Bunga, Anuitas, Pertumbuhan, dan Peluruhan. Bunga Bunga adalah penambahan sejumlah uang yang dibayarkan kepada pemilik modal pada setiap akhir jangka.

Presentasi berjudul: "Bunga, Anuitas, Pertumbuhan, dan Peluruhan. Bunga Bunga adalah penambahan sejumlah uang yang dibayarkan kepada pemilik modal pada setiap akhir jangka."— Transcript presentasi:

1 Bunga, Anuitas, Pertumbuhan, dan Peluruhan

2 Bunga Bunga adalah penambahan sejumlah uang yang dibayarkan kepada pemilik modal pada setiap akhir jangka waktu yang ditentukan sebagai imbalan atau jasa

3 Catatan Barisan & deret aritmatika U20 = a + 19 b U99 = a + 98 b Suku ke-

4 Contoh bunga tunggal (menggunakan barisan &deret aritmetika) Tutik meminjam uang sebesar Rp 5.000.000,- di koperasi karyawan dan akan dicicil setiap akhir bulan dengan jumlah yang sama sebesar Rp 500.000,- Jika koperasi tersebut membebankan bunga sebesar 2% dari sisa pinjaman, tentukan total bunga yang harus di bayarkan tutik!

5 Penyelesaian X to 3

6 contoh Pada awal tahun 2017, Dika meminjam uang sebesar Rp 10.000.000,- di bank dengan suku bunga tunggal sebesar 1,25% per bulan Tentukan besar bunga yang harus dibayarkan oleh dika setelah 1,5 tahun

7 Penyelesaian Dika meminjam uang sebesar RP 10.000.000,- dengan suku bunga tunggal sebesar 1,25% per bulan Besar bunga yang ditanggung setiap bulannya adalah Bulan ke 1 bunga = 1x1,25%x10.000.000= 125.000 Bulan ke 2 bunga = 2x1,25%x10.000.000= 250.000 Bulan ke 3 bunga = 3x1,25%x10.000.000= 375.000 dan seterusnya Jika dilihat dari pola bunga yang ditanggung oleh dika setiap bulannya, bunga tersebut membentuk barisan aritmetika dengan beda b =125.000 suku pertama u1=a= 125.000 besar bunga yang dibayarkan setelah 1,5 tahun (18 bulan) adalah sebagai berikut : Un= a+(n-1)b U18= 125.000+(18-1)(125.000) = 125.000+17(125.000) = 125.000+2.125.000 = 2.250.000 Jadi besar bunga yang harus dibayarkan oleh dika setelah 1,5 tahun adalah Rp 2.250.000,-

8 kerjakan Fahmi meminjam uang sebesar Rp 2.400.000,- di koperasi karyawan dan akan dicicil setiap akhir bulan dengan jumlah yang sama sebesar Rp 400.000,- Jika koperasi tersebut membebankan bunga sebesar 2,5% dari sisa pinjaman, tentukan total bunga yang harus di bayarkan fahmi

9 kerjakan Pada awal tahun 2017, Dani meminjam uang sebesar Rp 20.000.000,- di bank dengan suku bunga tunggal sebesar 1,5% per bulan. Tentukan besar bunga yang harus dibayarkan oleh dika setelah 1 tahun!

10 Bunga Tunggal Adalah bunga yang diterima pada setiap akhir jangka waktu yang besarnya tetap Mn = M (1+i(n)) Mn = M (1+b) Mn = Modal Akhir M = Modal Awal i = Presentase Bunga n = Jangka Waktu Rumus Bunga Tunggal atau

11 Contoh Pak samsul menabung uang di bank sebesar RP 5.000.000,- dengan bunga tunggal 4% per tahun selama 5 tahun Berapa Jumlah saldo akhir pak samsul?

12 penyelesaian Diketahui M = 5.000.000 n = 5 tahun i = 4% per tahun atau 0,04 Ditanyakan : Mn ? Mn = m (1+i(n)) = 5.000.000(1+0,04(5)) = 5.000.000(1+0,2) = 5.000.000 x 1,2 = 6.000.000 Jadi besar saldo akhir tabungan pak samsul adalah Rp 6.000.000,- X to 3 x tn 7/1/2020

13 contoh Pak Naim menabung di bank sebesar Rp 20.000.000,- setelah 10 tahun saldo akhir tabungan menjadi Rp 25.000.000,- Berapakah presentase bunga yang diberikan bank kepada Pak Naim?

