TEORI PENDUGAAN STATISTIK

Presentasi berjudul: "TEORI PENDUGAAN STATISTIK"— Transcript presentasi:

1 TEORI PENDUGAAN STATISTIK
BAB 12 TEORI PENDUGAAN STATISTIK

2 Bagian I Statistik Induktif Teori Pendugaan Statistik
OUTLINE Bagian I Statistik Induktif Metode dan Distribusi Sampling Teori Pendugaan Statistik Pengujian Hipotesa Sampel Besar Pengujian Hipotesa Sampel Kecil Analisis Regresi dan Korelasi Linier Analisis Regresi dan Korelasi Berganda Pengertian Teori dan Kegunaan Pendugaan Pendugaan Interval Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel Menyusun Interval Keyakinan Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi Interval Keyakinan Selisih Rata-rata dan Proporsi Pendugaan Titik Parameter Konsep Dasar Persamaan Simultan Memilih Ukuran Sampel Bab Teori Pendugaan Statistik

3 PENDUGA TUNGGAL SEBAGAI FUNGSI UNSUR POPULASI
Standar Deviasi s2 =  (Xi - ) 2 n - 1 s2 = {(X ) 2 + (X2 - x) 2 + … + (Xn ) 2} X atau S = f( X1, X2, …, X n) di mana: = 1 Xi n = 1 (X1 + X2 + … + X n) X X X f( 2) X f( 3) f( 1) Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter

4 SIFAT-SIFAT PENDUGA Penduga Tidak Bias Unbiased estimator
Penduga Efisien Efficient estimator Penduga Konsisten Consistent estimator Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter

5 penduga tidak bias Penduga Tidak Bias Penduga bersifat tidak bias
Jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted value, ) dari statistik sampel sama dengan parameter populasi () atau dapat dilambangkan dengan E( ) =  X E( ) = X Penduga bersifat bias E( )   X Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter

6 Penduga efisien Penduga Efisien
Penduga yang efisien adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya. sx12 < sx22 sx12 sx22 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter

7 Penduga Konsisten Penduga Konsisten
Penduga yang konsisten adalah nilai dugaan ( ) yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya  dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n). X n tak terhingga n sangat besar n besar n kecil Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Titik Paraneter

8 Pendugaan interval Pendugaan interval menyatakan jarak di dalam mana suatu parameter populasi mungkin berada. Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval

9 Rumus interval pendugaan
(s – Zsx < P < s + Zsx ) = C S : statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P) P : parameter populasi yang tidak diketahui Sx : standar deviasi distribusi sampel statistik Z : suatu nilai yang ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan dengan pendugaan interval, Nilai Z diperoleh dari tabel luas di bawah kurva normal C : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang dalam praktek sudah ditentukan dahulu s – Zsx : nilai batas bawah keyakinan s + Zsx : nilai batas atas keyakinan Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval

10 Menentukan jumlah sampel tiap stratum
Contoh: Z =2,58 Z =-2,58 0= 0.50 Z=1,96 Z=-1,96 0,50 X 95% 99% Pada gambar terlihat untuk interval keyakinan 95% terhubungkan dengan nilai Z antara –1,96 sampai 1,96. Ini dapat diartikan juga bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel akan terletak di dalam  1,96 kali standar deviasinya. Sedangkan untuk keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya juga akan terletak di dalam  2,58 kali standar deviasinya. Interval keyakinan juga dapat dituliskan untuk C= 0,95 adalah   1,96x dan untuk C=0,99 adalah   2,58sx. Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval

