SMA/MA Kelas X Semester 1 Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam

Presentasi berjudul: "SMA/MA Kelas X Semester 1 Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam"— Transcript presentasi:

1 SMA/MA Kelas X Semester 1 Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam
Disusun oleh: Miyanto Disklaimer Daftar isi

2 Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint ini mengacu pada Kompetensi Inti (KI) dan Kompetensi Dasar (KD) Kurikulum 2013. Dengan berbagai alasan, materi dalam powerpoint ini disajikan secara ringkas, hanya memuat poin-poin besar saja. Dalam penggunaannya nanti, Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkannya sesuai kebutuhan. Harapan kami, dengan powerpoint ini Bapak/Ibu Guru dapat mengembangkan pembelajaran secara kreatif dan interaktif.

3 Daftar Isi Bab I Fungsi Eksponensial Bab II Fungsi Logaritma

4 I Fungsi Eksponensial A. Sifat-Sifat Eksponensial
B. Grafik Fungsi Eksponensial C. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial Kembali ke daftar isi

5 A. Sifat-Sifat Eksponensial
Pangkat Bulat Positif Untuk a anggota himpunan bilangan real dan n anggota himpunan bulat positif berlaku: an dibaca: a pangkat n. an didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n kali (n faktor). an disebut bilangan berpangkat a disebut bilangan pokok n disebut pangkat (eksponen) Pangkat Bulat Nol Untuk a anggota himpunan bilangan real dan a  0, berlaku: a0 = 1. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

6 Sifat-Sifat Pangkat Bilangan
Pangkat Bulat Negatif Untuk a anggota himpunan bilangan real dengan a  0 dan n  bilangan bulat positif, berlaku: a–n = Sifat-Sifat Pangkat Bilangan Untuk a dan b anggota himpunan bilangan real serta p dan q anggota himpunan bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

7 Contoh Soal Sederhanakan bentuk berikut. Kembali ke daftar isi
Kembali ke awal bab

8 B. Grafik Fungsi Eksponensial
Pengertian Fungsi Eksponensial Diketahui x anggota himpunan bilangan real. Fungsi eksponensial merupakan fungsi yang memetakan setiap x ke f(x) = ax, dengan a > 0 dan a  1. Bentuk Umum Fungsi Eksponensial Bentuk umum fungsi eksponensial adalah y = f(x) = kax atau f : x  kax. Keterangan: x disebut peubah (variabel) bebas dengan daerah asal (domain) D = {x | – < x < , x  R}. a disebut bilangan pokok (basis) dengan syarat a > 0 dan a  1 (0 < a < 1 atau a > 1). y disebut variabel tak bebas. k disebut konstanta. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

9 Bentuk dan Sifat Grafik Fungsi Eksponensial
Salah satu bentuk grafik fungsi eksponensial ditunjukkan sebagai berikut. Grafik fungsi eksponen berupa kurva mulus. NB: grafik g(x) dihapus Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

10 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

11 Cara Menggambar Grafik Fungsi Eksponensial
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi eksponensial sebagai berikut. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus. 5. Materi Pengayaan Pertumbuhan 1) Bunga Majemuk Jumlah tabungan setelah t tahun dihitung dengan rumus: Mt = M + (1 + i)t Keterangan: Mt = jumlah tabungan setelah t tahun M = jumlah tabungan mula-mula i = besar suku bunga t = lama menabung (dalam tahun) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

12 2) Pertumbuhan Populasi
Jika jumlah populasi mula-mula P dan jumlah populasi setelah t tahun adalah Pt, jumlah populasi pada saat t tahun dinyatakan sebagai Pt = Peit. Keterangan: Pt = populasi setelah t tahun P = populasi mula-mula i = tingkat pertumbuhan populasi e = 2,718 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

13 b. Peluruhan Misalkan terdapat t lembar kaca. Setiap lembar kaca mengurangi cahaya yang menembusnya sebanyak i (i dalam persen). Persentase cahaya P yang menembus t lembar kaca dapat dinyatakan sebagai P = 100(1 – i)t. Jika intensitas cahaya berkurang secara kontinu, diperoleh: P = 100e-it. Contoh Soal Diketahui grafik fungsi f(x) = k × 2x – 2. Grafik tersebut melalui titik (2, 3). Tentukan: a. nilai k, b. nilai f(4). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

