CONT Teorema Pythagoras Apa itu teorema pythagoras (maknanya apa ??)

Presentasi berjudul: "CONT Teorema Pythagoras Apa itu teorema pythagoras (maknanya apa ??)"— Transcript presentasi:

1 CONT Teorema Pythagoras Apa itu teorema pythagoras (maknanya apa ??)

2 Teorema Pythagoras Hukum Pythagoras dalam segitiga siku-siku: c2 = b2 + a2 (kuadrat sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya). Siapa yang bisa membuktikannya ??

3 Mari kita lihat bukti di tingkat SMP
c a Apa persoalannya ??? Perlu tak mencari metoda Pembuktian yang lain

4 Bukti 1. Pythagoras Mulailah dengan 4 segitiga yang sama. Tiga diantaranya putar sebesar 90o, 180o, dan 270o, berturut-turut. Setiap segitiga mempunyai luas ab/2. Susun keempat segitiga tadi sehingga membentuk persegi dengan sisi c. Persegi tersebut mempunyai lubang yang berbentuk persegi dengan sisi (a-b). Jumlahkan luas persegi lubang tadi dengan luas keempat segitiga, diperoleh: c2 = (a-b)2+2ab = a2-2ab+b2+2ab = a2+b2 .

5 Bukti 2. Pythagoras Bukti ini diberikan oleh President J.A. Garfield (USA) in Kata kunci di sini adalah luas trapesium Berapa luas trapesium disamping Luasnya adalah setengah dari jumlah 2 sisi sejajar dikalikan tinggi, yaitu (a+b)/2·(a+b). Dengan melihat sudut pandang lain, luas tersebut dapat dihitung sebagai jumlah dari luas 3 segitiga, yaitu ab/2 + ab/2 + c·c/2. Sehingga diperoleh ( ayo berapa ??? ) a2+b2=c2.

6 L = ½ (a + b).(a + b)

7 Coba yang ini

8 Luas 4 buah segitiga + luar 1 buah persegi di dalam
= Luar persegi yang besar 4.½ a.b + c2 = (a + b)2

9 4.½ a.b + c2 = (a + b)2 c2 = a2 + b2.

10

11 Perhatikan  ABC Dengan menggunakan kesebangunan di SMP, tentukan yang sebangun dan apa yang anda peroleh

12 Teorema Pythagoras Setidaknya terdapat 63 cara membuktikan
Beberapa contoh bukti diillustrasikan di sini. Show 1 Show 2 Show 3 Show 4

13 Triangles - 1

14 Triangles - 2

15 Triangles - 3

16

17

18

19 Tantangan

20 Persamaan Garis  B(x2,y2)  P(x,y)  A(x1,y1)
Untuk membentuk persamaan garis diperlukan minimal dua titik. Garis merupakan tempat kedudukan titik-titik. Jika suatu garis melalui titik A (x1,y1) dan titik B (x2,y2), maka tentunya ada titik P (x,y) yang terletak pada garis tersebut. Secara vektor dituliskan : P-A = k(B-A) P = kB-(k-1)A AP = k AB  B(x2,y2)  P(x,y)  A(x1,y1)

21 Jadi titik P mempunyai koordinat : x = k(x2 – x1) + x1 y = k(y2 – y1) + y1
Apa ini Persamaan garis melalui dua titik

22 sebut Dan Diperoleh y = mx + c Apa anda tau apa persamaan apa itu

23 Mari kita perhatikan kembali persamaan
Apalagi ini, Ya, persamaan umum garis lurus

24

25 Kemiringan suatu garis lurus
P(x,y) k.y P2(x2,y2) y x k.x P1(x1,y1) O Bilangan arah [x, y], [-x, -y], [k.x, ky], Cosines arahnya : u=[l,m], v=[-l,-m], Apa nilai l dan m ????

26 Ayo, l = ? Dan m = ? P2(x2,y2) y x P1(x1,y1) O

27 contoh

28 Persamaan parameter suatu garis lurus
P2(x2,y2) P(x,y) O P1(x1,y1)

29

30 Malas pakai persamaan paramaeter
Ambil sebarang titik P(x,y) pada garis P1P2 P2(x2,y2) P(x,y) P1(x1,y1) O Gradiennya sama, maka Atau

31 Jelaskan ide di atas berdasarkan Konsep kesebangunan
P2(x2,y2) P(x,y) ???? P1(x1,y1) O Ada Ide Lain

32 Sudut andara dua garis lurus
x y O P2(l2,m2 ) P1(l1,m1 ) Dari hukum cosinus berlaku : P1P2|2 = |OP1|2 + |OP2|2 -2|OP1|. |OP2| cos  Ingat |OP1| = |OP2| = 1, sehingga diperoleh

33 |P1P2 |2= – 2 cos  = 2 – 2 cos , Ingat lagi bahwa : |P1P2 |2= (l2-l1)2 + (m2-m1)2, Sehingga diperoleh : 2 cos  = 2 - (l2-l1)2 + (m2-m1)2, = 2 – 2 + 2(l1l2 – m1m2) (dari mana sich) Karena : l12 + m12 = 1 = l22 + m22 Maka : cos  = l1l2 +m1m apa maksudnya ini ?? Cosinus dari sudut antara dua vektor adalah sama dengan jumlah hasil kali skalar dari masing-masing cosinus arah kedua vektor tersebut :

