Daftar IsiDisklimer MATEMATIKA Disusun Oleh: Heri Dwi Nugroho.

Presentasi berjudul: "Daftar IsiDisklimer MATEMATIKA Disusun Oleh: Heri Dwi Nugroho."— Transcript presentasi:

1 Daftar IsiDisklimer MATEMATIKA Disusun Oleh: Heri Dwi Nugroho

2 Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran.Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013.Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013. Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja.Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja. Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan.Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan. Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif. Disklaimer

3 Daftar Isi BAB IPola Bilangan BAB IIKoordinat Kartesius BAB IIIRelasi dan Fungsi BAB IVPersamaan Garis Lurus BAB VSistem Persamaan Linear Dua Variabel

4 BAB I Pola Bilangan A.Pola Barisan Konfigurasi ObjekPola Barisan Konfigurasi Objek B.Pola dan Suku-Suku Barisan BilanganPola dan Suku-Suku Barisan Bilangan C.Barisan dan Deret AritmetikaBarisan dan Deret Aritmetika D.Barisan dan Deret GeometriBarisan dan Deret Geometri Kembali ke Daftar Isi

5 A. Pola Konfigurasi Objek 1.Pengertian Pola Barisan BilanganPengertian Pola Barisan Bilangan 2.Barisan Bilangan Khusus dan PolanyaBarisan Bilangan Khusus dan Polanya Kembali ke BAB I

6 1.Pengertian Pola Barisan Bilangan Barisan bilangan dapat diartikan sebagai susunan bilangan yang memiliki keteraturan Contoh: Batang-batang korek api disusun seperti berikut. Banyak batang korek api yang dibutuhkan adalah 3, 5, 7, 9. Banyak batang korek api yang dibutuhkan untuk pola berikutnya dengan menambahkan 2 batang pada pola sebelumnya.

7 2.Barisan Bilangan Khusus dan Polanya a.Barisan Bilangan Asli Barisan bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, · · ·. Barisan asli dapat ditampilkan dengan gambar berikut b.Barisan Bilangan Ganjil Barisan bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, · · ·. Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.

8 c.Barisan Bilangan Genap Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, · · ·. Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut d.Barisan Bilangan Segitiga Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, · · ·. Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.

9 e.Barisan Bilangan Persegi Panjang Salah satu barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, · · ·. Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut. f.Barisan Bilangan Persegi Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, · · ·. Barisan bilangan persegi sering disebut barisan bilangan kuadrat. Barisan ini dapat ditampilkan dengan gambar berikut.

10 g.Barisan Bilangan pada Segitiga Pascal Beberapa sifat barisan bilangan pada segitiga Pascal sebagai berikut. 1)Pada setiap baris diawali dan diakhiri dengan bilangan 1. 2)Setiap bilangan diperoleh dengan menjumlah dua bilangan di atasnya kecuali bilangan pada baris pertama dan kedua. 3)Bilangan-bilangan dalam satu diagonal membentuk suatu barisan, misalkan: diagonal pertama : 1, 1, 1, 1, 1, · · · (barisan bilangan konstan) diagonal kedua : 1, 2, 3, 4, · · · (barisan bilangan asli) diagonal ketiga : 1, 3, 6, 10, · · · (barisan bilangan segitiga)

11 CONTOH SOAL Perhatikan pola berikut ini. Berapa banyaknya persegi pada pola ke-7 dan ke-12? Jawaban: Banyaknya persegi pada pola ke-1 = 5 = 5 + 0 = 5 + 3 × 0 pola ke-2 = 8 = 5 + 3 = 5 + 3 × 1 pola ke-3 = 11 = 5 + 6 = 5 + 3 × 2 Dari pola di atas maka: pola ke-7 = 5 + (3 × 6) = 23 pola ke-12 = 5 + (3 × 11) = 38 Jadi, banyaknya persegi pada pola ke-7 dan ke-12 adalah 23 dan 38.

