Disusun oleh : RIANI WIDIASTUTI, S.Pd MATEMATIKA KELAS XI SEMESTER II

Presentasi berjudul: "Disusun oleh : RIANI WIDIASTUTI, S.Pd MATEMATIKA KELAS XI SEMESTER II"— Transcript presentasi:

1 Disusun oleh : RIANI WIDIASTUTI, S.Pd MATEMATIKA KELAS XI SEMESTER II
DIFERENSIAL / TURUNAN FUNGSI

2 Penggunaan turunan Persamaan garis singgung pada kurva
Fungsi naik dan fungsi turun Penggunaan turunan

3 PILIH MENU YANG MANA DULU PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA
EXIT FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN PENGGUNAAN TURUNAN

4 Gradien garis singgung
Titik stasioner & nilai stasioner Contoh soal Persamaan garis singgung kurva Contoh soal titik dan nilai stasioner

5 dimana m = gradien dan gambar : Y=f(x)
Dari pengertian : dimana m = gradien dan gambar : Y=f(x) y2 y y1 x  x x X HOME

6 Maka dapat disimpulkan
m suatu gradien 2. Jika terdapat persamaan kurva y = f(x) maka garis singgung kurva pada titik singgung (x1, y1) adalah y = mx + (y1 – mx1) dimana m = f’(x) HOME

7 3. Beberapa keadaan garis : a. Jika gradiennya > 0, maka
keadaan garis naik. b. Jika gradiennya < 0, maka keadaan garis turun. c. Jika gradiennya = 0, maka keadaan garis mendatar. HOME

8 Jawab : m = y’ = 6x – 4 x = 1  m = 6(1) – 4 = 2
Contoh 1: Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 3x2 – 4x + 5 pada titik (1, 4) Jawab : m = y’ = 6x – 4 x = 1  m = 6(1) – 4 = 2 Pers. garis singgung : y = mx + c  c = y1 – mx1 y = 2x + (4 – 2.1) = 2x – 2 HOME

9 Jawab : m = 3x2 – 6x x = 2  m = 3(2)2 – 6(2) = 0
Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva berikut : y = x3 – 3x2 + 6 pada titik (2, 2) Jawab : m = 3x2 – 6x x = 2  m = 3(2)2 – 6(2) = 0 Pers. garis singgung : y = mx + c  c = y1 – mx1 y = 0.x + (2 – 0.2) y = 2 HOME

10 3a2+6a+3= 0 a = -1  titik singgung (-1, 3) a2+2a+1= 0 (a +1)(a+1) = 0
Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3+3x2+x+2 pada titik (a, 3) sejajar dengan garis y = -2x – 5 Jawab : y = x3+3x2+x+2  m1 = 3x2+6x+1 y = -2x – 5  m2 = -2  m1= m2= -2 x = a  m1 = -2 3a2+6a+1= -2 3a2+6a+3= a = -1  titik singgung (-1, 3) a2+2a+1= 0 (a +1)(a+1) = 0 HOME

11 m = -2 dan titik singgung (-1, 3)  y = mx + (y1 – mx1)
y = -2x + [3 – (-2)(-1)] y = -2x + 1 HOME

12 4. Hubungan kurva dengan garis singgung kurva :
1. Jika garis singgung kurva bergradien > 0, maka kurva naik. 2. Jika garis singgung kurva bergradien < 0, maka kurva turun. 3. Jika garis singgung kurva bergradien = 0, kurva pada titik singgungnya mencapai stasioner (tidak naik dan tidak turun /mendatar) HOME

13 f’(x1) + Keadaan / \ 5. Beberapa keadaan di sekitar titik
stasioner pada kurva : 1. f’(x1) + Keadaan / \ Bentuk gambarnya Berarti titik stasionernya maksimum di (x1, f(x1)), maka Nilai maksimum fungsi adalah ymaks= f(x1) HOME

14 f‘(x2) + Keadaan \ / 2. Bentuk gambarnya
+ Keadaan \ / 2. Bentuk gambarnya Berarti titik stasioner minimum di titik (x2, f(x2)). Maka nilai minimum fungsi adalah : ymin = f(x2) HOME

15 berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (x4, f(x4))
4. f‘(x2) Keadaan \ Bentuk gambarnya berarti titik stasioner merupakan titik belok di titik (x4, f(x4)) HOME

16 f‘(x2) + Keadaan \ / 2. Bentuk gambarnya
+ Keadaan \ / 2. Bentuk gambarnya Berarti titik stasioner minimum di titik (x2, f(x2)). Maka nilai minimum fungsi adalah : ymin = f(x2) HOME

17 y = x3 - 6x2 + 9x – 1 Gambarlah persamaan kurva berikut ini : Jawab :
m = y’= 3x2 – 12 x + 9 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x1=1, x2 = 3 y2 = x3 - 6x2 + 9x – 1 = 27 – – 1 = - 1 y1 = x3 - 6x2 + 9x – 1 = 1 – – 1 = 3 HOME

18 m  + - + x  1 3 Titik stasioner min. Titik stasioner maks. ( 1 , 3 )
( 3 , - 1 ) HOME

19 Ilustrasi pengertian Pengertian Latihan soal
Ilustrasi fungsi naik dan turun Fungsi naik dan fungsi turun Latihan soal