11 Menentukan jumlah sampel tiap stratum
Contoh: 0.50 Z=1,96 Z=-1,96 0,50 0,4750 0,95/2 = 0,50/2 = 0,025 Luas kurva adalah 1 dan simetris yaitu sisi kanan dan kiri luasnya sama yaitu 0,5. Nilai C= 0,95 apabila dibagi menjadi dua bagian simetris maka menjadi 0,4750 yang diperoleh dari 0,95/2. Apabila digunakan tabel luas di bawah kurva normal untuk probabilitas 0,4750 maka akan diperoleh nilai Z sebesar 1,96. Begitu juga untuk C= 0,99, maka probabilitasnya adalah 0,99/2 = 0,4950, nilai probabilitas ini terhubung dengan nilai Z= 2,58. Setelah menemukan nilai Z dan standar deviasinya, maka dapat dibuat interval keyakinan dengan mudah misalnya untuk C= 0,95 adalah P( – 1,96sx < m < + 1,96sx) = 0,95 sedang untuk C= 0,99 adalah P( – 2,58sx < m < + 2,58sx) = 0,99. X X Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval

12 Menentukan jumlah sampel tiap stratum
x = –1,96sx Contoh: x1 = interval 1 mengandung µ x2 = interval 1 mengandung µ x95 = interval 95 mengandung µ x95 = interval 95—100 tidak mengandung µ Pada gambar di atas terlihat bahwa interval 1 dengan nilai rata-rata interval 95 dengan rata-rata mengandung nilai parameternya yaitu dan hanya sampai atau 5% interval saja yang tidak dari statistik mengandung . Jadi interval keyakinan C= 95 dapat diartikan bahwa sebanyak 95% interval mengandung nilai parameter aslinya yaitu  dan hanya 5% interval saja yang tidak mengandung parameternya. X X X Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Pendugaan Interval 12

13 Kesalahan standar Kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel adalah standar deviasi distribusi sampel dari rata-rata Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel

14 Rumus kesalahan standar
Untuk populasi yang tidak terbatas n/N < 0,05: : Standar deviasi populasi sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel n : Jumlah atau ukuran sampel N : Jumlah atau ukuran populasi n s = sx 1 - s = N n Untuk populasi yang terbatas n/N > 0,05: sx Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel

15 Interval keyakinan rata-rata hitung
Pengantar Statistika Bab 1 Interval keyakinan rata-rata hitung Rumus interval keyakinan rata-rata hitung X  Z /2s/n Untuk populasi yang terbatas, faktor koreksi menjadi  (N–n)/N-1. Nilai merupakan rata-rata dari sampel, sedangkan nilai Z untuk beberapa nilai C Tingkat Keyakinan C/2 Nilai Terdekat Nilai Z 0,99 0,495 0,4951 2,58 0,98 0,490 0,4901 2,53 0,95 0,475 0,4750 1,96 0,90 0,450 0,4505 1,65 0,85 0,425 0,4251 1,44 0,80 0,400 0,3997 1,28 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Menyusun Interval Keyakinan

16 Interval keyakinan rata-rata hitung
Berdasarkan pada nilai Z dan diasumsikan bahwa n>30 maka dapat disusun interval beberapa keyakinan sebagai berikut:  2,58 s/n 99%  2,33 s/n 98%  1,96 s/n 95%  1,65 s/n  1,44 s/n Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Menyusun Interval Keyakinan

17 Interval keyakinan rata-rata hitung
Interval keyakinan tersebut dapat juga digambarkan sebagai berikut: Batas bawah Batas atas 1 -   /2  /2 -Z /2  Z /2 Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan akan terdapat pada interval 1 -  dengan batas bawah -Z /2 dan batas atas Z /2. Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Menyusun Interval Keyakinan

18 Skema proses interval keyakinan
Mulai Identifikasi masalah Menentukan sampel (n) dan nilai rata-rata Populasi Tidak Terbatas  Z/2 s/n Menentukan Keyakinan(C atau = (1 – C) dan Nilai Z Populasi Terbatas  Z/2 s/(N - n)/N-1 X X X Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi

19 Probabilitas (  Z/2 sx ) = C
Distribusi & standar deviasi populasi Distribusi Sampling: Normal Standar Deviasi Populasi: Diketahui Probabilitas ( – Z/2 x <  < (  Z/2 s/(N – n)/N – 1n sx ) = C atau Probabilitas (  Z/2 sx ) = C X X X : Rata-rata dari sampel Z/2 : Nilai Z dari tingkat kepercayaan   : Rata-rata populasi yang diduga x : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan  : (1 – C) X Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi

