1 MATEMATIKA n GUGUS n - Pengertian Gugus n - Hubungan Antar Gugus n - Pengolahan Gugus n - Bilangan Kardinal n Penalaran Matematika n Pernyataan dan Lambang.

Presentasi berjudul: "1 MATEMATIKA n GUGUS n - Pengertian Gugus n - Hubungan Antar Gugus n - Pengolahan Gugus n - Bilangan Kardinal n Penalaran Matematika n Pernyataan dan Lambang."— Transcript presentasi:

1 1 MATEMATIKA n GUGUS n - Pengertian Gugus n - Hubungan Antar Gugus n - Pengolahan Gugus n - Bilangan Kardinal n Penalaran Matematika n Pernyataan dan Lambang n Pengolahan thd pernyataan n Jalan Pemikiran Deduksi n Induksi Matematika n Disusun Oleh Hidayat Koto

2 2 I. GUGUS Definisi 1 : Gugus adalah sekumpulan objek, baik abstrak maupun konkrit, yang terdefinisi dengan baik dan jelas. Objek-objek yang membentuk suatu gugus disebut anggota-anggota atau unsur-unsur gugus tersebut. Contoh : “Semua mahasiswa UNIB yang mempunyai IPK › 2,75”. Kalimat ini menyusun suatu gugus, karena dapat dibedakan dengan baik dan jelas mana mahasiswa yang mempunyai IPK › 2,75 dan mana yang tidak. Tetapi “Semua mahasiswa UNIB yang berwajah tampan” tidak memenuhi syarat untuk disebut suatu gugus, karena ungkapan “tampan” bersifat subjektif dan rancu atau tidak jelas. Contoh gugus di atas disebut gugus terhingga, karena anggotanya dapat dihitung banyaknya. Sebaliknya gugus yang anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya meskipun terbilang disebut gugus tak terhingga. Contohnya : “Gugus bilangan cacah”. Definisi 2 : Gugus Semesta adalah gugus yang mencakup semua anggota yang menjadi acuan atau ruang lingkup pembahasan. Lambang Gugus Gugus biasanya dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, ………. Gugus kosong dilambangkan dengan Ø atau { }. Gugus semesta dilambangkan dengan huruf U. Anggota-anggota suatu gugus dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, ……….

3 3 Contoh : a. Gugus huruf-huruf vokal,H = {a, i, u, o, e} b. Gugus bilang asli yang kurang dari 100, A = {1,2,3,…,99} c. Gugus bilangan ganjilG = {1,3,5,…} d. H = {x/x huruf vokal} e. A = {x/x bilangan asli, x < 100} f. G = {x/x = 2n - 1, n bilangan asli} Contoh d,e,f menggunakan cara catatan pembentuk gugus atau metode deskripsi (hanya menyebut sifat anggota gugus atau ciri keanggotaannya). Huruf x disebut “peubah boneka”dan berperan sebagai wakil anggota gugus yang dibicarakan. Definisi 3 : Bilangan Kardinal adalah banyaknya anggota suatu gugus sembarang, X, dan dilambangkan sebagai n(X). Contoh :n(H) = 5 (lihat contoh di atas). Hubungan Antar Gugus Definisi 4 : Anak Gugus adalah gugus yang dibentuk dari dua gugus sembarang A dan B yang anggotanya jika dan hanya jika setiap unsur gugus A juga termasuk unsur gugus B, ditulis A  B. Definisi di atas dapat ditulis lebih ringkas dalam bentuk A  B jika dan hanya jika x  A mengakibatkan x  B. Sifat-sifat anak gugus : a. Gugus kosong adalah anak gugus dari sembarang gugus ( Ø  X). b. Setiap gugus sembarang merupakan anak gugus dari gugus itu sendiri (bersifat memantul). c. Setiap gugus sembarang merupakan anak gugus dari gugus semestanya.