20 Y=f(x) HOME

21 Fungsi naik adalah : Fungsi yang nilai f (x) bertambah seiring pertambahan nilai x ke kanan Fungsi turun adalah : Fungsi yang nilai f (x) berkurang seiring pertambahan nilai x ke kanan

22 m = tg α m = f ‘ (x) dan gambar : Y=f(x) y x Dari pengertian : y2 y1
 x x X HOME

23 Fungsi naik dan fungsi turun
• Jika f ‘ (x) > 0 untuk setiap x dalam interval L, maka fungsi f (x) naik dalam interval L. •Jika f ‘ (x) < 0 untuk setiap x dalam interval L, maka fungsi f (x) turun dalam interval L. Jika f’(x)  0 untuk setiap x dalam interval L, maka f(x) tidak pernah turun pada L. F’(x) ≤ 0 untuk setiap x dalam interval L, maka f(x) tidak pernah naik pada L.

24 Tentukan interval-interval fungsi f (x) = agar menjadi fungsi naik
Contoh : Tentukan interval-interval fungsi f (x) = agar menjadi fungsi naik Jawab : f (x) fungsi naik maka f’ (x) > 0 ( 5x – 3 ) ( 2x – 1 ) > 0 Pembuat nol fungsi ( 5x – 3 ) ( 2x – 1 ) = 0 x = 3/5 atau x = 1/2 3/ /2 Jadi fungsi f(x) naik pada interval x < 3/5 atau x > 1/2

25 Tentukan interval-interval fungsi f(x) = agar menjadi fungsi turun
Contoh : Tentukan interval-interval fungsi f(x) = agar menjadi fungsi turun Jawab : f (x) fungsi turun maka f’ (x) < 0 ( 5x – 3 ) ( 2x – 1 ) < 0 Pembuat nol fungsi ( 5x – 3 ) ( 2x – 1 ) = 0 x = 3/ atau x = 1/2 3/ /2 Jadi fungsi f(x) naik pada interval ½ < x < 3/5

26 Latihan Tentukan interval di mana fungsi f (x) = ( x + 5 ) ( x – 20 ) turun ! Tentukan interval dimana fungsi f (x) = - x² + 5x + 8 naik ! Tentukan interval dimana fungsi f (x) = 2x³ + 3x² - 12x naik ! Tentukan interval dimana fungsi f (x) = x - 3x² - x³ turun ! Tentukan interval dimana fungsi f (x) = ( x² + 3 ) : ( x – 1 ) naik !

27 Penggunaan turunan Latihan soal

28 Merancang dan menyelesaikan model matematika dari soal yang berhubungan dengan nilai maksimum dan minimum: Dalam kehidupan sehari-hari sering sekali, anda dihadapkan pada persoalan nilai maksimum dan nilai minimum seperti menentukan luas terbe – besar, harga termurah, lintasan terbesar, dan kasus lain serupa. Metode nilai maksimum dan nilai minimum merupakan salah satu cara untuk menyelesaikan persoalan-persoalan tersebut. Untuk menyelesaikan nilai maksimum dan minimum Rumus yang digunakan adalah : f’(x) = 0 HOME

29 Ilustrasi menentukan luas maksimum suatu daerah
Y Berapakah luas maksimum daerah yang diarsir ? 3 Jawab : Luas ? (x, y) Luas ? y X 6 x = 6 – 2y HOME

30 Luas dalam fungsi y = L(y) = x.y = (6 – 2y)y = 6y – 2y2
Syarat ekstrim : f’(y) = 0 6 – 4y = 0 y = 3/2 y = 3/2  L(y) = (6 – 2y)y = [6 – 2(3/2)] (3/2) = 3(3/2) = 9/2 Jadi luas maksimum = 9/2 satuan luas HOME

31 Kecepatan dan percepatan:
Untuk fungsi yang menyatakan sebagai jarak umumnya disimbolkan sebagai s(t), s satuan jarak dan t satuan waktu maka: Kecepatan = v(t) = s’(t) Percepatan = a(t) = v’(t) HOME

32 Kecepatan dan percepatan:
Terdapat lintasan bola yang sedang menggelinding dengan persamaan lintasannya berbentuk h(t) = 3t2 – 12t + 10 dengan h ketinggian bola dalam meter dan t dalam detik. Berapakah ketinggian bola pada saat 2 detik? Berapakah kecepatan bola pada saat 3 detik? Berapakah percepatan bola pada saat 5 detik? Kapankah ketinggiannya mencapai minimum?

33 Jawab : h(2) = 3t2 – 12t + 10 = 3(2)2 –12(2) +10
= 12 – = - 2 meter b. V(t) = h’(t) = 6t – 12 = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6 m/det Jawab : c. a(t) = v’(t) = 6 m/det2 d. Syarat ekstrim: h’(t) = 0 6t – 12 = 0  t = 2 detik Jadi ketinggian minimum tercapai pada saat t = 2 detik.

34 1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang
1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Tanah ini akan dipagar untuk peternakan sapi. Pagar ka-wat yang tersedia panjangnya 800 m. Tentukan luas maksimum peternakan sapi itu ! 2. Tinggi suatu roket setelah t detik adalah h(t)= 900t – 5t². Tentukan tinggi maksimum roket tersebut ! 3.Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya proyek per hari dinyatakan ribu rupiah, tentukan biaya minimum proyek tersebut !

35 SEKIAN DAN TERIMAKASIH