12 B. Pola dan Suku-Suku Barisan Bilang 1.Pengertian Barisan BilanganPengertian Barisan Bilangan 2.Beberapa Contoh Aturan Barisan BilanganBeberapa Contoh Aturan Barisan Bilangan 3.Menemukan Rumus Suku Ke-n (Un)Menemukan Rumus Suku Ke-n (Un) Kembali ke BAB I

13 1.Pengertian Barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut. a. 1, 3, 5, 7 b. 2, 4, 6, 8, 10 c. 3, 6, 9, 12, 15,... Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada a, b, dan c disusun dengan pola tertentu. Bilanganbilangan tersebut disebut barisan bilangan. Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan. Suku ke-n suatu barisan bilangan ditulis dengan U n. Pada barisan bilangan: 1, 3, 5, 7 diperoleh: Suku ke-1 = U 1 = 1 Suku ke-2 = U 2 = 3 Suku ke-3 = U 3 = 5 Suku ke-4 = U 4 = 7 Jadi, barisan bilangan 1, 3, 5, 7 memiliki 4 suku.

14 2.Beberapa Contoh Aturan Barisan Bilangan a.Barisan dengan Aturan Ditambah 1) Barisan Bertingkat Satu Barisan bilangan 1, 3, 5, 7, · · · merupakan barisan bertingkat satu. 2) Barisan Bertingkat Dua Barisan bilangan 0, 1, 3, 6, · · · merupakan barisan bertingkat dua. 3) Barisan Bertingkat Tiga Barisan bilangan 0, 1, 3, 8, 18, 35, · · · merupakan barisan bertingkat tiga.

15 b.Barisan dengan Aturan Dikali d.Barisan fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Aturannya: mulai suku ketiga, setiap suku diperoleh dengan menjumlahkan dua suku sebelumnya. c.Barisan dengan Aturan Dipangkatkan

16 3.Menemukan Rumus Suku Ke-n (U n ) Prinsip dasar menentukan rumus suku ke-n adalah mencari kaitan antara bilangan satu dengan suku kesatu, bilangan dua dengan suku kedua, bilangan tiga dengan suku ketiga, dan seterusnya. Contoh: Barisan bilangan 2, 4, 8, 16, · · · U 1 = 2 = 2 1 U 2 = 4 = 2 2 U 3 = 8 = 2 3 U 4 = 16 = 2 4, dan seterusnya Diperoleh rumus suku ke-n adalah U n = 2 n.

17 C. Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika 2. Deret Aritmetika Kembali ke BAB I

18 1. Barisan Aritmetika a. Pengertian Barisan Aritmetika Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih antara dua suku barisan yang berurutan nilainya selalu tetap atau sama b. Rumus-Rumus pada Barisan Aritmetika 1)Rumus Suku Ke-n (U n ) U n = a + (n – 1)b 2)Beda (b) b = U n – (U n – 1 ) 3)Rumus Suku Tengah (U t ) c. Jenis-Jenis Barisan Aritmetika 1) Barisan Aritmetika Naik 2) Barisan Aritmetika Turun

19 Deret aritmetika adalah nilai yang diperoleh dari penjumlahan suku-suku barisan bilangan aritmetika. Jika U 1, U 2, U 3, · · ·, U n – 1, U n membentuk barisan aritmetika, bentuk penjumlahan U 1 + U 2 + U 3 + · · · + U n – 1 + U n disebut deret aritmetika. 2. Deret Aritmetika Rumus penjumlahan n suku pertama deret aritmetika dapat dituliskan sebagai berikut. Dengan : S n = jumlah n suku pertama n = banyak suku a = suku pertama b = beda suku U n = suku terakhir

20 Contoh Soal Setiap Minggu Dina menyimpan uang di laci. Pada minggu pertama Dina menyimpan Rp500,00, minggu kedua Rp700,00, minggu ketiga Rp900,00, minggu keempat Rp1.100,00, begitu seterusnya setiap minggu bertambah Rp200,00. a.Tentukan besar uang yang disimpan Dina pada minggu ke-20. b.Tentukan jumlah uang yang disimpan Dina setelah 36 minggu.

