DND

Presentasi berjudul: "DND"— Transcript presentasi:

1 DND-2006 http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif

2 DND-2006 Apakah astrofisika itu ? Apakah astrofisika itu ?  Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda- benda langit Informasi yang diterimaCahaya (gelombang elektromagnet) Pancaran gelombang elektromagnet dapat dibagi dalam beberapa jenis, bergantung pada panjang gelombangnya ( ) 1.Pancaran gelombang radio, dengan antara beberapa milimeter sampai 20 meter 2.Pancaran gelombang inframerah, dengan ≈ 7500 Å hingga sekitar 1 mm (1 Å = 1 Angstrom = 10 -8 cm)

3 DND-2006 3.Pancaran gelombang optik atau pancaran kasatmata dengan sekitar 3 800Å sampai 7 500 Å  merah oranye : 6 000 – 6 300 Å  oranye : 5 900 – 6 000 Å  kuning : 5 700 – 5 900 Å  kuning hijau : 5 500 – 5 700 Å  hijau : 5 100 – 5 500 Å  hijau biru : 4 800 – 5 100 Å  biru : 4 500 – 4 800 Å  biru ungu : 4 200 – 4 500 Å  ungu : 3 800 – 4 200 Å Panjang gelombang optik terbagi dlm beraneka warna:  merah : 6 300 – 7 500 Å

4 DND-2006 4.Pancaran gelombang ultraviolet, sinar X dan sinar  mempunyai < 3 500 Å http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.html Pancaran gelombang elektromagnet mulai dari sinar Gamma sampai dengan pancaran radio

5 DND-2006 Ketinggian Sinar-XSinar GammaUV Kasat Mata Infra-merahGel.MikroRadio Permukaan Laut ozon (O 3 ) molekul (H 2 O, CO 2 ) molekul,atom, inti atom teleskop optik satelitbalon, satelit teleskop radio http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.html Jendela Optik Jendela Radio Pancaran gelombang yang dapat menembus atmosfer Bumi adalah panjang gelombang kasatmata dan panjang gelombang radio

6 DND-2006 Dengan mengamati pancaran gelombang elektromagnet kita dapat mempelajari beberapa hal yaitu,  Arah pancaran. Dari pengamatan kita dapat meng- amati letak dan gerak benda yang memancarkannya  Kuantitas pancaran. Kita bisa mengukur kuat atau ke- cerahan pancaran  Kualitas pancaran. Dalam hal ini kita bisa mempe- lajari warna, spektrum maupun polarisasinya

7 DND-2006

8 Buah durian jatuh ke bumi Antara durian dan bumi terjadi gaya tarik gravitasi Bulan bergerak mengedari bumi Antara bumi dan bulan terjadi gaya tarik gravitasi Hukum Gravitasi Newton Sebagai hukum yang mengatur gerak dalam alam semesta Apakah ada kesamaan ? ada !

9 DND-2006 FF Menurut Newton, Antara dua benda yang massanya masing- masing m 1 dan m 2 dan jarak antara keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik gravitasi yang besarnya, d G = tetapan gravitasi = 6,67 x 10 -8 dyne cm 2 /g 2 bersifat tarik menarik gaya m1m1 m2m2 Hukum Gravitasi Newton......... (1-1) G m 1 m 2 F =  d2d2 Sir Isaac Newton (1643 – 1727)

10 DND-2006 Menentukan massa Bumi Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumi akan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s 2 Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar, F =  m g percepatan massa benda gaya gravitasi Dari persamaan (1-1) :................. (1-2)....... (1-3) radius Bumi massa Bumi G m 1 m 2 F =  d 2d 2  G M  m R2R2

11 DND-2006 Dari pers. (1-2) : R2R2 G M  g = dan pers. (1-3) : F =  m g G M  m F =  R2R2... (1-4) Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km a b RR Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka volume Bumi adalah,..................... (1-5)......... (1-6) 4  3 Volume bumi =(a2b)(a2b) 4  3 V  =R3R3

12 DND-2006 Dari pers. (1-5) : = 6371,1 km = 6,37 x 10 8 cm R  = (a 2 b) 1/3 4  3 V =(a2b)(a2b) 4  3 V =R3R3 Dari pers. (1-6) : R  = [(6378,2 ) 2 (6356,8)] 1/3 Radius bumi rata –rata : Masukan harga g, G dan R  ke pers (1-4) : G g R  2 M  = (980,6)(6,37 x 10 8 ) 2 (6,67 x 10 -8 ) = = 5,98 x 10 27 gr R2R2 G M  g = diperoleh,