4 4 TEOREMA 1 : Jika A  B dan B  C, maka A  C (A, B, dan C tiga gugus sembarang yang tidak kosong). Definisi 5 : Gugus Kuasa adalah semua anak gugus suatu gugus sembarang A, (dilambangkan dengan 2 A ). Contoh : Jika A = {x/x adalah semua dosen Fak. Pertanian UNIB}dan B= {x/x adalah semua dosen UNIB}maka jelas A  B. Gugus kuasa ini dapat dicatat dalam bentuk 2 A = {X / X  A}. Definisi 6 : Kesamaan Dua Gugus adalah jika dan hanya jika A merupakan anak gugus B dan B merupakan anak gugus A (lambang A=B). Dua gugus yang sama jelas akan mempunyai bil. kardinal yang sama. Tapi sebaliknya dua gugus yang mempunyai bil. kardinal yang sama belum tentu kedua gugus itu sama. Contoh : Jika F = {x / x fakultas di UNIB} dan A = {1, 2, 3, 4, 5,6,7,8 }, maka jelas n(F) = n(A) = 8, walaupun F  A Definisi 7 : Kesetaraan Dua Gugus adalah jika dan hanya jika kedua gugus tersebut mempunyai bil. kardinal yang sama. Definisi 8 : Anak Gugus Sejati adalah jika dan hanya jika A  B dan ada suatu unsur pada gugus B yang tidak termasuk dalam gugus A (dilambangkan A  B).

5 5 Daftar keanggotaan : A B A  B A U A  U                         Pengolahan Gugus Definisi 9 : Irisan Dua Gugus adalah gugus semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B (dilambangkan dengan A  B). Tabel 1.Tabel 2. TEOREMA 2 : 1. Sifat KeidentikanA   =  A  U = A 2. Sifat IdempotenA  A = A 3. Sifat KomutasiA  B = B  A 4. Sifat Asosiasi(A  B)  C = A  (B  C) Definisi 10 : Dua gugus tak kosong A dan B dikatakan terputus jika dan hanya jika A  B = . Definisi 11 : Paduan Dua Gugus adalah gugus semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B atau serentak di kedua gugus tersebut (A dan B gugus sembarang).

6 6 Ringkasan :A  B = {x / x  A atau x  B atau x  A  B}. Daftar keanggotaan : A B A  B A U A  U 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 Tabel 3.Tabel 4. TEOREMA 3 : 1. Sifat KeidentikanA   = A A  U = U 2. Sifat IdempotenA  A = A 3. Sifat KomutasiA  B = B  A 4. Sifat Asosiasi(A  B)  C = A  (B  C) TEOREMA 4 : 1. Sifat distribusi terhadap paduan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 2. Sifat distribusi terhadap irisan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Definisi 12 : Komplemen Gugus (A c ) terhadap gugus semestanya (U) adalah suatu gugus yang anggota-anggotanya merupakan unsur gugus U yang tidak termasuk di gugus A.

7 7 Ringkasan :A c = A’ = {x / x  U dan x  A}. Dari definisi di atas terlihat jelas bahwa A  A c =  dan A  A c = U serta (A c ) c = A. TEOREMA 5 : Teorema De Morgan : 1. (A  B) c = A c  B c 2. (A  B) c = A c  B c atau (hubungan anak gugus), a. (A  B) c  A c  B c b. (A  B) c  A c  B c Dalam hubungan anak gugus terlihat bahwa apabila x  (A  B) c, maka berdasarkan definisi x  (A  B). Jadi x  A dan x  B. Oleh karena itu x  A c serta x  B c. Dengan demikian x  A c  B c. Gambar 1. Diagram Venn : (A  B) c Gambar 2. Diagram Venn : (A  B) c Contoh : Perlihatkanlah A  ( B  A c ) = A  B Jawab : A  ( B  A c ) = (A  B)  (A  A c )(sifat distribusi) = (A  B)   (sifat komplemen) = (A  B) (sifat keidentikan)

8 8 Definisi 13 (Beda Dua Gugus) : Beda gugus A terhadap gugus B (komplemen relatif gugus B terhadap gugus A) adalah sebuah gugus yang anggota-anggotanya merupakan unsur-unsur gugus A, tetapi tidak termasuk di gugus B (ditulis A - B). Ringkasan : A - B = {x / x  A dan x  B} atau A - B = {x / x  A dan x  B c } sehingga dapat dikatakan bahwa A - B = A  B c, sebaliknya B - A = B  A c = {x / x  B dan x  A}. Definisi 14 (Beda Setangkup Dua Gugus) : Beda setangkup gugus A dan gugus B adalah A B = (A - B)  (B - A) = (A  B c )  (B  A c ) Dalam bentuk diagram Venn dapat dilihat gambar di bawah ini. Gambar 3.