21 D. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri 2. Deret Geometri Kembali ke BAB I

22 1. Barisan Geometri a. Pengertian Barisan Geometri Barisan geometri adalah barisan bilangan yang perbandingan setiap dua suku barisan yang berurutan nilainya selalu tetap atau sama. b. Rumus-Rumus pada Barisan Aritmetika 1)Rumus Suku Ke-n (U n ) U n = ar n – 1 2)Rasio (r) 3)Rumus Suku Tengah (U t )

23 Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku barisan geometri. Jika U 1, U 2, U 3, · · ·, U n – 1, U n membentuk barisan geometri, bentuk penjumlahan U 1 + U 2 + U 3 + · · · + U n – 1 + U n disebut deret geometri. 2. Deret Geometri Rumus penjumlahan n suku pertama deret geometri dapat dituliskan sebagai berikut. Dengan : S n = jumlah n suku pertama n = banyak suku a = suku pertama b = beda suku

24 Contoh Soal 1.Tentukan suku ke-8 dari setiap barisan geometri berikut. a.1, 3, 9, 27, · · · b.3, –6, 12, –24, · · · 2.Berdasarkan pengamatan diketahui bahwa setiap bakteri berkembang biak menjadi dua kali lipat dalam waktu dua menit. Semula ada 50 sel bakteri untuk pengamatan. a.Berapa banyak bakteri setelah 10 menit? b.Setelah berapa menit jumlah bakteri menjadi 25.600 sel?

25 BAB II Koordinat Kartesius A.Letak Benda pada Koordinat KartesiusLetak Benda pada Koordinat Kartesius B.Posisi Relatif Benda Menggunakan Koordinat KartesiusPosisi Relatif Benda Menggunakan Koordinat Kartesius Kembali ke Daftar Isi

26 A.Letak Benda pada Koordinat Kartesius Kembali ke BAB II 1.Jarak Tempat/Benda terhadap Garis SumbuJarak Tempat/Benda terhadap Garis Sumbu 2.Membaca Letak Benda Menggunakan Sistem KoordinatMembaca Letak Benda Menggunakan Sistem Koordinat 3.Membaca dan Menuliskan Letak Titik/Benda pada Sistem Koordinat KartesiusMembaca dan Menuliskan Letak Titik/Benda pada Sistem Koordinat Kartesius

27 1.Jarak Tempat/Benda terhadap Garis Sumbu Perhatikan gambar di samping. Jarak antara titik/benda dari garis sumbu dapat kamu hitung seperti gambar di samping. a.Pasar berjarak 2 satuan terhadap jalan X dan berjarak 4 satuan terhadap jalan Y. b.Rumah belajar berjarak 6 satuan terhadap jalan X dan berjarak 6 satuan terhadap jalan Y. c.SMPN 1 berjarak 3 satuan terhadap jalan X dan berjarak 5 satuan terhadap jalan Y.

28 2. Membaca Letak Benda Menggunakan Sistem Koordinat Perhatikan gambar di samping. Letak tempat-tempat pelayanan tersebut dapat ditunjukkan dengan sistem koordinat secara sederhana. Sumbu mendatar diberi kode huruf abjad dan sumbu tegak diberi kode bilangan. Letak tempat-tempat layanan tersebut dapat ditulis sebagai berikut. Hotel terletak pada koordinat (C, 5). Bank terletak pada koordinat (F, 5). Pasar terletak pada koordinat (F, 10). Kantor Pos terletak pada koordinat (J, 3). Sekolah terletak pada koordinat (J, 9).

29 3. Membaca dan Menuliskan Letak Titik/Benda pada Sistem Koordinat Kartesius Cara membaca letak titik pada sistem koordinat kartesius sebagai berikut. a.Gunakan titik acuan (0, 0) untuk menentukan titik A(x, y). b.x menunjukkan banyak langkah/satuan untuk arah mendatar (arah ke kanan bernilai positif, arah ke kiri bernilai negatif). c.y menunjukkan banyak langkah/satuan untuk arah tegak (arah ke atas bernilai positif, arah ke bawah bernilai negatif). Misalnya menentukan koordinat titik A. Perhatikan gambar di atas. Dari titik (0, 0) melangkah 5 satuan ke kanan (x = 5), dilanjutkan ke atas 2 satuan (y = 2). Jadi, koordinat titik A(5, 2).