20 Distribusi & standar deviasi populasi
Distribusi Sampling: Normal Standar Deviasi Populasi: Tidak Diketahui Standar error untuk populasi yang terbatas dan n/N > 0,05: Standar error untuk populasi tidak terbatas Distribusi t dengan n=25 Distribusi normal standar Distribusi t dengan n=15 Distribusi t dengan n=5 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi

21 Distribusi & standar deviasi
Distribusi Sampling: Mendekati Normal Standar Deviasi Populasi: Tidak Diketahui ( – t/2 sx<  < ( + t/2 sx ) X X : Rata-rata dari sampel t/2 : Nilai t dari tingkat kepercayaan  : Rata-rata populasi yang diduga sx : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan  : 1 – C X Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi

22 Distribusi & standar deviasi
Untuk populasi yang tidak terbatas Untuk populasi yang terbatas Rumus pendugaan proporsi populasi Probabilitas (p - Z/2.Sp<P< p + Z/2.Sp) p : Proporsi sampel Z/2: Nilai Z dari tingkat keyakinan  P :Proporsi populasi yang diduga Sp : Standar error/kesalahan dari proporsi C :Tingkat keyakinan  :1 – C Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi

23 Interval keyakinan untuk selisih rata-rata
Probabilitas (( ) - Z/2. x1-x2) < ( ) < ( ) + Z/2. x1-x2) Di mana standar error dari nilai selisih rata-rata adalah: Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan standar deviasi sampel yaitu: Di mana: x1-x2 : Standar deviasi selisih rata-rata populasi sx1-x2 : Standar error selisih rata-rata sx1, sx1: Standar deviasi sampel dari dua populasi n1, n2: Jumlah sampel setiap populasi X2 X1 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata Selisih dan Proporsi

24 Interval keyakinan untuk selisih proporsi
Probabilitas Probabilitas ((p1-p2) - Z/2. sp1-p2) <(P1-P2) < (p1-p2) + Z/2. sp1-p2) Di mana standar error dari nilai selisih proporsi adalah: p1, p2 : Proporsi sampel dari dua populasi Sp1, sp1: Standar error selisih proporsi dari dua populasi n1, n2 : Jumlah sampel setiap populasi Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Interval Keyakinan Rata-rata Selisih dan Proporsi

25 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel
Faktor ukuran sampel Faktor yang memengaruhi jumlah sampel: Tingkat keyakinan yang dipilih Kesalahan maksimum yang diperbolehkan Variasi dari populasi Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel

26 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel
Rumus jumlah sampel untuk menduga rata-rata populasi Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut: Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana diuraikan sebagai berikut: P (–Za/2 < Z < Za/2 ) = C = 1 – a (–Za/2 < ( – m)/(s/Ön) < Za/2) (–Za/2 (s/Ön) < ( – m) < Za/2(s/Ön)) (x – m) < Za/2(s/Ön); ingat bahwa error e = – m e < Za/2(s/Ön); e2 = (Za/2)2(s2/n); n = [(Za/2.s)/e]2 n = [(Za/2.s)/e]2 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel

27 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel
Rumus jumlah sampel untuk menduga rata-rata populasi Untuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut: P (–Za/2 < Z < Za/2 ) = C = 1 – a (–Za/2 < (p1 – p2)/(s/Ön) <Za/2) (–Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1) < (p1 – p2) < Za/2(Ö[p(1– p)]/n–1) (p1 – p2) < Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1); ingat bahwa error e = p1 – p2 e < Za/2(Ö[(p(1 – p)]/n – 1); dikuadratkan kedua sisi menjadi e2 = (Za/2)2[(p(1 – p)]/n – 1; dipindahkan n – 1 ke sisi kiri n –1 = (Za/2.)2 p(1 – p) sehingga n menjadi e2 n = (Za/2.)2 p(1 – p) + 1 Bab 12: Teori Pendugaan Statistik Memilih Ukuran Sampel

28 T E R I M A K S H