9 9 Bilangan Kardinal Gugus Majemuk Cara menghitung bilangan kardinal suatu gugus majemuk tidak selalu berupa penjumlahan dan/atau pengurangn sederhana dari gugus-gugus penyusunnya. Sebagai contoh; misalkan gugus A =  a,i,u,e,o  dan B =  u,a,n,g , maka n(A) = 5 dan n(B) = 4 A  B =  a,i,u,e,o,n,g  dan n(A  B) = 7 Jadi n(A  B)  n(A) + n(B) = 9, dan n(A  B) = n(A) + n(B), jika A  B =  TEOREMA 6 : Untuk dua gugus terhingga sembarang A dan B berlaku n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B). Penjelasan teorema ini dapat ditelaah prinsip paduan dua gugus A dan B yang dapat ditulis sebagai paduan tiga buah gugus yang saling terputus terhadap sesamanya. A  B = (A  B c )  (A  B)  (A c  B) Oleh karena itu n(A  B) = n(A  B c ) + n(A  B) + n(A c  B) = (n(A  B c ) + n(A  B)) + n(A c  B) + (n(A  B) - n(A  B)) = n(A) + (n(A c  B) + n(A  B)) - n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) TEOREMA 7 : n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A  B) - n(A  C) - n(B  C) + n(A  B  C)

10 10 Contoh : Dari pengumpulan data kependudukan di desa Bentiring terda pat tiga macam mata pencaharian utama yaitu, petani, pedagang, dan pegawai. Pengambilan contoh 100 orang penduduk diperoleh data sebagai berikut : 47 orang petani 32 orang pedagang 29 orang pegawai 13 orang petani dan pedagang 18 orang petani dan pegawai 8 orang pedagang dan pegawai 3 orang mempunyai ketiga macam mata pencaharian di atas. Jawablah pertanyaan berikut : a. Berapa banyak penduduk yang tidak bekerja pada salah satu dari ketiga macam mata pencaharian di atas. b. Berapa banyak penduduk yang hanya bekerja sebagai petani. c. Berapa banyak penduduk yang hanya bekerja sebagai pedagang. d. Berapa banyak penduduk yang hanya bekerja sebagai pegawai. e. Berapa banyak penduduk yang hanya bekerja pada satu jenis pekerjaan f. Berapa banyak penduduk yang bekerja lebih dari satu jenis pekerjaan. Jawab : Misalkan U = {x/ x penduduk desa Bentiring} T = {x/ x  U, x bekerja sebagai petani} D = {x/ x  U, x bekerja sebagai pedagang} G = {x/ x  U, x bekerja sebagai pegawai} Dari data diperoleh bahwa n(U) = 100, n(T) = 47, n(D) = 32, n(G) = 29, n(T  D) = 13, n(T  G) = 18, n(D  G) = 8, dan n(T  D  G) = 3. Penyelesaian dapat dilakukan dengan dua cara yaitu : a. Diagram Venn b. Penggunaan Rumus.

11 11 a. Diagram Venn Gambar 4 Gambar 5. Gambar 6.Gambar 7. Dari gambar 4. terlihat bahwa ada 8 gugus yang saling terputus. Pada gambar 5 terlihat bahwa n(T  D  G) = 3, n (D  G) = 8 (lima ditambah tiga) dan n(T  G) = 18 (lima belas ditambah tiga). Sedangkan gambar 6 menunjukkan bahwa n(G) = 29 (lima belas ditambah tiga ditambah lima dan ditambah enam). Cara yang sama digunakakn untuk gugus-gugus yang lainnya sehingga untuk gugus 8 beranggotakan 100 - 72 = 28, yaitu n(T c  D c  G c ) =28 (gambar 7).