30 Contoh Soal Jajargenjang ABCD terletak pada bidang koordinat dengan koordinat titik A(–2, –4), B(6, –4), dan C(9, 2). Tentukan: a. koordinat titik D dengan bantuan gambar; b. panjang AB; c. tinggi jajargenjang; dan d. luas jajargenjang.

31 B.Posisi Relatif Benda Menggunakan Koordinat Kartesius Keterangan Gambar

32 Contoh Soal Perhatikan gambar berikut. Dengan sistem koordinat kartesius, tentukan koordinat tempat-tempat di pada gambar di samping dengan titik acuan yang diberikan. a.Posisi kampus dan stasiun dengan titik acuan balai kota. b.Posisi toko buku dan apotek dengan titik acuan stasiun. c.Posisi toko buku dan stasiun dengan titik acuan kampus Kembali ke BAB II

33 BAB III Relasi dan Fungsi A.Relasi dan FungsiRelasi dan Fungsi B.Rumus Fungsi, Nilai Fungsi, dan Grafik FungsiRumus Fungsi, Nilai Fungsi, dan Grafik Fungsi Kembali ke Daftar Isi

34 A.Relasi dan Fungsi 1.RelasiRelasi 2.FungsiFungsi Kembali ke BAB III

35 1.Relasi Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu hubungan (pengaitan) yang memasangkan (mengawankan) anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. a.Pengertian Relasi b.Menyajikan Relasi 1)Relasi Berbentuk Tabel 2)Relasi Berbentuk Diagram Panah 3)Relasi Berbentuk Himpunan Pasangan Berurutan 4)Relasi pada Bidang Koordinat Kartesius

36 a.Pengertian Fungsi Fungsi disebut juga pemetaan. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Notasi Fungsi: f : x  y atau f : x  f(x) atau f : x  y = f(x) Tepat satu artinya tidak boleh lebih dan tidak boleh kurang dari satu. Syarat suatu relasi merupakan fungsi atau pemetaan sebagai berikut. 1) Setiap anggota A mempunyai pasangan di B. 2) Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. 2. Fungsi

37 b. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi f memetakan anggota himpunan A ke anggota himpunan B. A = {1, 2, 3, 4} disebut daerah asal (domain). B = {3, 5, 7, 9, 11} disebut daerah kawan (kodomain). Dari diagram panah di samping diperoleh himpunan pasangan berurutan f = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}. (1, 3) dibaca bayangan 1 oleh fungsi f adalah 3. (1, 3) juga dapat dituliskan dengan f(1) = 3 dibaca nilai dari f(1) adalah 3. Himpunan dari anggota kodomain yang mempunyai pasangan dengan anggota domain dinamakan daerah hasil (range). Dengan demikian, range fungsi = {3, 5, 7, 9}.

38 c. Banyak Fungsi yang Mungkin dari Dua Relasi Jika banyak anggota himpunan A = n(A) dan banyak anggota himpunan B = n(B) maka: 1) banyak fungsi yang mungkin dari A ke B = n(B) n(A) dan 2) banyak fungsi yang mungkin dari B ke A = n(A) n(B).

39 d. Fungsi Korespondensi Satu-Satu Suatu fungsi dikatakan korespondensi satu-satu jika setiap anggota domain dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain dan sebaliknya setiap anggota kodomain dipasangkan dengan tepat satu anggota domain. Jika terdapat himpunan A dan B dengan n(A) = n(B) = n, banyak korespondensi satu-satu yang mungkin dari himpunan A ke himpunan B adalah n × (n – 1) × (n – 2) × (n – 3) ×... × 3 × 2 × 1.

40 B.Rumus Fungsi, Nilai Fungsi, dan Grafik Fungsi 1.Rumus Fungsi dan Nilai FungsiRumus Fungsi dan Nilai Fungsi 2.Grafik Fungsi pada Bidang Koordinat KartesiusGrafik Fungsi pada Bidang Koordinat Kartesius Kembali ke BAB III

41 1.Rumus Fungsi dan Nilai Fungsi Fungsi f : x  y = f(x) dari himpunan A ke himpunan B jika digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti gambar di bawah. y merupakan peta atau bayangan x atau nilai fungsi dari x, ditulis y = f(x). x merupakan prapeta dari f(x) atau x merupakan prapeta dari y. Dalam bentuk pasangan berurutan, f : x  y = f(x) dituliskan sebagai (x, y) atau (x, f(x)). Himpunan dari nilai y = f(x) disebut daerah hasil atau range f.