14 Penyelesaian Diketahui M = 20.000.000 Mn = 25.000.000 n = 10 tahun Ditanyakan : i? Jawab Mn = m(1+i(n)) 25.000.000 = 20.000.000(1+i(10)) 25.000.000= 20.000.000+200.000.000 i 25.000.000-20.000.000=200.000.000 i 5.000.000=200.000.000 i 5.000.000/200.000.000= i i = 0,025 i = 2,5 % Jadi Presentasi Bunga tiap tahun adalah 2,5%

15 Contoh Bu Mutia Menabung di bank sebesar Rp 15.000.000,- dengan bunga 10% pertahun selama berapa tahun uang bu Mutia menjadi Rp 20.000.000,-?

16 Penyelesaian Diketahui M = 15.000.000 Mn = 20.000.000 i = 10% per tahun atau 0,1 Ditanya : n? Mn=m(1+in) 20.000.000 = 15.000.000(1+0,1n) 20.000.000 = 15.000.000+1.500.000n 20.000.000-15.000.000=1.500.000n 5.000.000=1.500.000n 5.000.000/1.500.000=n n=3,3333 Jadi uang bu Mutia sejumlah Rp 20.000.000,- selama 3,4 tahun

17 Bunga Majemuk Adalah bunga yang pembayarannya dihitung berdasarkan pokok simpanan ditambah dengan jumlah total bunga yang diperoleh sebelumnya atau dapat diartikan dengan besarnya bunga yang dibayarkan pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya

18 Rumus Bunga Majemuk Keterangan : Mn = Modal Akhir M = Modal Awal n = Periode Waktu

19 Jika modal sebesar M ditabung pada setiap awal bulan dan dibungakan selama periode n dengan suku bunga majemuk p% per periode, maka besar modal Sn = M(1+i)+M(1+i) 2 +M(1+i) 3 +…+M(1+i) n X to 3 13-1

20 Untuk modal M yang ditabung setiap akhir periode, misalnya setiap akhir bulan atau akhir tahun, maka modal pada awal periode belum mendapatkan bunga sehingga modal akhirnya dg rumus : Sn = M+M(1+i)+M(1+i) 2 +M(1+i) 3 +…+M(1+i) n

21 Bunga membentuk barisan dan deret geometri

22 Contoh Jika suatu modal sebesar Rp 100.000.00 dan ditabung selama 3,5 tahun atas dasar pada bunga majemuk 4,5% setiap triwulan. Maka tentukan nilai akhir modal tersebut.

23 Penyelesaian

24 COntoh Modal sebesar Rp 10.000.000,- disimpan di bank dengan suku bunga majemuk 0,25% per bulan Tentukan besar modal setelah disimpan selama 2 tahun

25 Penyelesaian Diketahui M = 10000000 I = 0,25% n = 2 tahun Ditanyakan MN=? Jawab Mn = m(1+i) n Mn = 10000000(1+0,0025) 24 Mn = 10000000(1,0025) 24 Mn = 10000000(1,0618) Mn = 10618000 Jadi Besar modal setelah disimpan selama 2 tahun adalah Rp 10.618.000,- 10617570

26 Contoh Modal sebesar Rp 10.000.000,- disimpan di bank dengan suku bunga majemuk 0,25% per bulan. Tentukan besar modal setelah disimpan selama 2 tahun.

27 Penyelesaian Diketahui M = 10.000.000 i= 0,25% = 0,025 n = 2 tahun = 24 bulan Ditanyakan Mn=…? Jawab Mn = m(1+i)n Mn = 10.000.000(1+0,0025) 24 Mn = 10.000.000(1,0025) 24 Mn = 10.000.000(1,0618) Mn = 10.618.000 Jadi besar modal setelah disimpan selama 2 tahun adalah Rp 10.618.000,-

28 Contoh Setiap awal bulan, wening manabung di sebuah bank sebesar Rp 500.000,-. Jika Bank tersebut memberikan bunga 2% per bulan dengan asumsi tidak ada biaya proses penabungan, terntukan jumlah tabungan Wening setelah menabung di bank tersebut selama setahun.