12 12 b. Penggunaan Rumus a. Banyaknya penduduk yang tidak bekerja pada salah satu dari ketiga macam mata pencaharian tersebut dapat dihitung dengan : n(U) - n(T  D  G), sementara berdasarkan Teorema, n(T  D  G) = n(T) + n(D) + n(G) - n(T  D) - n(D  G) - n(T  G) + n(T  D  G) = 47 + 32 + 29 - 13 - 8 - 18 + 3 = 72 Jadi ada sebanyak n(U) - n(T  D  G) = 100 - 72 = 28 orang penduduk yang tidak bekerja pada salah satu dari ketiga macam mata pencaharian tersebut. b. Banyaknya penduduk yang hanya bekerja sebagai petani dirumuskan menjadi : n(T  D c  G c ) = n(T) - n(T  D  G c ) - n(T  D  G) - n(T  D c  G). Sementara n(T  D  G c ) = n(T  D) - n(T  D  G) = 13 - 3 = 10 dan n(T  D c  G) = n(T  G) - n(T  D  G) = 18 - 3 = 15 Jadi : n(T  D c  G c ) = 47 - 10 - 3 -15 = 19 c. Banyaknya penduduk yang hanya bekerja sebagai pedagang dirumuskan menjadi : n(T c  D  G c ) = n(D) - n(T  D  G c ) - n(T  D  G) - n(T c  D  G). Sementara n(T c  D  G) = n(D  G) - n(T  D  G) = 8 - 3 = 5 Jadi : n(T c  D  G c ) = 32 - 10 - 3 -5 = 14 d. Banyaknya penduduk yang hanya bekerja sebagai pegawai dirumuskan menjadi : n(T c  D c  G) = n(G) - n(T  D c  G) - n(T  D  G) - n(T c  D  G). Jadi : n(T c  D c  G) = 29 - 15 - 3 - 5 = 6 e. Banyaknya penduduk yang hanya bekerja pada satu jenis pekerjaan dirumuskan sebagai tiga gugus yang terputus satu sama lainnya, yaitu : n(T  D c  G c ) + n(T c  D  G c ) + n(T c  D c  G) = 19+14+6=39 f. Banyaknya penduduk yang bekerja lebih dari satu jenis pekerjaan dapat dirumuskan menjadi : n(T  D  G c ) + n(T  D c  G) + n(T c  D  G) + n(T  D  G) = 10 + 15 + 5 + 3 = 33

13 13 II. PENALARAN MATEMATIKA MATEMATIKA Penalaran Matematika sangat penting dalam setiap proses belajar atau kegi- atan penelitian dan pengkajian suatu masalah. Proses penalaran matematika yang berlandaskan logika deduksi mempunyai peranan dalam penarikan ke- simpulan secara sah. Dalam penalaran matematika terdapat beberapa kata perangkai yang sangat penting untuk dipahami maknanya agar tidak terjadi kekeliruan dalam proses penalaran matematika dan penarikan kesimpulan secara sah. Kata-Kata Perangkai itu adalah: “bukan”,“tidak”, “dan”, “atau”, “jika…, maka…”, dan “…jika dan hanya jika…”. Dan ada pula yang berbentuk rangkaian kata seperti: “untuk semua”, “untuk setiap”, “ada suatu”, “beberapa”, “paling sedikit ada satu”, “ada satu dan hanya satu”; kata-kata ini disebut kuantor. Dalam logika deduksi, sejumlah fakta dikemukakan dalam bentuk asumsi- asumsi atau anggapan-anggapan yang dianggap benar. Untuk memeriksa suatu kesimpulan ditarik secara sah dari asumsi-asumsi yang mendasarinya, disediakan sejumlah kaidah logika yang mengatur permainan fakta-fakta tersebut. Kesahihan penarikan kesimpulan atau proses deduksi bergantung sepenuhnya pada bentuk atau struktur dari proses penalaran untuk mencapai kesimpulan itu, dan sama sekali terlepas dari makna atau isi gagasan yang terkandung dalam kalimatnya (pernyataannya). Jadi penalaran matematika adalah suatu aljabar pernyataan yang mengandung banyak lambang dan pengolahan serta dapat dimanfaatkan untuk mewakili gagasan-gagasan yang berbeda.