42 Contoh Menentukan Nilai Fungsi Suatu fungsi f : x  3x + 5 dapat dinyatakan dengan rumus fungsi f(x) = 3x + 5. Berdasarkan rumus fungsi ini, dapat ditentukan nilai fungsi untuk setiap nilai x pada domain {x | –2 ≤ x ≤ 1, x  bilangan bulat} sebagai berikut. Nilai fungsi untuk x = –2 adalah f(–2) = 3 × (–2) + 5 = –6 + 5 = –1 Nilai fungsi untuk x = –1 adalah f(–1) = 3 × (–1) + 5 = –3 + 5 = 2 Nilai fungsi untuk x = 0 adalah f(0) = 3 × 0 + 5 = 0 + 5 = 5 Nilai fungsi untuk x = 1 adalah f(1) = 3 × 1 + 5 = 3 + 5 = 8 Himpunan pasangan berurutan f : x  3x + 5 pada domain {x | –2 ≤ x ≤ 1, x  bilangan bulat} adalah {(–2, –1), (–1, 2), (0, 5), (1, 8)}. Range f = {–1, 2, 5, 8}. Prapeta dari –1 adalah f –1 (–1) = –2. Prapeta dari 2 adalah f –1 (2) = –1. Prapeta dari 5 adalah f –1 (5) = 0. Prapeta dari 8 adalah f –1 (8) = 1

43 2. Grafik Fungsi pada Bidang Koordinat Kartesius a.Grafik Fungsi KonstanGrafik Fungsi Konstan b.Grafik Fungsi IdentitasGrafik Fungsi Identitas c.Grafik Fungsi LinearGrafik Fungsi Linear d.Grafik Fungsi KuadratGrafik Fungsi Kuadrat

44 a.Grafik Fungsi Konstan Fungsi konstan dinyatakan dengan rumus f(x) = c, c  bilangan real. Grafik fungsi f(x) = 3 pada domain {x | –3 ≤ x ≤ 3} dapat digambar sebagai berikut. Tabel fungsi f(x) = 3.

45 b. Grafik Fungsi Identitas Fungsi identitas dinyatakan dengan rumus f(x) = x. Grafik fungsi f(x) = x dengan {x | –4 < x ≤ 3} dapat digambar sebagai berikut. Tabel fungsi f(x) = x.

46 c. Grafik Fungsi Linear Fungsi linear dinyatakan dengan rumus f(x) = ax + b dengan a ≠ 0 dan a, b,  bilangan real.

47 d. Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat dinyatakan dengan rumus f(x) = ax 2 + bx + c dengan a ≠ 0 dan a, b,  bilangan real.

48 Kembali ke Daftar Isi BAB IV Persamaan Garis Lurus A.Grafik Garis Lurus B.Gradien Garis Lurus C. Persamaan Garis Lurus D.Kedudukan Dua Garis Lurus

49 Kembali ke BAB IV A. Grafik Garis Lurus 1.Persamaan Garis LurusPersamaan Garis Lurus 2.Syarat Titik Terletak pada GarisSyarat Titik Terletak pada Garis 3.Menggambar Grafik Garis LurusMenggambar Grafik Garis Lurus

50 1.Persamaan Garis Lurus Bentuk umum persamaan garis lurus dalam variabel x dan y sebagai berikut. y = mx + n Ax + by = c atau Contoh: y = –2x + 4 dan 4x + 2y = 8 merupakan persamaan garis lurus. Perhatikan cara mengubah persamaan garis lurus menjadi bentuk lain yang ekuivalen berikut.

