Sistem SDOF dengan getaran bebas

Presentasi berjudul: "Sistem SDOF dengan getaran bebas"— Transcript presentasi:

1 Sistem SDOF dengan getaran bebas
TANPA REDAMAN

2 GETARAN BEBAS TANPA REDAMAN
STRUKTUR HANYA MENGALAMI GETARAN KARENA DIRINYA SENDIRI TANPA ADA BEBAN LUAR TIDAK MENGALAMI EFEK REDAMAN

3 Penguraian Persamaan Umum Gerak Sistem Getaran Bebas tak teredam
m.a + k.x = F(t) Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian : 1. Bagian Utama (Particular Solution) : m.a + k.x 2. Bagian Pelengkap (Complementary) F(t) = 0

4 Untuk penyelesaian dipilih bentuk x = E cos ft
Sehingga : dx/dt = - fE sin ft dx2/dt2 = - f2 E cos ft Jika dimasukkan ke persamaan menjadi : ma+kx=0 - mf2 E cos ft + k E cos ft = K cos ft - mf2 E + k E = K E = K / (k - mf2) Maka Jawab Umum x = K cos ft K – mf2

5 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL GERAK
Sehingga Solusi persamaan gerak yang terjadi adalah : x = A cos wt + B sin wt x = -Aw sin wt + Bw cos wt dimana w = √ k/m (frekwensi alami) Pada gerak ini : C = 0 karena tidak ada faktor peredam F(T) = 0 karena getarnya bebas .

6 FREKWENSI ALAMI DAN PERIODE
Pada getaran bebas tak teredam frekwensi yg terjadi adalah frekwensi natural (alami) dimana : w = √ (k/m) f = w / 2p Kebalikan dari frekwensi natural adalah Periode yg dinyatakan dalam detik/siklus T = 1/f = 2p / w

7 PERPINDAHAN YANG TERJADI
Y= C sin (wt + a ) atau Y = C cos (wt - b ) Dimana : C ={ yo2 + (V0/w)2}1/2 Tan a = yo/ (vo/w) Tan b = vo/w yo

8 Sistem SDOF dengan getaran bebas
b. DENGAN REDAMAN

9 SISTEM GETARAN BEBAS DGN REDAMAN PADA STRUKTUR SINGLE DOF
Persamaan Umum ; m.a + c.v +k.x = F(t) Dimana persamaanya dibedakan menjadi 2 bagian : 1. Bagian Utama (Particular Solution) : m.a + c.v + k.x 2. Bagian Pelengkap (Complementary) F(t) = 0

10 Untuk penyelesaian dipilih bentuk Y = C ept
Sehingga : ma + cv +kx = 0 m Cp2 ept + c Cp ept +k C ept = 0 Dgn menghilangkan faktor yang sama akan muncul persamaan kareakteristik : m p2 + c p + k = 0 Dan akar2 persamaan kuadratnya adalah : p1,p2 = -c/2m + √ {(c/2m)2 – k/m}

11 Sehingga Solusi Umum persamaan Gerak yang terjadi
y(t) = C1 ep1t + C2 ep2t Dimana : C1 dan C2 adalah konstanta integrasi yang ditetapkan sebagai kondisi awal.

12 REDAMAN YANG TERJADI REDAMAN SUB KRITIS REDAMAN KRITIS
REDAMAN SUPERKRITIS

13 PENYELESAIAN PERSAMAAN
AKAR DARI PERSAMAAN KUADRAT p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m Sehingga Solusi Umum untuk persamaan tersebut adalah : y(t) = C1ept + C2 ept Dimana C1 dan C2 adalah konstanta integrasi

14 SISTEM REDAMAN ADA TIGA JENIS REDAMAN :
Sistem redaman kritis (Critical Damped System) Sistem redaman superkritis (Overdamped System) Sistem redaman subkritis (Underdamped System)

15 Redaman kritis Terjadi jika ekspresi dibawah tanda akar persamaan adalah = 0 ( ccr/2m)2 – k/m = 0 ccr = 2 √km Dimana Ccr = harga redaman kritis karena frekwensi natural sistem tak teredam dinyatakan oleh ω = √k/m maka koefisien redaman kritis ccr = 2m ω = 2k / ω

