DENI HAMDANI, S.Pd., M.Pd. ATURAN Masuk Mahasiswa : minimal... Dosen : minimal 15 Seragam harus jelas dan rapi Memakai sepatu, tidak memakai slop Kehadiran.

Presentasi berjudul: "DENI HAMDANI, S.Pd., M.Pd. ATURAN Masuk Mahasiswa : minimal... Dosen : minimal 15 Seragam harus jelas dan rapi Memakai sepatu, tidak memakai slop Kehadiran."— Transcript presentasi:

1 DENI HAMDANI, S.Pd., M.Pd

2 ATURAN Masuk Mahasiswa : minimal... Dosen : minimal 15 Seragam harus jelas dan rapi Memakai sepatu, tidak memakai slop Kehadiran minimal 13 kali dari 16 kali pertemuan

3 Materi Kuliah..\RPS Kalkulus versi deni hamdani.docx

4 SISTEM BILANGAN REAL Adalah sekumpulan bilangan-bilangan yang termasuk dalam bilangan real, yakni: bilangan rasional dan irasional

5 Bilangan Rasional Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk m/n, dengan m,n elemen bilangan bulat dan n ≠0. Karena m/n, maka bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal, baik itu desimal yg memiliki akhir dan akan berulang. Contoh: 3/8=0,,375 13/11=1,1818181...

6 Bilangan Irasional  Adalah bilangan yg tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Bilangan Irasional juga merupakan bilangan desimal, namun dalam bentuk desimal yang tidak berulang. Contoh: √2, √3, √5, …., ∏, …

7  Latihan 1.docx Latihan 1.docx

8 Bilangan Kompleks Bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a+bi, dengan a dan b adl elemen bilangan real dan i adalah imajiner atau i=√-1

9 Struktur Bilangan

10 Sifat-sifat Medan Jika x, y, dan z adalah elemen R, maka berlaku:  Hukum komulatif, x+y=y+x dan xy=yx  Hukum asosiatif, x+(y+z)=(x+y)+z dan x(yz)=(xy)z  Hukum distribusi, x(y+z)=xy+xz  Elemen-elemen identitas. Terdapat dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi: Identitas penjumlahan: x+0=x Identitas perkalian: x.1=x  Balikan (invers) invers penjumlahan: untuk setiap x elemen R,ada –x elemen R, sehingga berlaku x+(-x)=0 invers perkalian : untuk setiap x elemen R, ada x -1 elemen R, sehingga berlaku x.x -1 =1

11 Sedikit Logika  Konjungsi : adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung "dan". Operasi konjungsi menggunakan tanda " ∧ ", ditulis "p ∧ q" dibaca "p dan q".  Disjungsi : adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “atau". Operasi disjungsi menggunakan tanda “ ∨ ", ditulis "p ∨ q" dibaca "p atau q".

12  Implikasi: adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “jika…maka…". Operasi implikasi menggunakan tanda “ → ", ditulis "p → q" dibaca “jika p maka q".  Biimplikasi : adalah pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika". Operasi implikasi menggunakan tanda “ ↔ ", ditulis "p ↔ q" dibaca "p jika dan hanya jika q.

13  Implikasi : p →q  Konvers : q →p  Invers: ∼p → ∼q  Kontraposisi : ∼q → ∼p

14 Sedikit Pembuktian Teorema : pernyataan dikenalkan dengan kata “tunjukkan bahwa” atau “buktikan bahwa” yang dianggap pasti, namun memerlukan pembuktian. Definisi : pernyataan atau kesepakatan yang bernilai benar, dan perlu diberikan contoh. Aksioma : pernyataan yang tidak perlu diragukan kembali.

15 Bukti dengan Kontrapositif Teorema : Tunjukkan bahwa jika n 2 adalah genap, maka n adalah genap. Bukti: Andaikan n adalah ganjil, maka n 2 adalah ganjil. Jika n ganjil, maka ada bilangan bulat k sedemikian sehingga n=2k+1. Maka n 2 =(2k+1) 2 =(2k+1) (2k+1) =4k 2 +4k+1 =2(k 2 +2k)+1 Oleh karena itu, n 2 sama dgn satu lebihnya dari dua kali sebuah bilangan bulat. Maka n 2 adalah ganjil. terbukti

16 Jumlah dari suatu bilangan rasional dan bilangan irasional adalah irasional. Bukti: Jika x elemen rasional maka x=p/q, dan y elemen irasional, maka akan ditunjukkan bahwa x+y irasional: Andaikan x+y rasional, maka x+y=m/n, dimana m dan n elemen bulat, dan n≠0. Maka: x+y= m/n y=m/n-x y=m/n –p/q y=(mq-np)/nq Ini berarti y elemen rasional. Hal ini bertentangan dengan y elemen irasional. terbukti

17 Sifat-sifat Urutan  Trikotomi. Jika x dan y adl bilangan-bilangan, maka pasti salah satu diantara yang berikut ini berlaku: x y  Ketransitifan. x<y dan y<z, maka x<z  Penjumlahan. x<y jika dan hanya jika x+z<y+z  Perkalian. Bilamana z positif, x yz