51 2. Syarat Titik Terletak pada Garis Sebuah titik terletak pada suatu garis jika nilai absis dan ordinat titik tersebut memenuhi persamaan garisnya. Titik (x 1, y 1 ) terletak pada garis y = mx + n jika y 1 = mx 1 + n bernilai benar. Contoh: Titik (1, 4) terletak pada garis y = –2x + 6 karena 4 = –2(1) + 6 ⇔ 4 = 4 bernilai benar. Titik (2, 2) terletak pada garis y = –2x + 6 karena 2 = –2(2) + 6 ⇔ 2 = 2 bernilai benar. Titik (3, 5) tidak terletak pada garis y = –2x + 6 karena 5 = –2(3) + 6 ⇔ 5 = 0 bernilai salah.

52 Langkah-langkahnya sebagai berikut. 1)Menentukan beberapa titik bantu yang terletak pada garis lurus. 2)Menggambar titik-titik bantu tersebut pada bidang koordinat kartesius. 3)Menghubungkan titik-titik bantu pada bidang koordinat kartesius dengan garis lurus. a. Menggambar Grafik Garis Lurus Menggunakan Beberapa Titik Bantu Contoh Soal. Diketahui titik A(0, 15), B(5, 25), C(10, 35), dan D(30, 75). 1. Gambarlah garis yang melalui titik A dan B. 2. Gambarlah garis yang melalui titik A dan C. 3. Gambarlah garis yang melalui titik A dan D. 4. Gambarlah garis yang melalui titik B dan C. Apakah keempat grafik garis tersebut merupakan grafik garis yang sama? Selidikilah! 3. Menggambar Grafik Garis Lurus

53 b.Menggambar Grafik Garis Lurus Menggunakan Pertolongan Titik Perpotongan Garis dengan Sumbu Koordinat Langkah-langkahnya sebagai berikut. 1)Menentukan titik potong garis dengan sumbu X. Garis memotong sumbu X di y = 0. Substitusikan y = 0 ke dalam persamaan garis untuk menentukan titik potong garis dengan sumbu X. 2)Menentukan titik potong garis dengan sumbu Y. Garis memotong sumbu Y di x = 0. Substitusikan x = 0 ke dalam persamaan garis untuk menentukan titik potong garis dengan sumbu Y. 3)Menggambar titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y tersebut pada bidang koordinat kartesius. 4)Menghubungkan kedua titik potong dengan garis lurus. 5)Menuliskan persamaan garisnya pada salah satu ujung garis.

54 B. Gradien Garis Lurus 1.Gradien GarisGradien Garis 2.Menentukan Gradien GarisMenentukan Gradien Garis 3.Sifat-Sifat Gradien Suatu GarisSifat-Sifat Gradien Suatu Garis Kembali ke BAB IV

55 1.Gradien Garis Gradien garis adalah nilai kemiringan atau kecondongan suatu garis. Gradien biasanya dilambangkan dengan huruf m.

56 2. Menentukan Gradien Garis Langkah-langkah menentukan gradien garis yang diketahui grafiknya. Misalkan diketahui grafik garis g. 1)Menentukan dua titik sembarang pada grafik garis g. 2)Membuat garis lurus putus-putus mendatar dari kiri ke kanan dimulai dari titik yang terletak di sebelah kiri. Misalkan garis putus-putus tersebut garis a. 3)Dari garis a, membuat garis yang tegak lurus dengan garis a dan memotong titik yang terletak di sebelah kanan. Misalkan garis putus-putus tersebut garis b. 4)Garis g, garis a, dan garis b membentuk segitiga dengan: panjang sisi mendatar segitiga = perubahan nilai x dan panjang sisi tegak segitiga = perubahan nilai y. 5)Menentukan gradien garis tersebut menggunakan rumus berikut. a. Menentukan Gradien Garis jika Diketahui Grafiknya

57 b. Menentukan Gradien Garis Jika Diketahui Persamaannya 1) Gradien garis dengan persamaan y = mx + n Gradien garis dengan persamaan y = mx + n adalah m. 2) Gradien garis dengan persamaan ax + by = c Persamaan garis ax + by = c dapat diubah menjadi bentuk y = mx + n.