16 Redaman Kritis Harga akar persamaan adalah sama yaitu p1 = p2 = - ccr /2m Sehingga solusi yang dapat digunakan adalah : y1(t) = C1 e-(ccr/2m)t dan y2(t) = C2 t e-(ccr/2m)t Superposisi dari keduanya : y(t) = (C1 + C2 t) e-(ccr/2m)t

17 Dimana : m = masa beban / sistem k = kekakuan struktur
Y = perpindahan yang terjadi Ccr = redaman kritis P12 = akar persamaan yang terbentuk C12 = konstanta yang terbentuk akibat penyelesaian persamaan diferensial W = frekuensi natural

18 REDAMAN SUB KRITIS Terjadi jk nilai redaman yang terjadi lebih kecil dari harga kritis (C<Ccr) Dan nilai akar persamaan kuadratnya adalah bilangan kompleks (mengandung bilangan imaginer) p1,p2 = -c/2m + √ (c/2m)2 – k/m (complex value) Dimana persamaan euler utk menghubungkan PD dgn pers trigonometrik adalah eix = cos x + i sin x e-ix = cos x – i sin x

19 Solusi Persamaan Gerak Redaman Subkritis
Dengan mensunstitusikan akar p1 dan p2 maka y(t)= e-(c/2m)t (A cos wDt + B sin wDt) Dimana Frekwensi System: wD =√ { k/m – (c/2m)2} atau wD = w √(1-ξ2) Dengan w = √ k/m ( frekwensi Natural) ξ = c / cr ( Ratio Redaman) Dan c = adalah redaman yang terjadi (kondisi subkritis)

20 Persamaan Gerak dengan Syarat Kondisi Awal
Apabila ditentukan kondisi awal (Initial Condition) yo dan vo (perpindahan dan kecepatan awal) y(t) = e-ξwt (yo cos wDt + vo+wyoξw sin wDt) Atau y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a) Dimana : C = √(yo2 + (vo+yoξw)2/wD2) tan a = (vo+yoξw)/wDyo) wD adalah frekwensi sistem dengan redaman

21 Periode Redaman Getaran
Amplitudo getaran tidak konstan tapi berkurang dengan interval yang sama yang disebut periode getaran TD = 2p / wD = w √(1-ξ2) Harga koefisien redaman untuk struktur lebih kecil sekitar 2 sampai 20% dari redaman kritis atau Nilai ξ = 0,2 dan wD = 0,98 w

22 PENGURANGAN LOGARITMIS
Pengurangan Logaritmis Merupakan Ratio antara dua puncak amplitudo yang berturutan dari suatu getaran bebas d = ln y1/y2 Sehingga untuk y(t) = C e-ξwt cos (wDt –a) dan y1 = C e-ξwt1 y2 = C e-ξwt(t1+Td) Maka d = ln y1/y2 = ξwtD atau d = 2pξ / √ (1- ξ2) utk ξ yg sangat kecil maka d = 2pξ

23 REDAMAN SUPERKRITIS Koefisien redaman yang terjadi lebih besar dari redaman kritis c > ccr Sehingga nilai akar persamaan ( P1,2) bernilai real dan berbeda Maka perpindahan yang terjadi adalah y(t) = C1 e p1t + C2 e p2t

24 CONTOH Sebuah Struktur memiliki W = 10 N, kekakuan 20 N/m, dua amplitudo berturutan y1=1,0 dan y2=0,85 Hitung a. Frekwensi Natural b. Pengurangan Logaritmis c. Ratio Redaman d. Koefisien Redaman e. Frekwensi teredam

25 Penyelesaian (Satuan Menyesuaikan)
Frekwensi Natural w = √ (k/m) = √ 20x10 /10 Pengurangan Logaritmis d = ln y1/y2 = y1= ln (1,0/0,85) Ratio Redaman d = 2pξ shg ξ = d /2p Koefisien Redaman ccr = 2 √km dan ξ = C/Ccr shg C = ξ xCcr Frekwensi Teredam wD = w √(1-ξ2) W = 10 N, kekakuan 20 N/m ccr = 2 √km d = 2p d = 2pξ y1=1,0 dan y2=0,85 d = ln y1/y2 ξ = c / cr