13 DND-2006 Dari pers. (1-6) : dan massa jenis bumi rata-rata adalah, MM VV   = = 5,98 x 10 27 1,08 x 10 27 = 5,52 gr/cm 3 V  = (6,37 x 10 8 ) 3 4  3 = 1,08 x 10 27 cm 3 diperoleh volume Bumi, 4  3 V  =R3R3

14 DND-2006 Gerak Bulan Mengedari Bumi Gerak Bulan Mengedari Bumi Mengikuti hukum Newton BumiBulan Karena M   1/100 M , maka massa bulan dapat diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah, d a v jarak Bumi - Bulan............. (1-7) d 2d 2 G M  a =

15 DND-2006 Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P maka, Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d, dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, maka percepatan sentripetal yang dialami Bulan adalah, a = v 2 /d............... (1-8) Subtitusikan pers. (1-8), ke pers. (1-7) : d 2d 2 G M  a = G M  d = d 2d 2 v2v2 diperoleh,............... (1-9)............... (1-10) P 2 d2 d v =

16 DND-2006 Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) : ke pers. (1-10) : diperoleh,............. (1-11) d 2d 2 G M  d = v2v2 P 2 d2 d v = d 3d 3 P 2P 2 G M  4 24 2 = Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulan mengelilingi Bumi adalah, P = 27,3 hari = 2,36 x 10 6 detik Jarak Bumi-Bulan adalah, d = 384 000 km = 3,84 x 10 10 cm

17 DND-2006 Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu, M   6,02 x 10 27 gr Hasil ini hampir sama dengan yang ditentukan berdasarkan benda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu M   5,98 x 10 27 gr Buah durian jatuh ke bumi Bulan bergerak mengedari bumi Kesimpulan : Disebabkan oleh gaya yang sama yaitu gaya gravitasi

18 DND-2006 Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulan terhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu, jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 10 10 cm Percepatan Bulan terhadap Bumi Percepatan Bulan terhadap Bumi (6,67 x 10 -8 )(5,97 x 10 27 ) (3,84 x 10 10 )d 2d 2 a === 0,27 cm/s 2 G M 

19 DND-2006 Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan, maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat ditentukan yaitu, massa bulan radius bulan = 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi Gaya gravitasi di permukaan Bulan G M  R2R2 g=g= = 165,72 cm/s 2 (6,67 x 10 -8 )( 0,0123 x 5,98 x 10 27 ) g=g= (0,27 x 6,37 x 10 8 ) 2

20 DND-2006 Objek Massa ( Bumi = 1 ) Diameter ( Bumi = 1 ) Gravitasi ( Bumi = 1 ) Bulan0,01230,270,17 Venus0,810,950,91 Mars0,110,530,38 Jupiter317,911,202,54 Matahari333 000109,0028,10 Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit

21 DND-2006 Berat benda di permukaan Bumi massa benda Contoh : Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N, berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000 km di atas permukaan bumi ? berat benda (gaya gravitasi yang dirasakan oleh benda)  weight G M  m R2R2 W = Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut,

22 DND-2006 Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W 1 = 100 N, maka Apabila W 2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000 km (= 2,5 x 10 9 cm) di atas permukaan bumi, maka Jawab :................ (  ) W 1 = G M  m R2R2 (R  + 2,5 x 10 9 ) 2 W 2 = G M  m............ (  )

23 DND-2006 Jika harga R  = 6,37 x 10 8 cm, dan harga W 1 = 100 N dimasukan ke pers (  ) maka akan diperoleh, Dari pers (  ) dan (  ) diperoleh, (R  + 2,5 x 10 9 ) 2 W 2 = W1 R2W1 R2 (6,37 x 10 8 + 2,5 x 10 9 ) 2 W 2 = (100)(6,37 x 10 8 ) 2  4 N.............. (   )

24 DND-2006 Hukum Kuadrat Kebalikan Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempat dapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan F = - m g Dari pers. (1-1) : Dari pers. (1-2) :....... (1-12) G m M F =  d 2 d 2d 2 G M g = d 12d 12 G M g 1 = d 22d 22 G M g 2 = d 1d 1 d 2d 2 g1g1 2 Untuk g 1 : Untuk g 2 :