58 c. Menentukan Gradien Garis Jika Diketahui Dua Titik yang Dilalui

59 3. Sifat-Sifat Gradien Suatu Garis

60 C. Persamaan Garis Lurus 1.Persamaan Garis yang Diketahui Gradien dan Salah Satu Titik yang Dilalui GarisPersamaan Garis yang Diketahui Gradien dan Salah Satu Titik yang Dilalui Garis 2.Persamaan Garis yang Melalui Dua TitikPersamaan Garis yang Melalui Dua Titik Kembali ke BAB IV

61 1.Persamaan Garis yang Diketahui Gradien dan Salah Satu Titik yang Dilalui Garis a. Persamaan Garis yang Bergradien m dan Memotong Sumbu Y di (0, n) b. Persamaan Garis yang Bergradien m dan Melalui Titik (x 1, y 1 )

62 2. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

63 CONTOH SOAL 1.Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, –3) dan bergradien: a. 5 b. 2.Tentukan persamaan garis yang melalui titik (–4, 7) dan titik (10, –1).

64 D. Kedudukan Dua Garis Lurus 1. Dua Garis Sejajar 2. Dua Garis Berimpit 3. Dua Garis Berpotongan Kembali ke BAB IV

65 1. Dua Garis Sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika jarak kedua garis tersebut selalu sama atau kedua garis tersebut tidak pernah berpotongan. Dua garis yang sejajar mempunyai gradien sama.

66 2. Dua Garis Berimpit Dua garis dikatakan berimpit jika semua titik-titik yang dilalui kedua garis tersebut berimpit. Dengan kata lain, kedua garis tersebut merupakan garis yang sama. Dua garis berimpit mempunyai persamaan garis yang ekuivalen. Pada gambar di samping garis a berimpit dengan garis b.

67 3. Dua Garis Berpotongan a.Kedudukan Dua Garis Berpotongan 1) Dua Garis Berpotongan Tegak Lurus 2) Dua Garis Berpotongan Tidak Tegak Lurus b.Titik Potong Dua Garis Berpotongan Titik potong dua garis berpotongan dapat ditentukan dengan cara menggambar kedua garis dalam satu bidang koordinat kartesius. Titik potong dua garis berpotongan berupa sebuah titik yang dilalui oleh grafik kedua garis tersebut.

68 CONTOH SOAL 1.Diketahui persamaan garis g adalah y = 3x – 10. Garis l sejajar dengan garis g sedangkan garis k tegak lurus dengan garis g. Tentukan gradien garis l dan garis k. 2.Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = –2x – 5 dan melalui titik (3, 4). 3. Apakah garis dengan persamaan y = –3x + 14 akan berpotongan dengan garis –4y + 3x – 4 = 0? Jika berpotongan, tentukan titik potongnya.

69 BAB V SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL A.Mengenal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)Mengenal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) B.Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua VariabelMenyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel C.Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua VariabelMenyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Kembali ke Daftar Isi

70 A.Mengenal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) 1.Persamaan LinearPersamaan Linear 2.Sistem Persamaan Linear Dua VariabelSistem Persamaan Linear Dua Variabel Kembali ke BAB V

71 1. Persamaan Linear Persamaan linear adalah persamaan yang mengandung variabel dengan syarat setiap variabel tersebut berpangkat satu. a.Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) Persamaan linear satu variabel adalah persamaan linear yang hanya mempunyai satu variabel. Contoh: y + 4 = 12  Variabelnya satu, yaitu y b.Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) Persamaan linear dua variabel adalah persamaan linear yang mempunyai dua variabel. Contoh: y + 4x = 12  Variabelnya dua, yaitu x dan y c.Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear dua variabe

72 2.Sistem Persamaan Linear Dua Variabel b.Penyelesaian dan Bukan Penyelesaian SPLDV Nilai pengganti yang memenuhi SPLDV sehingga persamaan bernilai benar disebut penyelesaian atau akar. Sebaliknya, nilai pengganti yang tidak memenuhi SPLDV sehingga persamaan bernilai salah disebut bukan penyelesaian atau bukan akar c.Perbedaan Antara PLDV dengan SPLDV PLDV hanya terdiri atas satu persamaan. Penyelesaiannya merupakan nilai pengganti dari variabel-variabel yang memenuhi persamaan tersebut. SPLDV terdiri atas dua persamaan. Penyelesaian SPLDV merupakan nilai pengganti dari variabel-variabel yang memenuhi kedua persamaan tersebut a.Variabel dan Koefisien PLDV Pada persamaan 3x – 4y = 23, bilangan 3 disebut koefisien dari x, bilangan –4 disebut koefisien dari y, bilangan 23 disebut konstanta, sedangkan x dan y disebut variabel.