14 C. Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponensial
Persamaan Eksponensial Persamaan eksponensial adalah persamaan dengan eksponensial berbentuk variabel. Variabel tersebut dapat terletak pada eksponen atau bilangan pokoknya. Persamaan eksponensial mempunyai beberapa bentuk persamaan dan penyelesaian. Bentuk-bentuk persamaan eksponensial dijelaskan sebagai berikut. af(x) = am Jika af(x) = am, a > 0 dan a  1 maka f(x) = m af(x) = ag(x) Jika af(x) = ag(x), a > 0 dan a  1 maka f(x) = g(x) af(x) = bf(x) Jika af(x) = bf(x), a > 0, a  1, b > 0, b 1, dan a  b maka f(x) = 0 Pertidaksamaan Eksponensial Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

15 h(x)f(x) = h(x)g(x) Jika h(x)f(x) = h(x)g(x), penyelesaiannya sebagai berikut. 1) f(x) = g(x) 2) h(x) = ) h(x) = 0, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya positif 4) h(x) = –1, dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil e. f(x)h(x) = g(x)h(x) Jika f(x)h(x) = g(x)h(x), penyelesaiannya sebagai berikut ) f(x) = g(x) ) h(x) = 0, dengan syarat f(x)  0 dan g(x)  0. f. A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0, a > 0, a  1, A  0, dan A, B, C  R Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini digunakan pemisalan y = af(x) sehingga diperoleh Ay2 + By + C = 0. Setelah nilai y diperoleh, substitusikan kembali pada pemisalan y = af(x) sehingga diperoleh nilai x. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

16 2. Pertidaksamaan Eksponensial
Pertidaksamaan eksponensial adalah pertidaksamaan yang eksponennya memuat variabel. Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial menggunakan sifat kemonotonan grafik fungsi eksponensial. Perhatikan grafik fungsi eksponensial f(x) = ax berikut. Grafik f(x) = ax, 0 < a < 1 Grafik f(x) = ax, a > 1 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

17 Berdasarkan kedua grafik di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Untuk a > 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton naik. Artinya untuk setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2). Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = ax merupakan fungsi monoton turun. Artinya untuk setiap x1, x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2). Tetap atau berubahnya tanda ketidaksamaan tergantung dari nilai bilangan pokoknya. Untuk a > 1 Jika af(x) > ag(x) maka f(x) > g(x) Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x) Jika af(x) < ag(x) maka f(x) < g(x) Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

18 Untuk 0 < a < 1 Jika af(x) > ag(x) maka f(x) < g(x) Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x) Jika af(x) < ag(x) maka f(x) > g(x) Jika af(x)  ag(x) maka f(x)  g(x) Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponensial berikut. (x + 3)2x – 1 = (x + 3)x + 2 (x + 2)x + 1 = (2x + 6)x + 1 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

19 II Fungsi Logaritma A. Bentuk Logaritma
B. Fungsi Logaritma dan Grafiknya C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma Kembali ke daftar isi

20 A. Bentuk Logaritma Pengertian Logaritma
Logaritma merupakan kebalikan (invers) dari eksponen (pemangkatan). Suatu bentuk eksponen dapat diubah menjadi bentuk logaritma dan sebaliknya. an = b ⇔ alog b = n dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0 a merupakan bilangan pokok (basis) logaritma; b merupakan numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya; n merupakan hasil logaritma (nilai pangkat). Dari bentuk logaritma an = b ⇔ alog b = n, diperoleh bentuk-bentuk berikut. a. alog 1 = 0 sebab a0 = 1. b. alog a = 1 sebab a1 = a. a. c. alog an = n. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

21 Nilai Logaritma Nilai logaritma suatu bilangan dapat dicari menggunakan tabel logaritma atau kalkulator. Perhatikan bagian-bagian hasil logaritma berikut. Dalam tabel logaritma hanya tertulis bilangan desimal (mantisa) yang menyatakan hasil logaritma suatu bilangan. Adapun bilangan bulat (karakteristik) harus ditentukan atau dicari. Nilai karakteristik log x sebagai berikut. 1 < x < > log x = 0, (misal: log 2 = 0,3010) 10 ≤ x < > log x = 1, (misal: log 55,9 = 1,7474) 100 ≤ x < > log x = 2, (misal: log 871,2 = 2,9401) 1.000 ≤ x < > log x = 3, (misal: log 7035,3 = 3,8473) dan seterusnya. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