25 DND-2006 Contoh : 1.Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka- an laut) adalah 980 cm/s 2. Tentukanlah percepatan di ketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi. Jawab : g 1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s 2 d 2d 2 d 1d 1 g 2 = g 1 2 d 1 = radius bumi= R  = 6,37 x 10 8 cm Misalkan g 2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000 km, maka d 2 = R  + 25 000 km = 3,14 x 10 9 cm

26 DND-2006 Jadi, d 1d 1 d 2d 2 g 2 = g 1 2 3,14 x 10 9 6,37 x 10 8 = (980) 2 = 40,41 cm/s 2 2.Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak 100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkan pesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300 000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalam percepatan gravitasi pengorbitnya.

27 DND-2006 Jawab : Misalkan : g 1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo d 1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo = 100 000 km g 2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit d 2 = ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km d 1d 1 d 2d 2 g 1 = g 2 2 100 000 300 000 = g 2 2 = 9 g 2 maka

28 DND-2006 Satuan Gaya F = m g Jika massa (m) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g) dinyatakan dalam m/s 2, maka gaya (F) dinyatakan dalam, F = (kg)(m/s 2 ) = kg m/s 2 = Newton (N) Jika massa ( m ) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g) dinyatakan dalam cm/s 2, maka gaya (F) dinyatakan dalam, F = (gr)(cm/s 2 ) = gr cm/s 2 = dyne 1 Newton = 10 5 dyne Dari pers. (1-2) :

29 DND-2006 Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gaya yang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) di permukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ? Jawab : F = m g g di Bumi = 9,8 m/s 2 g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s 2 g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s 2 Jadi : F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s 2 = 735 N Contoh : F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s 2 = 125,25 N F di Jupiter= (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s 2 = 1 866,75 N

30 DND-2006 m 2 (x 2, y 2, z 2 ) m 1 (x 1, y 1, z 1 ) Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalah m 1 dan massa benda kedua adalah m 2. Berdasarkan Hukum Newton, pada benda ke-1 akan bekerja gaya : m 1 =  G d 2rd 2r d t 2d t 2 m1 m2m1 m2 r 2r 2 x y z.. (1-13) r Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah (x 1,y 1,z 1 ) dan (x 2,y 2,z 2 ) dan jarak kedua benda adalah r Hukum Gerak Dua Benda Hukum Gerak Dua Benda

31 DND-2006 d 2x1d 2x1 m 1 =  G m 1 m 2 d t 2d t 2 x1  x2x1  x2 r 3r 3..... (1-14a) d 2y1d 2y1 m 1 =  G m 1 m 2 d t 2d t 2 y1  y2y1  y2 r 3r 3..... (1-14b) d 2z1d 2z1 m 1 =  G m 1 m 2 d t 2d t 2 z1  z2z1  z2 r 3r 3..... (1-14c) Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu x, y, dan z, yaitu :

32 DND-2006 dalam arah x, y, z, diperoleh : d 2x2d 2x2 m 2 =  G m 1 m 2 d t 2d t 2 x2  x1x2  x1 r 3r 3...... (1-16a) d 2y3d 2y3 m 2 =  G m 1 m 2 d t 2d t 2 y2  y1y2  y1 r 3r 3...... (1-16b) d 2z2d 2z2 m 2 =  G m 1 m 2 d t 2d t 2 z2  z1z2  z1 r 3r 3...... (1-16c) Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu dengan menguraikan gaya : m 2 =  G d 2rd 2r d t 2d t 2 m1 m2m1 m2 r 2r 2.......... (1-15)

33 DND-2006 Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan gerak benda.  kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan.  Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapat dipecahkan, koordinat kedua benda (x 1,y 1,z 1 ) dan (x 2,y 2,z 2 ) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan. Keenam persamaan gerak benda di atas adalah persamaan diferensial orde ke-2,  terdapat 12 tetapan integrasi.

34 DND-2006 Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu,  6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x, y, z untuk masing-masing benda yaitu x 1, y 1, z 1 dan x 2, y 2, z 2 )  6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2 ).