73 B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 1.Metode SubstitusiMetode Substitusi 2.Metode Eliminasi (Penghilangan)Metode Eliminasi (Penghilangan) 3.Metode GrafikMetode Grafik Kembali ke BAB V

74 1. Metode Substitusi 2x – 3y = –10  2(2 – 2y) – 3y = –10  4 – 4y – 3y = –10  4 – 7y = –10  –7y = –14  y = 2 Substitusikan y = 2 ke dalam persamaan (3). x = 2 – 2y  x = 2 – 2(2)  x = –2 Jadi, penyelesaiannya x = –2 dan y = 2. Contoh: Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan metode substitusi. 2x – 3y = –10... (1) x + 2y = 2... (2) Jawaban: Cara 1: mensubstitusikan x Nyatakan variabel x dalam y pada persamaan (2). x + 2y = 2  x = 2 – 2y... (3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1). Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara berikut. a.Ambil satu variabel pada salah satu persamaan. Selanjutnya, nyatakan variabel tersebut dalam variabel lain. Dengan begitu akan diperoleh persamaan dalam bentuk baru. b.Substitusikan persamaan baru tersebut ke persamaan yang lain kemudian persamaan tersebut diselesaikan.

75 2.Metode Eliminasi (Penghilangan) Penyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya. Contoh: Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan metode eliminasi. 2x – 3y = –10... (1) x + 2y = 2... (2) Jawaban: Jadi, penyelesaiannya adalah x = –2 dan y = 2.

76 3.Metode Grafik Penyelesaian SPLDV menggunakan metode grafik dilakukan dengan menggambar grafik dari kedua persamaan yang diketahui pada satu bidang kartesius. Koordinat titik potong kedua grafik merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut. Contoh: Tentukan penyelesaian SPLDV berikut menggunakan metode grafik. 2x – 3y = –10... (1) x + 2y = 2... (2) Jawaban: Menggambar garis 2x – 3y = – 10. Menggambar garis x + 2y = 2. Kedua garis tersebut digambar dalam satu bidang kartesius berikut. Tampak bahwa kedua garis tersebut berpotongan di titik (–2, 2). Jadi, penyelesaiannya (–2, 2).

77 C.Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Untuk menyelesaikan masalah sehari-hari kamu harus mampu mengubah masalah menjadi SPLDV. Secara garis besar langkah-langkah mengubah permasalahan sehari-hari menjadi SPLDV dilakukan sebagai berikut. 1.Tentukan variabel-variabelnya, lalu lakukan pemisalan. 2.Terjemahkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika berbentuk SPLDV. 3.Selesaikan model matematika yang diperoleh pada langkah 2. 4.Selanjutnya, nilai-nilai variabel yang telah diperoleh dicocokkan dengan pemisalan awal sehingga permasalahan dapat diselesaikan.

78 Contoh Soal 1.Pak Maman membeli buku tulis dan buku gambar untuk anak-anak panti asuhan. Jumlah buku-buku tersebut 160 buah. Harga setiap buku gambar Rp2.400,00, sedangkan harga setiap buku tulis Rp3.500,00. Jika Pak Maman harus membayar sebanyak Rp494.000,00, tentukan banyak setiap jenis buku tersebut. 2.Bu Sita mempunyai persediaan 4 kotak penghapus dan 15 rautan. Setiap kotak berisi 12 buah penghapus. Jika terjual semua, Bu Sita akan memperoleh uang Rp59.400,00. Pada suatu hari terjual 10 buah penghapus dan 3 rautan. Hasil penjualan tersebut Rp12.200,00. Tentukan hasil penjualan jika terjual 8 penghapus dan 10 rautan. Kembali ke BAB V