22 Sifat Logaritma Misalkan a, b, dan c bilangan real positif dan a ≠ 1, berlaku sifat-sifat berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

23 Contoh Soal Diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, dan log 5 = 0,699
Contoh Soal Diketahui log 2 = 0,301, log 3 = 0,477, dan log 5 = 0,699. Tentukan nilai: a. log 30; b. log 8; dan c. log 0,3. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

24 B. Fungsi Logaritma dan Grafiknya
Pengertian Fungsi Logaritma Fungsi logaritma merupakan fungsi yang memuat variabel x dalam operator logaritma, yaitu memuat variabel x sebagai numerus. Bentuk paling sederhana dari fungsi logaritma adalah f(x) = alog x dengan a > 0 dan a ≠ 1 0 < a < 1 atau a > 1). Domain fungsi logaritma tersebut adalah D = {x | x > 0, x bilangan real}. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

25 2. Grafik Fungsi Logaritma
Perhatikan grafik fungsi logaritma berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

26 Dari grafik tersebut diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Grafik f(x) = kalog x dan g(x) = simetris terhadap sumbu X. b. Grafik f(x) dan g(x) memotong sumbu X di titik (k, 0). c. Sumbu Y merupakan asimtot, yaitu garis yang didekati grafik fungsi tetapi tidak sampai berpotongan dengan fungsi tersebut. d. Grafik fungsi f(x) = kalog x merupakan fungsi monoton naik karena untuk setiap x1 < x2 berlaku f(x1) < f(x2). Grafik fungsi g(x) = merupakan fungsi monoton turun karena untuk setiap x1 < x2 berlaku g(x1) > g(x2). Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

27 Contoh Soal 3. Menggambar Grafik Fungsi Logaritma
Langkah-langkah menggambar grafik tersebut sebagai berikut. Buatlah tabel titik bantu berupa nilai-nilai x dan y, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y mudah ditentukan. Gambarlah titik-titik tersebut pada bidang koordinat. Hubungkan titik-titik yang dilalui dengan kurva mulus. Contoh Soal Diketahui fungsi logaritma f(x) = 4 – 2log (x + 3). Tentukan: a. domain fungsi; b. nilai fungsi untuk x = 1 dan x = –1. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

28 Pertidaksamaan Logaritma
C. Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma Persamaan Logaritma Persamaan logaritma adalah persamaan pada bentuk logaritma yang di dalamnya memuat variabel. Variabel tersebut dapat menempati numerus atau bilangan pokok. Beberapa bentuk persamaan logaritma beserta penyelesaiannya dijelaskan sebagai berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

29 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

30 2. Pertidaksamaan Logaritma
Pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan pada bentuk logaritma yang memuat variabel sebagai numerus. Pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat kemonotonan grafik fungsi logaritma. Perhatikan grafik fungsi logaritma f(x) = alog x berikut. Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

31 Berdasarkan kedua grafik tersebut, diperoleh kesimpulan berikut.
Untuk a > 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton naik. Artinya untuk setiap x1 dan x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) < f(x2). Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi monoton turun. Artinya untuk setiap x1 dan x2  R berlaku x1 < x2 jika dan hanya jika f(x1) > f(x2). Untuk a > 1: Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

32 Untuk 0 < a < 1: Jika alog f(x) > alog g(x) maka f(x) < g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≥ alog g(x) maka f(x) ≥ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) < alog g(x) maka f(x) > g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), f(x) > 0, dan g(x) > 0 Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut. a. 2log (x – 3) + 2log (x – 2) = 1 b. 3log (x2 – 8) = 4log (x2 – 8) c. xlog (2x2 – 7x + 6) = 2 2. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut. a. xlog (4x – 5) > xlog (2x – 6) b. (x – 1)log (3x + 1) ≤ (x – 1)log (2x – 1) Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab