Teori Graf – Matematika Diskrit

Presentasi berjudul: "Teori Graf – Matematika Diskrit"— Transcript presentasi:

1 Teori Graf – Matematika Diskrit
Graf tak berarah Teori Graf – Matematika Diskrit

2 Jenis – jenis Graf Berdasarkan jenis garis – garisnya, graf dibedakan dalam 2 kategori, yaitu : Graf Tak Berarah (Undirected Graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak – berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.

3 Jenis – jenis Graf Graf Berarah (Directed Graph = Digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v), simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v disebut sebagai Simpul Terminal.

4 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Definisi 2 Graf Sederhana (Simple graf) adalah graf yang tidak mengandung Loop maupun Garis Paralel. Graf di bawah ini adalah contoh graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (Unordered Pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u). Kita juga dapat mendeskripsikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda yang disebut sisi.

5 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak sederhana (Unsimple-graph), adalah graf yang mengandung garis paralel atau Loop. Ada dua macam Graf tak sederhana, yaitu : Graf Ganda (MultiGraph), adalah graf yang mengandung sisi ganda (garis paralel). Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah.

6 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
2. Graf Semu (Pseudograph), adalah graf yang mengandung Loop. Contoh geaf di bawah ini disebut graf semu walaupun memiliki sisi ganda sekalipun.

7 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Contoh soal: Gambarlah sebuah graf sederhana yang dapat di bentuk dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis.

8 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian : Sebuah garis dalam graf sederhana selalu berhubungan dengan 2 titik. Oleh karena ada 4 titik, maka ada C(4,2) = 6 garis yang mungkin di buat. Yaitu garis – garis dengan titik ujung {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.

9 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian : Dari keenam garis yang mungkin tersebut, selanjutnya dipilih 2 garis diantaranya. Jadi ada C(6,2) = 15 buah graf yang mungkin di bentuk dari 4 buah titik dan 2 buah garis.

10 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)

11 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Definisi 3 Graf Lengkap (Complete Graph) dengan n titik (simbol Kn) adalah graf sederhana dengan n titik, di mana setiap 2 titik berbeda dihubungkan dengan suatu garis. Teorema 1 Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n titik adalah .

12 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Contoh soal: Gambarlah K2, K3, K4, K5, K6 !

13 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian : K2 n = 2 Jadi banyak garisnya adalah 1, dan gambarnya adalah :

14 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian : K3 K4

15 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Penyelesaian : K5 K6

16 Komplemen Graf Definisi 3 Komplemen suatu graf G (Simbol ) dengan n titik adalah suatu graf sederhana dengan : 1. Titik – titik sama dengan titik – titik G. Jadi, V ( ) = V(G) 2. Garis – garis adalah komplemen garis – garis G terhadap graf lengkapnya (Kn). Titik – titik yang dihubungkan dengan garis dalam G tidak terhubung dalam . . Sebaliknya, titik – titik yang terhubung dalam G menjadi tidak terhubung dalam .

17 Komplemen Graf Contoh Soal :
Gambarlah Komplemen graf G yang di definisikan dalam Gambar di bawah ini !

18 Komplemen Graf Penyelesaian :
Titik – titik dalam sama dengan titik – titik dalam G, sedangkan garis – garis dalam adalah garis – garis yang tidak berada dalam G. Pada gambar (a), titik – titik yang tidak dihubungkan dengan garis dalam G adalah garis dengan titik – titik ujung {a,d}, {a,e}, {b,c}, dan {b,e}

19 Komplemen Graf Penyelesaian :
Jadi graf dapat digambarkan sebagai berikut :

20 Komplemen Graf Silakan gambar graf untuk gambar (b) dan (c) !

21 Komplemen Graf Soal Latihan :
Misalkan G adalah suatu graf dengan n buah titik dan k buah garis. Berapa banyak garis dalam ?

22 Sub-Graf Definisi 4 Misalkan G adalah suatu graf. Graf H dikatakan sub-graf G bila dan hanya bila : a. V(H) V (G) b. E(H) E (G) c. Setiap garis dalam H memiliki titik ujung yang sama dengan garis tersebut dalam G.

23 Sub-Graf Dari definisi di atas, ada beberapa hal yang dapat diturunkan : Sebuah titik dalam G merupakan Sub-Graf G. Sebuah garis dalam G bersama- sama dengan titik – titik ujungnya merupakan sub-graf G. Setiap graf merupakan subgraf dari dirinya. Dalam subgraf berlaku sifat transitif : Jika H adalah Subgraf G dan G adalah Subgraf K, maka K adalah subgraf K.

24 Sub-Graf Perhatikan gambar di bawah ini, apakah H merupakan subgraf G ?? a.

25 Sub-Graf Penyelesaian :
V (H) = {v2, v3} dan V (G) = {v1 , v2, v3} sehingga V(H) V (G). E(H) = {e4} dan E(G)= {e1,e2, e3, e4} sehingga E(H) E (G). Garis e4 di H merupakan Loop pada v2 dan Garis e4 juga merupakan loop pada v2 di G. Dengan demikian, H merupakan subgraf G.

26 Sub-Graf Apakah H merupakan SubGraf dari G?
Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini : a. Apakah H merupakan SubGraf dari G?

27 Sub-Graf Apakah H merupakan SubGraf dari G?
Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini : b. Apakah H merupakan SubGraf dari G?

28 Sub-Graf Apakah H merupakan SubGraf dari G?
Perhatikan Gambar – gambar di bawah berikut ini : c. Apakah H merupakan SubGraf dari G?

29 Sub-Graf Perhatikan Gambar di bawah ini, gambarlah subgraf yang mungkin d bentuk dari graf tersebut.