Oleh : Siti Salamah Ginting, M.Pd. PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS.

Presentasi berjudul: "Oleh : Siti Salamah Ginting, M.Pd. PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS."— Transcript presentasi:

1 Oleh : Siti Salamah Ginting, M.Pd. PROGRAM LINIER METODE SIMPLEKS

2 METODE SIMPLEKS  Sejarah pertama kali dikemukakan oleh George Dantzig pada tahun 1947  Pengertian metode pemecahan persoalan program linear yang begitu kompleks dan luas yang sulit jika diselesaikan dengan metode aljabar (sederhana) dan grafik.

3 Istilah-Istilah dalam Metode Simpleks  Iterasi : tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.  Variabel non basis : variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi.  Variabel basis : variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi.  Solusi atau Nilai Kanan (NK) : nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. choirudiniaimnumetro@gmail.com

4  Variabel Slack : variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala untuk mengkonversi pertidaksamaan ≤ menjadi =  Variabel surplus : variabel yang dikurangkan dari model matematika untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan =  Variabel buatan : variabel yang ditambahkan ke dalam model matematika kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal.  Kolom Pivot (Kolom Kerja) : kolom yang memuat variabel masuk. choirudiniaimnumetro@gmail.com

5  Baris Pivot (Baris Kerja) : salah satu baris dari antara variabel baris yang memuat variabel keluar.  Elemen Pivot (Elemen Kerja) : elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.  Variabel masuk : variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya.  Variabel keluar : variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan dengan variabel masuk. choirudiniaimnumetro@gmail.com

6  Model Umum Metode Simpleks. 1. Kasus Maksimisasi. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – C 1 X 1 -C 2 X 2 -..... –C n X n -0S 1 -0S 2 -...-0S n = NK Fungsi Pembatas : a 11 X 11 +a 12 X 12 +....+a 1n X n + S 1 +0S 2 +...+0S n = b 1 a 21 X 21 +a 22 X 22 +....+a 2n X n + 0S 1 +1S 2 +...+0S n = b 2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … a m1 X m1 +a m2 X m2 +....+a mn X n + S 1 +0S 2 +...+1S n = b m Var. Kegiatan Slack Var

7 Tabel Simpleks : Var. Dasar ZX1X1 X2X2.. XnXn S1S1 S2S2 SnSn NK Z1-C 1 -C 2.. -C n 00000 S1S1 0a 11 a 12...a 1n 1000b1b1 S2S2 0a 21 a 22...a 2n 0100b2b2... SnSn 0a m1 a m2...a mn 0001bmbm

8 2. Kasus Minimisasi Fungsi Tujuan : Minimumkan Z – C 1 X 1 -C 2 X 2 -..... –C n X n -0S 1 -0S 2 -...-0S n = NK Fungsi Pembatas : a 11 X 11 +a 12 X 12 +....+a 1n X n - S 1 -0S 2 -... - 0S n = b 1 a 21 X 21 +a 22 X 22 +....+a 2n X n - 0S 1 -1S 2 -... - 0S n = b 2 ……. …….. ……. ….. ….. …. …..= … a m1 X m1 +a m2 X m2 +....+a mn X n - S 1 - 0S 2 -... -1S n = b m var.kegiatan Surplus var.

9 Tabel Simpleks : Var. Dasar ZX1X1 X2X2.. XnXn S1S1 S2S2 SnSn NK Z1-C 1 -C 2.. -C n 00000 S1S1 0a 11 a 12...a 1n 000b1b1 S2S2 0a 21 a 22...a 2n 000b2b2... SnSn 0a m1 a m2...a mn 000bmbm

10 3. Kasus-kasus Khusus Perubahan tanda ketidaksamaan menjadi persamaan pada fungsi pembatas menyesuaikan dengan tanda ketidaksamaan masing-masing persamaan linearnya.

11  Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 1 :  Merubah fungsi tujuan dan persamaan/pertidaksamaan fungsi tujuan ke persamaan simpleks. Langkah 2 :  Memindah semua nilai koefisien dalam tabel simpleks Langkah 3 :  Menentukan KOLOM KUNCI dengan cara mencari nilai negatif terbesar yang ada di baris tujuan (Z) pada tabel.

12  Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 4 :  Menentukan BARIS KUNCI dengan cara membagi setiap angka pada kolom Nilai Kanan (NK) dengan setiap Angka pada Baris Kunci. Kemudian dari hasil pembagian tersebut dipilih hasil positif yang paling kecil.

