MATEMATIKA TEKNIK II PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER.

Presentasi berjudul: "MATEMATIKA TEKNIK II PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER."— Transcript presentasi:

1 MATEMATIKA TEKNIK II PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

2 Teori PDL PDL Koef. Konstan PDL Koef. Variabel Konsep Penyelesaian PDL

3 Bentuk Persamaan PDL Bentuk persamaan differensial linear ORDE SATU

4 Solusi PDL Dengan Faktor Integral Cara 1 Contoh: Selesaikan:

5 Cara 2 Cara 2 dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integral : Contoh: Selesaikan:

6 Contoh 2 untuk cara 2: Cari penyelesaian untuk persamaan:

7 Persamaan Bernoulli Bentuk PD Bernoulli Dimana n adalah bilangan real dan Bagi pers. dengan y n Subtitusi Sehingga persamaan Bernoulli akan menjadi persamaan differensial linear.

8 Contoh Selesaikan persamaan Bernoulli berikut:

9 PDL Orde n Bentuk Umum PDL Orde n dimana g(x) dan koefisien b j (x), (j=0,1,2, …, n) tergantung hanya pada variable x. Dengan kata lain, persamaan ini tidak tergantung pada y atau pada turunan y. Suatu persamaan differensial yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk ini dinamakan tak linear.

10 Catatan jika, maka PDL orde n disebut homogen atau komplementer atau tereduksi. Tetapi jika tidak, disebut tak homogen atau lengkap. Suatu persamaan differensial memiliki koefisien-koefisien konstan jika seluruh koefisien b j (x) adalah konstanta, jika ada satu atau lebih koefisien tidak konstan, maka memiliki koefisien variable.

11 Teorema 1 Perhatikan soal nilai awal yang diberikan oleh persamaan linear orde n dan n kondisi-kondisi awal.,,, …, Jika g(x) dan b j (x) (j=0,1,2, …, n) adalah kontinyu dalam suatu interval I yang mengandung x 0 dan jika b j (x)≠0 dalam I, maka soal nilai awal yang diberikan oleh PDL orde n dan pers. diatas memiliki solusi unik (hanya satu) yang didefinisikan di seluruh I.

12 Ketika kondisi-kondisi pada b n (x) dalam teorema 1 berlaku, kita dapat membagi PDL Orde n dengan b n (x) untuk memperoleh: Dimana: (j=0,1,2,…,n) dan

13 Operator Differensial Linier Operator Differensial Linier didefinisiakn dengan L(y) dimana a i (x) (i=0,1,2,…,n) adalah kontinyu pada interval yang dinginkan. Maka persamaan PDL orde n dapat ditulis: untuk persamaan differensial homogen linear dapat dituliskan:

14 Solusi Untuk Independen Secara Linear Suatu himpunan fungsi adalah dependen secara linear pada a ≤ x ≤ b jika terdapat konstanta tidak semuanya nol, sehingga: berlaku pada selang a ≤ x ≤ b. Jika tidak demikian, himpunan fungsi itu dikatakan bebas (independen) linear.

15 Teorema 2 Persamaan differensial homogen linear orde n L(y)=0 selalu memiliki n solusi yang independen secara linear jika mewakili solusi-solusi tersebut, maka solusi umum L(y)=0 adalah: dimana c 1, c 2, …, c n melambangkan konstanta- konstanta sembarang.

16 Ketidakbebasan linear dan Determinan Wronskian Suatu himpunan n fungsi dikatakan tak bebas linear pada suatu selang jika ada n konstanta c 1,c 2, …, c n yang tidak semua nol, sehingga kesamaan berlaku pada selang itu. Jika tidk demikian, himpunan fungsi itu dikatakan bebas linear

17 Wronskian Wronskian dari suatu himpunan fungsi pada interval a ≤ x ≤ b, yang memiliki sifat bahwa setiap fungsi memiliki n-1 turunan pada interval ini adalah determinan.

18 Teorema 3 Jika Wronskian di suatu himpunan yang terdiri dari n fungsi yang didefinisikan pada interval a≤x≤b adalah bukan nol untuk paling sedikit satu titik pada interval tersebut, maka himpunan fungsi tersebut adalah independen secara linear. Jika Wronskian-nya secara identik nol pada interval tersebut dan jika setiap fungsi merupakan solusi untuk persamaan differensial linear yang sama, maka himpunan fungsi tersebut dependen secara linear.

19 Perhatian!!! Teorema 3 tidak memberikan definisi untuk kasus ketika Wronskian secara identik nol dan tidak diketahui apakah fungsi-fungsinya merupakan solusi-solusi untuk persamaan differensial yang sama. Dalam kasus demikian, kita harus menguji langsung apakah PDL homogen terpenuhi.

20 Persamaan-persamaan Tak Homogen Anggaplah y p melambangkan suatu solusi tertentu dari L(y)=ф(x) dan anggaplah y h (yang akan kita sebut solusi homogen atau komplementer) mewakili solusi umum untuk persamaan homogeny L(y)=0.

21 Teorema 4 Solusi umum untuk L(y)=ф(x) adalah: y = y h + y p

22 Kesimpulan untuk PD Jika g(x)=0, maka persamaan homogen (komplementer) Jika b2, b1 dan b0 adalah konstanta, maka PD koefisien konstan Jika, maka PD orde kedua dapat dibagi dengan koefisien tersebut, sehingga menjadi: untuk persamaan differensial orde satu menjadi: Persamaan yang terakhir ini identik dengan: dimana: dan