14 14 Pernyataan dan Lambang Pernyataan Dalam matematika, pernyataan adalah sebuah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak kedua-duanya (benar dan salah). Jadi sebuah pernyataan merupakan suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran, dan dilambangkan dengan angka 0 (salah) dan angka 1 (benar). Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap pernyataan adalah sebuah kalimat, akan tetapi sebuah kalimat belum tentu merupakan sebuah pernyataan. Contoh : a. Universitas Bengkulu adalah satu-satunya perguruan tinggi terkemuka di Indonesia. b. Kampus UNIB terletak di Kecamatan Muara Bangkahulu. Kedua contoh di atas merupakan pernyataan. Contoh a merupakan pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran 0, sedangkan contoh b merupakan pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran 1. Untuk kalimat yang bukan pernyataan dapat dilihat pada contoh di bawah ini. Contoh : a. Tinggal di Kota Bengkulu sangat menyenangkan. b. x + 6 = z. Pengolahan Terhadap Pernyataan Pernyataan-pernyataan sederhana dapat dirangkaikan dengan menggunakan berbagai macam kata perangkai sehingga menghasilkan sebuah pernyataan baru yang disebut pernyataan majemuk. Beberapa pernyataan majemuk dapat dirangkaikan kembali sehingga menghasilkan pernyataan majemuk lainnya. Proses di atas mirip dengan pembentukan gugus majemuk melalui pengolahan gugus, serta sifat-sifatnya juga menyerupai aljabar gugus.

15 15 Kata Perangkai Dasar yang digunakan dalam logika simbolik ada 5 macam, yaitu : ingkaran (bukan), konjungsi (dan), disjungsi (atau), pernyataan bersyarat (jika…, maka...), dan pernyataan dwisyarat (…jika dan hanya jika…). Definisi 1 (Ingkaran Pernyataan) : Jika p adalah sebuah pernyataan sembarang, maka ingkaran bagi pernyataan p dilambangkan dengan  p dan dibaca bukan p dan bersifat : (1) Jika p benar, maka  p salah. (2) Jika p salah, maka  p benar. Contoh : a. Pernyataan p : hari ini hujan, maka  p : hari ini tidak hujan. b. Pernyataan q : semua mahasiswa tidak jujur, maka  q : ada mahasiswa yang jujur, atau  q : tidak semua mahasiswa tidak jujur, atau  q : adalah tidak benar bahwa semua mahasiswa tidak jujur. Pernyataan q di atas dicatat sebagai  x, q(x); dibaca sebagai untuk semua (untuk setiap) x dan disebut kuantor universal. Ingkarannya ditulis sebagai  x,  q(x) dibaca sebagai ada suatu x dan disebut kuantor eksistensi atau  (  x, q(x)).  (  x, q(x)) bermakna sama dengan  x,  q(x), dan dapat juga dinyatakan  (  x, q(x)) bermakna sama dengan  x,  q(x). Definisi 2 (Konjungsi Dua Pernyataan) : Pernyataan majemuk “ p dan q ” disebut konjungsi p dan q, dan dilambangkan sebagai p  q. Nilai Kebenaran p  q adalah selalu salah, kecuali p dan q serentak benar.

16 16 Daftar Kebenaran p q p  q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Contoh :a. Mahasiswa harapan bangsa dan UNIB kampus reformasi. b. Mahasiswa harapan bangsa tetapi UNIB bukan kampus reformasi Definisi 3 (Disjungsi Dua Pernyataan) : Pernyataan majemuk “ p atau q ” disebut disjungsi p atau q, dan dilambangkan sebagai p  q. Nilai Kebenaran p  q adalah selalu benar, kecuali p dan q serentak salah. Daftar Kebenaran p q p  q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Contoh :a. Mahasiswa belajar di perpustakaan atau uang SPP diturunkan. b. Sapi makan rumput atau kambing memamah biak. c. Mahasiswa UNIB memilih PS Peternakan atau PS TIP. d. Rektor UNIB adalah laki-laki atau perempuan. Pada contoh c dan d terlihat penafsiran yang agak menyimpang dari definisi di atas, karena kedua pernyataan itu jelas maksudnya bahwa hanya salah satu kejadian saja yang mungkin terjadi. Perangkai “atau” pada kondisi ini disebut bersifat menyisih (ekslusif) dan dilambangkan dengan

17 17 Daftar Kebenaran p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Definisi 4 (Dua Pernyataan Setara) : Dua pernyataan pdan q dikatakan setara (logik), dilambangkan dengan p  q, jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk setiap kombinasi nilai kebenaran pernyataan-pernyataan penyusunnya. TEOREMA 1 (Teorema Komplemen) : 1. Ingkaran bagi ingkaran suatu pernyataan setara dengan pernyataan itu sendiri, atau  (  p)  p. 2. Konjungsi suatu pernyataan dengan ingkarannya selalu salah, atau p   p  0. 3. Disjungsi suatu pernyataan dengan ingkarannya selalu benar, atau p   p  1. Pernyataan majemuk yang selalu benar pada semua keadaan nilai kebenaran pernyataan penyusunnya disebut tautologi atau pernyataan yang benar mantik (benar logik). Pernyataan majemuk yang selalu salah pada semua keadaan nilai kebenaran pernyataan penyusunnya disebut kontradiksi diri atau kemustahilan. TEOREMA 2 : Untuk sembarang pernyataan p berlaku 1. Sifat keidentikan p  0  0p  0  p p  1  pp  1  1 2. Sifat idempotenp  p  p p  p  p