13  Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 5 :  Menentukan Angka kunci pada perpotongan antara Kolom kunci dan Baris kunci. Selanjutnya menggunakan angka kunci untuk menentukan baris kunci yang baru, apabila masih menemukan nilai negatif. Langkah 6 :  Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka/nilai negatif di baris tujuan (kecuali nilai kanan). Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya.

14  Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 7:  Jika ternyata masih ada angka negatif pada baris tujuan (Z), langkah selanjutnya adalah menentukan nilai baris kunci yang baru. Nilai Baris kunci yang baru ditentukan dengan cara membagi semua nilai yang ada pada baris kunci yang lama dengan angka kuncinya. Rumusnya adalah :

15  Langkah-langkah Metode Simpleks Langkah 8 :  Mengisi/melengkapi sel lain dalam tabel simpleks yang masih kosong, dengan cara angka atau nilai yang lama dikurangi dengan hasil perkalian antara angka baris baru dengan angka kolom kunci.

16  Kasus Maksimisasi : Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 15X 1 + 10X 2 2. Fungsi Pembatas : 2.1. X 1 + X 2 ≤ 600 2.2. 2X 1 + X 2 ≤ 1000 X 1, X 2 ≥ 0

17 Langkah : 1 Model Simpleks : 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – 15X 1 – 10X 2 – 0S 1 – 0S 2 = 0 2. Fungsi Pembatas : 2.1. X 1 + X 2 + S 1 + 0S 2 = 600 2.2. 2X 1 + X 2 + 0S 1 + 1S 2 = 1000 X 1, X 2, S 1, S 2 ≥ 0

18 Langkah : 2 Tabel Simpleks Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z1-15-10000 S1S1 01110600 S2S2 021011000

19 Langkah : 3 Langkah-langkah penyelesaian : 1. Iterasi Awal (Iterasi-0) Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z1-15-10000 S1S1 01110600 S2S2 021011000

20 2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci : Kolom Kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z1-15-10000 S1S1 01110600 S2S2 021011000 Negatif Terbesar

21 2. Iterasi-1 : a. Menentukan kolom kunci : Kolom Kunci : kolom yang mempunyai koefisien fungsi tujuan yang bernilai negatif terbesar. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z1-15-10000 S1S1 01110600 S2S2 021011000 Kolom Kunci Negatif Terbesar

22 Langkah : 4 b. Menentukan baris kunci : NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : ----------------------------------------- Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif). Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z1-15-10000- S1S1 01110600 S2S2 021011000500

23 Variabe l Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z1-15-10000- S1S1 01110600 S2S2 021011000500 Baris Kunci Langkah : 4 b. Menentukan baris kunci : NK fungsi pembatas - Nilai Indeks : ----------------------------------------- Nilai kolom kunci f-pembatas - Baris kunci : nilai indeks yang terkecil (positif).

24 Langkah : 5 Menentukan Angka Kunci : Angka Kunci ditentukan dari perpotongan antara Kolom Kunci dan Baris Kunci. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z1-15-10000 S1S1 01110600 S2S2 021011000

25 Langkah : 5 Menentukan Angka Kunci : Angka Kunci ditentukan dari perpotongan antara Kolom Kunci dan Baris Kunci. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z1-15-10000 S1S1 01110600 S2S2 021011000 Angka Kunci

26 Langkah : 6 dan 8 d. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z1-15-10000 S1S1 01110600 X1X1 021011000 1 ½ ½ 500 0/2 2/22/2 1/21/2 1/21/2 1000/2

27 Langkah : 6 dan 8 d. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai baris kunci baru = (Nilai baris kunci lama) : n-angka kunci Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z1-15-10000 S1S1 01110600 X1X1 01½0½500

28 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris Z Baris Lama[ 1-15-10000 ] NBKB -15 x[ 01½ 0½ 500 ] – Baris Baru 10-2½ 07½ 7500

29 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris S 1 Baris Lama[ 01110600 ] NBKB 1 x[ 01½ 0½ 500 ] – Baris Baru 00½ 1- ½ 100

30 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z10-2½07½7500 S1S1 00½1- ½100 X1X1 01½0½500

31 Langkah 6 :  Melakukan pengecekan apakah sudah tidak ada lagi angka/nilai negatif di baris tujuan (kecuali nilai kanan). Jika sudah tidak ada maka tabel simpleks telah optimal. Jika masih ada yang negatif, maka tabel belum optimal dan perlu dilanjutkan ke proses selanjutnya. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NK Z10-2½07½7500 S1S1 00½1- ½100 X1X1 01½0½500

32 3. Iterasi-2 : perhatikan apakah koefisien fungsi tujuan pada Tabel simpleks masih ada yang bernilai negatif. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z10-2½07½7500- S1S1 00½1- ½100200 X1X1 01½0½5001000 Angka Kunci