35 DND-2006  tiga koordinat kedudukan awal  tiga komponen kecepatan awal benda yang bergerak m1m1 m 2 (x, y, z) x y z Sekarang dapat dituliskan : x = x 2 – x 1......... (1-17a) y = y 2 – y 1......... (1-17b) z = z 2 – z 1......... (1-17c) dan definisikan, M = m 1 + m 2......... (1-18) Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng- anggap benda pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat  Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu

36 DND-2006 Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh.......... (1-19a) Dengan cara yang sama diperoleh komponen pada arah y dan z, yaitu.......... (1-19b) d 2zd 2z =  G M d t 2d t 2 z r 3r 3.......... (1-19c) d 2xd 2x =  G M d t 2d t 2 x r 3r 3 d 2yd 2y d t 2d t 2 y r 3r 3

37 DND-2006 x  y = 0 d 2yd 2y d t 2d t 2 d 2xd 2x d t 2d t 2 d 2yd 2y x =  G M d t 2d t 2 xy r 3r 3 Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers. (1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya. d 2xd 2x =  G M d t 2d t 2 x r 3r 3 Pers. (1-19a) : d 2yd 2y =  G M d t 2d t 2 y r 3r 3 Pers. (1-19b) : x y x d 2xd 2x y =  G M d t 2d t 2 xy r 3r 3...... (1-20)

38 DND-2006 Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai, x  y = 0 d yd y d td t d xd x d td t d d td t.......... (1-21) Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh, x  y = a 1 d yd y d td t d xd x d td t.......... (1-22a) tetapan integrasi Dengan cara yang sama diperoleh, y  z = a 2 d zd z d td t d yd y d td t.......... (1-22b) z  x = a 3 d xd x d td t d zd z d td t........... (1-22c)

39 DND-2006 Pers. (1-22a) : x z x  y = a 1 d yd y d td t d xd x d td t Pers. (1-22b) : x y  z = a 2 d zd z d td t d yd y d td t Pers. (1-22c) : x y z  x = a 3 d xd x d td t d zd z d td t Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan xz  yz = a 1 z d yd y d td t d xd x d td t xy  xz = a 2 x d zd z d td t d yd y d td t yz  xy = a 3 y d xd x d td t d zd z d td t

40 DND-2006 xz  yz = a 1 z d yd y d td t d xd x d td t xy  xz = a 2 x d zd z d td t d yd y d td t yz  xy = a 3 y d xd x d td t d zd z d td t Ini adalah persamaan sebuah bidang datar  Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar. a 1 z + a 2 x + a 3 y = 0........... (1-23) +

41 DND-2006 Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan hasilnya d 2yd 2y =  G M d t 2d t 2 y r 3r 3 Pers. (1-19b) : x d yd y 2 d td t 2 d 2xd 2x =  G M d t 2d t 2 x r 3r 3 Pers. (1-19a) : x dx d td t d 2xd 2x =  G M d t 2d t 2 x r 3r 3 dx 2 d td t 2 d td t d 2yd 2y =  G M d t 2d t 2 y r 3r 3 dy 2 d td t 2 d td t d 2zd 2z =  G M d t 2d t 2 z r 3r 3 Pers. (1-19c) : x d td t d zd z 2 d 2zd 2z =  G M d t 2d t 2 z r 3r 3 dz 2 d td t 2 d td t

42 DND-2006 d 2xd 2x =  G M d t 2d t 2 x r 3r 3 dx 2 d td t 2 d td t d 2yd 2y =  G M d t 2d t 2 y r 3r 3 dy 2 d td t 2 d td t d 2zd 2z =  G M d t 2d t 2 z r 3r 3 dz 2 d td t 2 d td t + 2GM2GM r3r3 x + y + z dx d td t dy d td t dz d td t 2 + + = d 2xd 2x dt 2 dx dt d 2yd 2y dt 2 dy dt d 2zd 2z dt 2 dz dt

43 DND-2006 2GM2GM r3r3 x + y + z dx dt dy dt dz dt + + = d dt dx dt 2 dy dt 2 dx dt 2 atau..... (1-24) Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh, r 2 = x 2 + y 2 + z 2.......... (1-26) r = x + y + z dx d td t dy d td t dz d td t dr d td t............. (1-25) Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh,