29 Anuitas Adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besar yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu dan terdiri atas bagian angsuran dan bunga

30 Rumus Anuitas A = a n +b n Keterangan : A = Anuitas a n = Angsuran b n = Bunga

31 Bunga pertama b1 = M x i Keterangan : b1 = bunga pertama M = Modal I = Suku bunga/Presentase bunga

32 a n =a 1 (1+i) n-1 atau a n =a k (1+i) n-k Keterangan : an= angsuran ke n a 1 = angsuran ke 1 i = suku bunga n = lama waktu Rumus Menentukan Besar angsuran dalam jangka waktu ke-n dan suku bunga P% dari suatu anuitas

33 Contoh 1 Satu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas tahunan. Tentukan besar anuitas, jika diketahui angsuran ke 6 dan bunga ke 6 masing-masing Rp 415.000,- dan Rp 85.000,-. Penyelesaian Diketahui a6 = 415.000 b6 = 85.000 Ditanyakan. A=…? Penyelesaian A = a6+b6 A=415.000+85.000 A= 500.000 Jadi besar anuitas adalah Rp 500.000,-

34 Contoh 2 Suatu pinjaman Rp 10.000.000,- dilunasi dengan anuitas bulanan Rp 500.000,-. Jika suku bunga 3% per bulan. Tentukan a.Besar angsuran pertama dan bunga pertama b.Besar angsuran ke 9 dan bunga ke 9

35 Penyelesaian 2 a.Diketahui : A = 500.000 M = 10.000.000 i=3% atau 0,03 Ditanyakan : a1 dan b1= …..? Penyelesaian b1 = M x i b1= 10.000.000 x 0.03 b1= 300.000 A = a1+b1 a1= A-b1 a1=500.000-300.000 a1=200.000

36 Penyelesaian b Ditanyakan : a9 dan b9=…? Jawab a9=a1(1+i) n-1 a9=200.000(1+i) 9-1 a9=200.000(1+0,03) 8 a9=200.000(1,03) 8 a9=200.000(1,267) a9=253.400 b9 = A-a9 b9=500.000-253.400 b9= 246.600

37 Rumus menentukan besar pinjaman yang dilunasi dengan cara anuitas dan suku bunga p% adalah

38 Contoh Dodi meminjam uang sebesar Rp 4.000.000,- yang akan dilunasi dengan sistem anuitas per bulan dengan suku bunga 2%. Jika besar anuitasnya Rp 400.000,- Tentukan a besar angsuran pertama b Besar angsuran ke 5 C Besar bunga ke 5

39 Penyelesaian Diketahui M = 4.000.000 i = 0,02 atau 2% A = 400.000 a.Bunga ke 1 (Suku bunga * Pinjaman) : b1 = 0,02 * 4.000.000 = 80.000 A = a 1 +b n a1= A-bn a1=400.000 – 80.000 a1= 320.000 Jadi, besar angsuran pertama adalah Rp 320.000,-

40 Penyelesain b a n =a 1 (1+i) n-1 a5= 320.000(1+0,02) 4 a5= 320.000((1,02)4 a5 = 320.000(1,082) a5 = 346.240 Jadi, besar angsuran ke 5 adalah 346.240

41 Penyelesaian c Besar bunga ke 5 A = a n + b n 400.000 = 346.240+b 5 400.000-346.240 = b 5 53.760 = b 5 Jadi besar bunga ke 5 adalah Rp 53.760,-

42 Contoh Sutu pijamanan akan dilunasi dengan anuitas per bulan selama 2 tahun dengan suku bunga 3% per bulan. Jika besar angsuran pertamanya Rp 600.000,- Tentukan A. besar angsuran ke 6 B. besar pinjaman

43 Penyelesaian Diketahui n = 2 tahun = 24 bulan i= 0,03 atau 3% a1= 600.000 Ditanyakan : a6=…? Jawab a6= a1(1+i) n-1 a6 = 600.000(1+0,03) 5 a6= 600.000(1,03) 5 a6=600000(1,159) a6= 695400 Jadi angsuran ke 6 adalah Rp 695.400,-

44 Penyelesaian b

45 Pertumbuhan Adalah keadaan penambahan ukuran (Volume, Massa, Tinggi,dan Panjang) yang dapat diukur dan dapat dinyatakan secara Kuantitatif Contohnya Berat badan, tinggi pohon, dsb X to3 16/1

46 Rumus pertumbuhan Pertumbuhan linear Pn=P(1+nb) Pertumbuhan Eksponensial Pn=P(1+b) n Keterangan Pn = nilai besaran setelah n periode P =nilai besaran di awal periode n= banyaknya periode pertumbuhan b=tingkat pertumbuhan

47 Contoh 1 Banyak penduduk kota A setiap tahun meningkat 2% secara eksponensial dari tahun sebelumnya Tahun 2013 penduduk kota A sebanyak 150.000 orang Hitung banyak penduduk pada tahun 2014 dan 2023!