33 - Merubah baris pada angka kunci. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z10-2½07½7500- X2X2 00½1- ½100- X1X1 01½0½500- 1 200 0/½ 0/½0/½ ½/½½/½ 1/½1/½ -½/½-½/½ 100/½ 2

34 - Merubah angka pada baris-baris lainnya. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z10-2½07½7500- X2X2 0012-1200- X1X1 01½0½500-

35 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris Z Baris Lama[ 10-2½ 07½ 7500 ] NBKB -2½ x[ 0012-1 200 ] – Baris Baru 10055 8000

36 C. Perubahan-perubahan nilai baris : - Nilai Baris yang lain = Baris Lama – (Nilai Baris Kunci Baru X Angka Kolom Kunci Baris) Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris (selain baris kunci) sehingga nilai-nilai kolom kunci = 0,dengan mengikuti perhitungan sbb.: Baris X 1 Baris Lama[ 01½ 0½ 500 ] NBKB ½ x[0012-1 200 ] – Baris Baru 010-11 400

37 - Merubah baris pada angka kunci dan baris-baris lainnya. Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 NKIndeks Z110558000- X2X2 0012200- X1X1 0101400-

38 Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian persoalan linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan hasil sbb: X 1 = 400 dan X 2 = 200 dengan Z maksimum = 8000

39 Contoh-2 : Model Program Linear Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 3X 1 +2X 2 Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 ≤ 15 2X 1 + X 2 ≤ 28 X 1 + 2X 2 ≤ 20 X 1, X 2 ≥ 0

40 Model Simpleks Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z– 3X 1 –2X 2 –0S 1 –0S 2 –0S 3 = 0 Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 + S 1 = 15 2X 1 + X 2 + S 2 = 28 X 1 + 2X 2 + S 3 = 20 X 1, X 2 ≥ 0

41 Tabel Simpleks Variabel Dasar ZX1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NK Z1-3-20000 S1S1 01110015 S2S2 02101028 S3S3 01200120

42 (a). Iterasi Awal (Iterasi-0) : Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z-3-20000- S1S1 1110015 S2S2 210102814 S3S3 1200120

43 (b). Iterasi-1 Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z0-½03/2042- S1S1 0½1-½01- X1X1 1½0½014- S3S3 03/20-½16-

44 (c). Iterasi-2 Angka Kunci Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z0-½03/2042- S1S1 0½1-½012 X1X1 1½0½01428 S3S3 03/20-½164

45 Perubahan-perubahan baris kunci dan baris lainnya. Variabel Dasar X1X1 X2X2 S1S1 S2S2 S3S3 NKIndeks Z0011043- X2X2 01202- X1X1 100101313- S3S3 00-3113-

46 Pada iterasi-2 terlihat bahwa koefisien fungsi tujuan sudah tidak ada lagi yang mempunyai nilai negatif, proses perubahan selesai dan ini menunjukkan penyelesaian perhitungan persoalan program linear dengan metode simpleks sudah mencapai optimum dengan rincian sbb : X 1 = 13; X 2 = 2, Z maksimum = 43

47  Tugas Mandiri : 1 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 2X 1 + 3X 2 2. Fungsi Pembatas : X 1 + X 2 ≤ 5 X 1 + 2X 2 ≤ 6 X 1, X 2 ≥ 0

48  Tugas Mandiri : 2 Maksimisasi Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan : Z = 50X 1 + 70X 2 2. Fungsi Pembatas : 4X 1 + 8X 2 ≤ 32 5X 1 + 6X 2 ≤ 30 X 1, X 2 ≥ 0

49 Tugas Mandiri : 3 Maksimumkan Z = 400X 1 + 300X 2 Fungsi kendala/ batasan: 1) 4X 1 + 6X 2 ≤ 1200 2) 4X 1 + 2X 2 ≤ 800 3) X 1 ≤ 250 4) X 2 ≤ 300 5) X 1, X 2 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com

50 Tugas Mandiri : 4 Maksimumkan Z = 2X 1 + 3X 2 + X 3 Dengan fungsi kendala: 1) X 1 + X 2 + X 3 ≤ 9 2) 2X 1 + 3X 2 ≤ 25 3) X 2 + 2X 3 ≤ 10 4) X 1, X 2, X 3 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com

51 Tugas Mandiri : 5 Minimumkan Z = 3X 1 + 2X 2 Fungsi batasan : 1) X 1 + 2X 2 ≥ 20 2) 3X 1 + X 2 ≥ 20 3) X 1 ≥ 0, 4) X 2 ≥ 0 choirudiniaimnumetro@gmail.com