44 DND-2006 v 2 = + + dx d td t 2 dy d td t 2 dx d td t 2......... (1-27) Kecepatan benda dinyatakan oleh, Subtitusikan pers. (1-26) : dan (1-27) ke pers. (1-24) : r = x + y + z dx d td t dy d td t dz d td t dr d td t 2GM2GM r3r3 x + y + z dx dt dy dt dz dt + + = d dt dx dt 2 dy dt 2 dx dt 2 diperoleh, 2GM r2r2 dr d td t = dv 2 d td t........... (1-28)

45 DND-2006 Integrasikan pers. (1-28), v 2 = + h 2GM2GM r............ (1-29) tetapan integrasi dt =  dv 2 d td t 2GM2GM r2r2 dr d td t  0 v 0 r diperoleh, Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah G m 2 M r V = V =............ (1-30) dt

46 DND-2006 dan energi kinetiknya adalah,............ (1-31) T = m 2 v 2 1 2 Subtitusikan pers. (1-29) : T = m 2 + h = + m 2 h 1 2 2GM2GM r 1 2 G m 2 M r.. (1-32) ke pers. (1-31), diperoleh v 2 = + h 2GM2GM r

47 DND-2006 Pers. (1-30) : Pers. (1-32) : G m 2 M r V = V = T = + m 2 h 1 2 G m 2 M r T + V = + m 2 h  1 2 G m 2 M r G m2 MG m2 M r 1 2 = m 2 h = h’................ (1-33) Persamaan ini mengatakan bahwa energi total benda kedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama. + Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),

48 DND-2006 Hukum Kepler I.Orbit planet mengelilingi matahari tidak berbentuk lingkaran tetapi berbentuk elips dengan matahari di titik fokusnya aphelionperihelion Matahari Planet Johannes Kepler (1571 – 1630)

49 DND-2006 II.Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalam selang waktu yang sama akan menyapu luas daerah yang sama. Matahari Planet dd dtdt dtdt r dd dt r2r2 = c (konstan)  Hukum Luas

50 DND-2006 III.Kuadrat periode planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips 1 Periode = peredaran planet mulai dari titik A sampai kembali lagi ke titik A P 2  a 3 Setengah sumbu panjang Matahari Planet a b A

51 DND-2006 Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang orbit) dalam bidang (x, y).  Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisa dibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton.  Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persamaan yang mengandung variabel x dan y, yaitu, d 2xd 2x =  G M d t 2d t 2 x r 3r 3 Pers. (1-19a) : d 2yd 2y =  G M d t 2d t 2 y r 3r 3 Pers. (1-19b) : dan  Bukti : Bukti Hukum Kepler

52 DND-2006 Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a) dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x, kemudian kurangkan, Hasilnya adalah, Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh : x  y = 0 d yd y d td t d xd x d td t d d td t Pers. (1-21) : x  y = c d yd y d td t d xd x d td t Per. (1-22a) : tetapan integrasi Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,

53 DND-2006 d 2yd 2y =  G M d t 2d t 2 y r 3r 3 Pers. (1-19b) :  d yd y 2 d td t 2 d 2xd 2x =  G M d t 2d t 2 x r 3r 3 Pers. (1-19a) :  dx d td t d 2xd 2x =  G M d t 2d t 2 x r 3r 3 dx 2 d td t 2 d td t d 2yd 2y =  G M d t 2d t 2 y r 3r 3 dy 2 d td t 2 d td t  2GM2GM r3r3 x + y dx d td t dy d td t 2 + = d 2xd 2x dt 2 dx dt d 2yd 2y dt 2 dy dt

54 DND-2006 atau.. (1-34) d dt 2GM2GM r3r3 x + y dx dt dy dt + = dx dt 2 dy dt 2 Jarak antara kedua benda adalah, r 2 = x 2 + y 2............ (1-35) Turunkan persamaan (1.35) diperoleh, r = x + y dx d td t dy d td t dr d td t........... (1-36) Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34), r dr d t d 22 x + y dx dt dy dt + = dx dt 2 dy dt 2 r3r3 GMGM

55 DND-2006 diperoleh, +  2 = h dx dt 2 dy dt 2 r GMGM.......... (1-37) tetapan integrasi Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar dengan mendefinisikan x = r cos θ = cos θ  r sin θ dx dt dr dt dθdθ y = r sin θ = sin θ + r cos θ dy dt dr dt dθdθ Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),