34 Jadi,, jika

35 Persoalan selanjutnya
Bagamana menentukan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik dengan arah yang diketahui y – y1 = m (x – x1), dari mana bok datangnya Silakan coba dari turunkan persamaan garis melalui dua titik Selanjutnya ingat titik potong garis dengan sb x dan sb y,

36 SAMPAI DISINI

37 Sin (+), tanpa didahului oleh cos (+),
Misalkan  BOC =  dan  COD =  Maka  BOD =  +   OCD = 900  OCT =  CDT = 

38

39 SOAL LUAS  A 50 40 C B 60 BERAPA LUAS ABC

40 Ingat T Phytagoras BIMBING PELAJAR MEMBUAT GARIS ATBC A C B T
50 40 X 60-X C B T 402 – X2 = (60 – X)2 (60 – X)2 –X2 = 602 – 2X = 9010 Maka dapat x dan luaspun dapat

41 Ingatkan pelajar T Phytagoras BIMBING PELAJAR MEMBUAT GARIS ATBC A C
50 40 X 60-X C B T 402 – X2 = (60 – X)2 (60 – X)2 –X2 = 602 – 2X = 9010 Maka dapat x dan luaspun dapat

42 - Hitung h, maka luas diperoleh

43 Kalau diteruskan ini juga bisa menghasilkan rumus luas

44 INGAT DISINI KITA TIDAK MENGGUNA KAN ATURAN COSINUS SEHINGGA BISA DIBERI UNTUK ANAK SMP

45 COBA ANDA BANDINGKAN BUKTI DI ATAS DENGAN BUKTI DI BERBAGAI BUKU SMA (SPT BERIKUT)
dengan menggunakan maka diperoleh

46

47

48 Sehingga sekali lagi dengan menggunakan rumus luas segitiga
L = ½ bc sinA BANDINGKAN TINGKAT KESULITANNYA SERTA MATERI PENDUKUNGNYA

49 Berapa panjang r (jari-jari lingkaran dalam)

50 Luas ABC = Luas AIB + Luas BIC + Luas CIA
Jari-jari lingkaran dalam pada segitiga ABC dapat ditentukan dengan rumus berikut Bukti : Pandang Luas ABC = Luas AIB + Luas BIC + Luas CIA Silakan disederhanakan

51 Perhatikan ini S = x + y + z = x + a = y + b = z + c S=(a+b+c)/2

52 Cara lain yang lebih seru
L= r(x+y+z)=r.s

53 tan.tan + tan.tan + tan.tan = 1
Lemma : jika , ,  adalah sebarang sudut sehingga berlaku  +  +  = /2, maka berlaku tan.tan + tan.tan + tan.tan = 1 tan tan Tan.tan sec.tan sec 1   tan(tan+tan)  tan+tan tan.tan + tan.tan + tan.tan = 1

54 L2 = sxyz=s(s-a)(s-b)(s-c)
tan.tan + tan.tan + tan.tan = 1 L2 = sxyz=s(s-a)(s-b)(s-c)

55 Segi empat siklik Karena A + C = 1800, cos A = - cos C sin A = sin C n2 = a2 + b2 - 2ab cosA n2 = c2 + d2 - 2cd cosC 2(ab + cd) cosA = a2 + b2 – c2 – d2 4L = (ab + cd) sin A

56 = (2ab + 2cd + a2 + b2 – c2 – d2)(2ab + 2cd – a2 – b2 + c2 + d2)
4(ab + cd)2 = (a2 + b2 – c2 – d2)2 + 16L2 16L2 = (2ab + 2cd)2 – (a2 + b2 – c2 – d2)2 = (2ab + 2cd + a2 + b2 – c2 – d2)(2ab + 2cd – a2 – b2 + c2 + d2) = ((a + b)2 - (c - d)2).((c + d)2 - (a - b)2) = (a + b + c - d)(a + b - c + d)(c + d + a - b)(c + d - a + b) = (2s - 2d)(2s - 2c)(2s - 2b)(2s - 2a) Kalau d = 0, maka kembali ke Luas segitiga

57

58

59

60

61

62 The Law of Cosines implies that
because both sides equal the square of the length of the diagonal BD. This can be rewritten as

63 Adding this to the above formula for yields
Following the same steps as in Brahmagupta's formula, this can be written as

64 Introducing the semiperimeter
the above becomes

65 Sekarang untuk sebarang segiempat
BD2 = a2 + d2 – 2ad cos A BD2 = b2 + c2 – 2bc cos C a2 + d2 – 2ad cos A = b2 + c2 – 2bc cos C a2 + d2 - b2 - c2 = 2ad cos A – 2bc cos C (*)

66 L ABCD = LABD + LBDC = ½ ad sin A + ½ bc sin C 4L = 2ad sin A + 2 bc sin C

67

68 16L2 = 16(s – a) (s – b) (s – c) ( s – d) – 16 abcd cos2

69 Cara lain Cosine law for triangle ABC Cosine law for triangle ADC note that cos (180° - x) = -cos x Equate the two x2

70

71 Area of ABCD Square both sides of the equation

72 From

73

74 Note that a + b + c + d = P, the perimeter. Thus,
Substitute 1 - cos2 θ to the equation of A2 above

75 Recall that   the semi-perimeter. Thus, Finally,

76 THANK YOU Terima kasih