18 18 TEOREMA 3 : 1. Untuk dua pernyataan sembarang p dan q berlaku sifat komutasi : p  q  q  p p  q  q  p Untuk tiga pernyataan sembarang p, q, dan r berlaku : 2. Sifat assosiasi : (p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r) 3. Sifat distribusi : p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) TEOREMA 4 (Teorema De Morgan) : 1. Untuk dua pernyataan sembarang p dan q berlaku : 1.  (p  q)   p   q 2.  (p  q)   p   q Pembuktian dengan tabel kebenaran : p q  (p  q)  p   q 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 p q  (p  q)  p   q 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 Contoh : Ayam Broiler banyak diternakkan dan daging Sapi Bali enak dimakan. Ingkarannya: Ayam Broiler tidak banyak diternakkan atau daging Sapi Bali tidak enak dimakan. TEOREMA 5 (Sifat Absorpsi atau Penyerapan) : Untuk dua pernyataan sembarang p dan q berlaku : p  (p  q)  p  (p  q)  p

19 19 Bukti : Cara (1) p  (p  q)  (p  p)  (p  q) (sifat distribusi)  p  (p  q) (sifat idempoten) selain itu berlaku juga : p  (p  q)  (p  0)  (p  q) (sifat keidentikan)  p  (0  q) (sifat distribusi)  p  0 (sifat keidentikan)  p (sifat keidentikan) Cara (2) dengan daftar kebenaran. Contoh : misalkan pernyataan p = ayam betina bertelur q = sapi hewan memamah biak r = itik bernafas dengan insang Tuliskan pernyataan majemuk berikut ini dalam bentuk lambang dan tentukan nilai kebenarannya. a. Ayam betina bertelur, tetapi itik tidak bernafas dengan insang. b. Sapi bukan hewan memamah biak atau itik tidak bernafas dengan insang. c. (Ayam betina tidak bertelur dan itik tidak bernafas dengan insang) atau sapi hewan memamah biak. d. (Itik bernafas dengan insang atau sapi hewan memamah biak), tetapi ayam betina tidak bertelur. Jawab : a. p  (  r) dan n(p  (  r)) = 1 b. (  q)  (  r) dan n((  q)  (  r)) = n(  (q  r)) = 1 c. (  p  (  r))  q dan n(  p  (  r))  q = n(0  q) = n(q) = 1 d. (r  q)  (  p) dan n (r  q)  (  p) = n(1  (  p)) = n(  p) = 0 Definisi 4 (Pernyataan Bersyarat) : Jika p dan q dua pernyataan sembarang, maka pernyataan jika p, maka q disebut pernyataan bersyarat (pernyataan implikasi) dan dilambangkan sebagai p  q. Pernyataan p  q selalu benar, kecuali p benar dan q salah. Contoh : Jika saya rajin mengikuti kuliah, maka saya lulus ujian matematika. “saya rajin mengikuti kuliah” disebut pernyataan penyebab atau anteseden atau hipotesis; sedangkan “saya lulus ujian matematika” disebut akibat atau konsekuen atau kesimpulan.

20 20 Selain itu dapat juga dibaca sebagai berikut : 1. p mengakibatkan q 2. p merupakan syarat cukup bagi q 3. p hanya jika q 4. q merupakan syarat perlu bagi p. Daftar Kebenaran p q p  q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Macam-macam pernyataan bersyarat : konvers kontrapositifinvers konvers p  qq  p  p   q  q   p Daftar Kebenaran p q  p  q  p  q p  q q  p  q   p  p   q 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Dari daftar kebenaran ini dapat ditunjukkan bahwa peranan hipotesis dan kesimpulan tidak dapat saling dipertukarkan karena kedua pernyataan tersebut tidak setara, yang setara adalah : kontrapositif dengan implikasi dan konvers dengan invers