48 Penyelesaian P= 150.000, b=2%=0,02 Banyak penduduk pada tahun 2014 (artinya tahun setelah 2013, maka n = 1): Pn=P(1+b) n P1= 150.000 (1+0,02) 1 P1= 150.000 (1,02) P1=153.000 jiwa Banyak penduduk pada tahun 2023 (n=2023 - 2013=10) Pn=P (1+b) n P 10 = 150.000 (1+0,02) 10 P 10 =150.000(1,219)) P 10 =182.850 jiwa

49 Contoh 2 Suatu bakteri membelah menjadi 2 bagian setiap 2 jam sekali Jika pada pukul 07.00 banyak bakteri 350 ekor, tentukan banyak bakteri pada pukul 17.00 untuk hari yang sama

50 Penyelesaian Diketahui P = 350 n = 07.00 sampai 17.00( setiap 2 jam sekali) = 5 b = Membelah menjadi 2 bagian( dari 1 menjadi 2, penambahannya 1) Ditanyakan Pn = ? Pn=P(1+b) n Pn=350(1+1) 5 Pn=350x32 Pn=11.200 Jadi banyak bakteri sampai jam 17.00 sebanyak 11.200

51 Peluruhan Peluruhan adalah penurunan atau pengurangan nilai suatu besaran terhadap nilai besaran sebelumnya Contoh Peluruhan radioaktif, peluruhan radio aktif adalah proses dimana inti atom yang tidak stabil secara spontan akan berubah menjadi inti atom yang lebih stabil

52 Rumus Peluruhan Peluruhan Linear : P n = P(1-nb) Peluruhan Eksponensial P n = P(1-b) n Keterangan : Pn = Nilai besaran setelah n periode P = nilai besaran di awal periode n = banyaknya periode peluruhan b = tingkat peluruhan

53 Contoh Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 125 gram mengalami reaksi kimia sehingga menyusut 12% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam secara eksponensial Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 3 hari !

54 Penyelesaian P= 125 b = 12% = 0,12 Peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehari peluruhan terjadi 2 kali, 3 hari = 72 jam terjadi 6 kali perluruhan Atau n = 72/12 = 6 Pn = P(1-b) n P6=125(1-0,12) 6 P6=125(0,88) 6 P6=125(0,464) P6= 58,05 gram

55 Contoh 2 Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000 tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10% berapa harga mobil setelah 4 thn? Penyelesaian Pn= P(1-i) n Pn=30.000.000(1-0,1) 4 Pn=30.000.000(09) 4 Pn=30.000.000(0,656) Pn= 19.683.000

56 Kerjakan! 1 Maira meminjam uang ke bank sebesar Rp 20000000 untuk pelunasan renovasi rumah Bank tersebut memberikan syarat bunga 5% setahun Maka uang yang harus dikemabalikan maira adalah? Penyelesaian Diketahui M= 20000000 i=5% n=1 Ditanya, Mn=?

57 Penyelesaian Mn= 20.000.000(1+(0,05)1) Mn=20.000.000(1,05) Mn=21.000.000 Jadi uang yang harus dikemabalikan maira adalah Rp 21.000.000

58 KERJAKAN 1.Pada awal tahun 2009, komar menabung di bank sebesar Rp 25.000.000,- dengan suku bunga tunggal sebesar 3,5% per bulan. Tentukan bessar tabungan komar setelah menabung selama 5,5 tahun jika dianggap tidak ada biaya adminiastrasi ! 2.Suatu pinjaman sebesar Rp 2.600.000,- akan dilunasi dengan anuitas per bulan, sebesar Rp 250.000,-. Jika suku bunganya 4% per bulan, tentukan : a.Besar bunga pertama dan angsuran pertama b.Besar angsuran ke 5 dan bunga ke 8

59 Modal sebesar Rp 20.000.000,- ditabung di bank dengan suku bunga majemuk 6% per tahun. Tentukan besar modal setelah enam tahun