56 DND-2006 x  y = c d yd y d td t d xd x d td t Per. (1-22a) : r cos θ = cos θ - r sin θ dr dt dθdθ r sin θ sin θ + r cos θ = dr dt dθdθ diperoleh r 2 = c dθdθ dt atau = 1 dt 1 dd c r 2........... (1-39)............. (1-38)

57 DND-2006 Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37), dan hasilnya,....... (1-40) dengan,  = G M............ (1-41) + r 2 = + h 22 r dr dtdt 2 dd dtdt 2 ke pers. (1-40), diperoleh Masukan pers. (1-39) : = 1 dt 1 dd c r 2 dr dd 1 r 4r 4 1 r 2r 2 22 c 2 r 2 +   = 0 h c2c2..... (1-42)

58 DND-2006 Jika kita definisikan : Kemudian dimasukkan ke u =   c2c2 1 r +   = 0 dr dd 1 r 4r 4 1 r 2r 2 22 c 2 r 2 h c2c2 Pers. (1-42) : maka diperoleh, + u 2 = H 2 dr dd 2........... (1-43) dengan H 2 = + =tetapan h c2c2  2 2 c 4c 4....... (1-44) Pemecahan persamaan (1-43) adalah : u = H cos (  -  )............ (1-45) tetapan integrasi

59 DND-2006 Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) ke pers. (1-43), = 1 + 1 + cos (    )  c2c2 1 r hc 2  2 2 + u 2 = H 2 dr dd 2 Pers. (1-43) : H 2 = + = tetapan h c2c2  2 2 c 4c 4 Pers. (1-44) : u = H cos (  -  ) Pers. (1-45) : diperoleh, c 2 / c 2 /  r = 1 + 1 + cos (    ) hc 2  2 2 atau..... (1-47).. (1-46)

60 DND-2006 Kita didefinisikan : 1/2 e = 1 + hc   c 2c 2 p =............. (1-48)........... (1-49)  = (    )............. (1-50) Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke Pers. (1-47) : akan diperoleh, c 2 / c 2 /  r = 1 + 1 + cos (    ) hc 2  2 2 1 + e cos  p r =....... (1-51) Persamaan irisan kerucut

61 DND-2006 Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.  Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasil ini merupakan pembuktian Hukum Kepler I Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaan irisan kerucut.  Parameter p disebut parameter kerucut  Parameter e disebut eksentrisitas  Parameter  disebut anomali benar 1 + e cos  p r =

62 DND-2006 Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan pada gambar berikut   ω p A B m1m1 m2m2 a a ea e Garis potong bidang orbit dan bidang langit Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar, dituliskan a yang harganya diberikan oleh : p = a (1 – e 2 )........... (1-52) (Apfokus) (Perifokus)

63 DND-2006 Perhatikan :  Benda pusat terletak pada titik fokus orbit  Sudut  menunjukkan kedudukan titik perifokus terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal ini garis potong bidang orbit dengan bidang langit)   ω p A B m1m1 m2m2 a a ea e Garis potong bidang orbit dan bidang langit (Apfokus) (Perifokus)

64 DND-2006  jika e < 1  orbit berupa elips 1 + e cos  p r = Dari pers. (1-51) :  jika e = 1  orbit berupa parabola  jika e > 1  orbit berupa hiperbola p = a (1 – e 2 ) karena (pers. 1-52) :  Titik perifokus dicapai apabila  = 0 o  r = a (1 – e)  Titik apfokus dicapai apabila  = 180 o  r = a (I + e) maka,

65 DND-2006 Aphelion Perihelion Apabila m 1 adalah Matahari dan m 2 adalah planet, maka  titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion  titik terdekat disebut Perihelion   ω p A B m1m1 m2m2 a a ea e Garis potong bidang orbit dan bidang langit

66 DND-2006 Apastron Periastron Apabila sistem ini adalah sistem bintang ganda dengan m 1 adalah bintang ke-1 dan m 2 adalah bintang ke-2, maka  titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron  titik terdekat disebut Periastron   ω p A B m1m1 m2m2 a a ea e Garis potong bidang orbit dan bidang langit

67 DND-2006 Dari persamaan (1-38) : Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh : r 2 = c dθdθ dt r 2 = c dθdθ dt 1 2 1 2............ (1-53) luas segitiga yg disapu oleh vektor radius r dlm waktu dt Bukti Hukum Kepler II

