dan Simulasi Sistem PD Linier Orde 1-Pendahuluan 1/18/2019

2 Suatu sistem linear bisa dituliskan sebagai berikut:
Jika fi(t) = 0, i = 0, 1, …, n maka sistem linear disebut homogen. 1/18/2019

3 Misalkan X(t), A(t), dan F(t) merepresentasikan matriks-matriks:
BENTUK MATRIKS SISTEM LINEAR Misalkan X(t), A(t), dan F(t) merepresentasikan matriks-matriks: 1/18/2019

4 Maka sistem persamaan diferensial orde satu linear
dapat dituliskan sebagai atau secara singkat ditulis Untuk sistem homogen ditulis: …………………………………….(*) 1/18/2019

5 1. Misalkan maka bentuk matriks dari sistem homogen
Contoh: 1. Misalkan maka bentuk matriks dari sistem homogen adalah 1/18/2019

6 2. Misalkan maka bentuk matriks dari sistem nonhomogen
adalah 1/18/2019

7 Vektor solusi dalam interval I adalah suatu matriks kolom
yang entri-entrinya adalah fungsi yang dapat diturunkan dan memenuhi sistem (*) dalam interval tersebut. 1/18/2019

8 Contoh 3. Periksa bahwa pada interval (-∞,∞) dan
adalah solusi dari sistem homogen 1/18/2019

9 Prinsip Superposisi Misalkan X1, X2, …, Xk adalah himpunan vektor solusi dari sistem PD homogen pada interval I. Maka kombinasi linear dimana ci, i = 1,2,…,k sembarang konstanta, juga merupakan solusi dalam interval tersebut. 1/18/2019

10 Contoh 4. Periksa bahwa dan adalah solusi dari sistem
Kemudian berdasarkan prinsip superposisi, kombinasi linear merupakan solusi lain dari sistem. 1/18/2019

11 Bergantung Linear dan Bebas Linear
Misalkan X1, X2, …, Xk adalah himpunan vektor solusi dari sistem PD homogen pada interval I. Kita katakan himpunan tersebut bergantung linear pada interval I jika terdapat c1, c2, …, ck yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga untuk setiap t dalam interval. Jika himpunan tersebut tidak Bergantung linear maka X1, X2, …, Xk disebut bebas linear. 1/18/2019

12 adalah vektor-vektor solusi dari sistem homogen pada interval I.
WRONSKIAN Misalkan adalah vektor-vektor solusi dari sistem homogen pada interval I. Maka himpunan vektor solusi dikatakan bebas linear jika dan hanya jika Wronskian 1/18/2019

13 untuk setiap t dalam interval.
1/18/2019

14 Contoh 5. Berdasarkan contoh sebelumnya bahwa dan adalah solusi dari
Karena maka X1 dan X2 bebas linear. 1/18/2019

15 Solusi Umum Sistem Homogen
Vektor-vektor solusi bebas linear X1, X2, …, Xn dari sistem homogen pada interval I disebut himpunan solusi fundamental. Misalkan X1, X2, …, Xn adalah himpunan solusi fundamental dari sistem homogen pada interval I. Maka solusi umum dari sistem tersebut adalah dimana ci, i = 1,2,…,n sembarang konstanta. 1/18/2019

16 Contoh 6. Kita telah ketahui bahwa dan
adalah vektor-vektor solusi bebas linear dari Jadi, X1 dan X2 membentuk himpunan solusi fundamental. Maka solusi umum dari sistem homogen tersebut adalah 1/18/2019

17 Solusi Umum Sistem Non-homogen
Misalkan Xp adalah solusi khusus dari sistem nonhomogen, kemudian misalkan adalah solusi umum dari sistem homogen. Maka solusi umum dari sistem nonhomogen adalah 1/18/2019

18 Contoh adalah solusi khusus dari sistem nonhomogen
pada interval (-∞,∞) . Solusi umum dari sistem homogen adalah Sehingga adalah solusi umum sistem nonhomogen. 1/18/2019

19 Latihan 1. Tuliskan sistem linear berikut dalam bentuk matriks.
2. Periksa bahwa X adalah solusi dari sistem PD 1/18/2019

20 3. Periksa apakah vektor-vektor berikut membentuk himpunan
solusi fundamental 4. Tunjukkan bahwa adalah solusi khusus dari 1/18/2019

21 1/18/2019