Fungsi Elementer Fungsi Linear Fungsi Bilinear Fungsi Eksponen

Presentasi berjudul: "Fungsi Elementer Fungsi Linear Fungsi Bilinear Fungsi Eksponen"— Transcript presentasi:

1 Fungsi Elementer Fungsi Linear Fungsi Bilinear Fungsi Eksponen
Fungsi trigonometri Fungsi Hiperbolik

2 Fungsi Elementer Fungsi yang berbentuk f(z) = az + b dengan a,b c disebut fungsi linear Fungsi yang berbentuk P (z) = a0 + a1z + … + anzn dengan n bilangan bulat tak negatif dan a0, a1, … , an konstanta kompleks disebut fungsi suku banyak

3 P(z) = az+b dan Q(z) = cz+bd, maka dan disebut fungsi bilinear
Jika P(z) dan Q(z) adalah fungsi suku banyak, maka fungsi yang berbentuk disebut fungsi rasional. P(z) = az+b dan Q(z) = cz+bd, maka dan disebut fungsi bilinear

4 Bentuk bilangan kompleks dalam bentuk kutub
Fungsi Eksponen Bentuk umum f(z) = ez misal z = x + iy maka f(z) = ez = ex+iy = ex . eiy Bentuk bilangan kompleks dalam bentuk kutub eiy = cis y dimisalkan z = x + iy z = atau z =

5 Teorema 2.2.2 Jika z = x+iy, maka dan

6 Contoh Soal.. !!! 1. Sederhanakan 2. Tentukan nilai z hingga memenuhi persamaan ez = 1

7 Penyelesaiannya !!!

8 Fungsi Trigonometri Menurut rumus Euler , diperoleh :
𝒆 𝒊𝒚 =𝐜𝐨𝐬 𝐲+𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝐲...(1) 𝒆 −𝒊𝒚 =𝐜𝐨𝐬 𝐲−𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝐲...(2) Dengan cara menjumlah dan mengurangkan persamaan (1) dan (2), di peroleh : 𝒄𝒐𝒔 𝒚= 𝒆 𝒊𝒚 + 𝒆 −𝒊𝒚 𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝒔𝒊𝒏 𝒚= 𝒆 𝒊𝒚 − 𝒆 −𝒊𝒚 𝟐𝒊 ,𝒚 ∈𝑹 Fungsi Trigonometri

9 Untuk bilangan kompleks
𝒄𝒐𝒔 𝒛= 𝒆 𝒊𝒛 + 𝒆 −𝒊𝒛 𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒛= 𝒆 𝒊𝒛 − 𝒆 −𝒊𝒛 𝟐𝒊 𝒕𝒂𝒏 𝒛= 𝒔𝒊𝒏 𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒛 𝒄𝒐𝒕 𝒛= 𝒄𝒐𝒔 𝒛 𝒔𝒊𝒏 𝒛 𝒔𝒆𝒄 𝒛= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒛 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒛= 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒛 Untuk bilangan kompleks didefinisikan

10 Teorema 2.2.4 Jika 𝒛,𝒘 ∈𝑪, maka berlaku :
𝒔𝒊𝒏 𝒛=𝟎 jika dan hanya jika 𝒛=𝒌𝝅,𝒌∈𝒁 cos 𝒛=𝟎 jika dan hanya jika 𝒛= 𝝅 𝟐 +𝒌𝝅,𝒌∈𝒁 𝒔𝒊𝒏 −𝒛 =−𝐬𝐢𝐧 𝐳 cos −𝒛 =𝐜𝐨𝐬 𝐳 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒛+ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒛=𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒛±𝒘 =𝒔𝒊𝒏 𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒘 ±𝒄𝒐𝒔 𝒛 𝒔𝒊𝒏 𝒘 𝒄𝒐𝒔 𝒛±𝒘 =𝒄𝒐𝒔 𝒛 𝒄𝒐𝒔 𝒘 ∓𝒔𝒊𝒏 𝒛 𝒔𝒊𝒏 𝒘 Teorema 2.2.4

11 𝒔𝒊𝒏 𝒛=𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒚+𝒊 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒚, 𝒛=𝒙+𝒊𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝒛=𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒚 −𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒚, 𝒛=𝒙+𝒊𝒚 𝒔𝒊𝒏 𝒛 𝟐 = 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙+ 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝟐 𝒚,𝒛=𝒙+𝒊𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒛 𝟐 = 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙+ 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝟐 𝒚,𝒛=𝒙+𝒊𝒚

12 Contoh Soal Tentukan z sehingga 𝒔𝒊𝒏 𝒛=𝟏 Penyelesaian : 𝒔𝒊𝒏 𝒛=𝟏
𝒆 𝒊𝒛 − 𝒆 −𝒊𝒛 𝟐𝒊 =𝟏 𝒆 𝒊𝒛 − 𝒆 −𝒊𝒛 =𝟐𝐢 𝒆 𝒊𝒛 𝟐 −𝟐𝐢 𝒆 𝒊𝒛 −𝟏=𝟎 Misalkan 𝒆 𝒊𝒛 =𝐩 , maka menjadi 𝒑 𝟐 −𝟐𝒊𝒑−𝟏=𝟎. akar – akar persamaan tersebut : 𝒑= 𝟐𝒊± 𝟒𝒊 𝟐 +𝟒 𝟐 = 𝟐𝒊± −𝟒+𝟒 𝟐 = 𝟐𝒊±𝟎 𝟐 =𝒊

13 Jadi nilai z yang memenuhi persamaan 𝒔𝒊𝒏 𝒛=𝟏 adalah
Di peroleh : 𝒆 𝒊𝒛 =𝐩 sehingga diperoleh : 𝒆 𝒊 𝒙+𝒊𝒚 =𝐢 𝒆 −𝒚+𝒊𝒙 =𝐢 𝒆 −𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝐱+𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝐱 =𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟏 𝟐 𝛑+𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝟏 𝟐 𝛑 Akibatnya, 𝒆 −𝒚 =𝟏 𝒆 −𝒚 = 𝒆 𝟎 →𝒚=𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒙= 𝟏 𝟐 𝛑+𝟐𝐤𝛑,𝐤∈𝐙 Jadi nilai z yang memenuhi persamaan 𝒔𝒊𝒏 𝒛=𝟏 adalah 𝒛= 𝟏 𝟐 𝛑+𝟐𝐤𝛑= 𝟏 𝟐 +𝟐𝐤 𝝅,𝒌∈𝒁