68 DND-2006 Integrasikan persamaan (1-53) : r 2 = c dθdθ dt 1 2 1 2 A =  a 2 (1 – e 2 ) 1/2 r 2 d  = c dt 1 2 1 2 0 P Periode Orbit Luas elips Dengan demikian : c P =  a 2 (1 – e 2 ) 1/2  a 2 (1 – e 2 ) 1/2 = c P 1 2 = 2  a 3/2 a 1/2 (1 – e 2 ) 1/2 atau....... (1-54)

69 DND-2006 Masukkan p = a (1 – e 2 ) ke c P = 2  a 3/2 a 1/2 (1 – e 2 ) 1/2 pers. (1-54) : c P = 2  a 3/2 p 1/2 diperoleh,.......... (1-55) Selanjutnya masukan pers. p = c 2 /  ke pers. (1-55), diperoleh, c P = 2  a 3/2 c  1/2 P = 2  a 3/2 1  1/2 P 2 = 4  2 a3a3  Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh, = a3a3 P2P2  4 24 2... (1-56)

70 DND-2006 M = m 1 + m 2  = G M dan pers. (1-41) : Masukkan pers. (1-18) : ke pers. (1-56) : = a3a3 P2P2  4 24 2 diperoleh, = ( m 1 + m 2 ) a3a3 P2P2 G 4 24 2........ (1-57) Dalam kasus planet mengelilingi Matahari,  m 1 adalah massa matahari ( M  )  m 2 adalah massa planet Karena m 2 << m 1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter, hanya 0,001 M  ), maka persamaan (1-57) menjadi :

71 DND-2006 = M  a3a3 P2P2 G 4 24 2 Bukti Hukum Kepler III.............. (1-58)  Bumi dengan satelit-satelit buatan  Planet dengan satelit-satelitnya  Sistem bintang ganda Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalam mengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk :  dan lainnya

72 DND-2006 1.Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbit yang hampir berupa lingkaran. Apabila radius orbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbit satelit tersebut. Contoh : Jawab : Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massa satelit maka menurut Hk Kepler III a 3a 3 P 2P 2 4 24 2 G M  = 4  2 a 3 G M  P = 0,5 Diketahui, M  = 5,98 x 10 27 gr, a = 9,6 x 10 9 cm dan G = 6,67 x 10 -8 dyne cm 2 /gr 2

73 DND-2006 Jadi (6,67 x 10 -8 ) (5,98 x 10 27 ) 4  2 (9,6 x10 9 ) 3 P = 0,5 = 295 919,24 det = 3,42 hari

74 DND-2006 Jawab : 2.Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari 8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radius orbit Bumi dua kali daripada radius sekarang (andaikan orbit Bumi berupa lingkaran) Misalkan : M  1 = massa matahari sekarang M  2 = 8 M  1 a 1 = radius orbit bumi sekarang a 2 = 2 a 1 Karena M  >> M  maka 4 24 2 G M  = a 3a 3 P 2P 2

75 DND-2006 Jadi periodenya sama dengan periode sekarang P12P12 a13a13 4 24 2 G M  1 = a23a23 P22P22 4 24 2 G M  2 = M  1 8M1 8M1 0,5 8 P 2 =P1P1 a 1 2a1 2a1 1,5 = 2 1,5 P1P1 1 0,5 M  2 M  1 P 2 =P1P1 a1a1 a2a2 0,51,5 = (2,83)(0,3535) P 1 = P 1

76 DND-2006 1.Stasiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumi setiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km. Stasiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal 20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruang angkasa, stasiun ruang angkasa ini ditinggalkan dan secara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal 10 Maret 2001. a.Berapakalikah stasiun ruang angkasa ini mengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi? b.Berapakah jarak yang ditempuh stasiun ruang angkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatif terhadap radius Bumi) Soal Latihan :

77 DND-2006 2.Berapakalikah gaya gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulysses yang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkan dengan percepatan gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2 AU dari Matahari? 3.Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumi setiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jika kamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruang angkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedari Bumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam ini disebut satelit Geosyncronous karena satelit selalu berada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)

78 DND-2006 5.Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupiter memerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktu yang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yang lain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter? 4.Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyai massa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi), dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yang sama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapi Io mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya 1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?

79 DND-2006 Lanjut ke Bab II Kembali ke Daftar Materi