BAGIAN 3: ALJABAR PROPOSISI DAN PENARIKAN SIMPULAN

Presentasi berjudul: "BAGIAN 3: ALJABAR PROPOSISI DAN PENARIKAN SIMPULAN"— Transcript presentasi:

1 BAGIAN 3: ALJABAR PROPOSISI DAN PENARIKAN SIMPULAN
LOGIKA MATEMATIKA BAGIAN 3: ALJABAR PROPOSISI DAN PENARIKAN SIMPULAN

2 HUKUM ALJABAR PROPOSISI (ATURAN PENGGANTIAN)
Digunakan untuk membuktikan: Dua proposisi ekivalen (selain menggunakan tabel kebenaran) Suatu proposisi tautologi atau kontradiksi (selain menggunakan tabel kebenaran) Membuktikan kesahan suatu argumen

3 Hukum Idempoten (Idem) ( p v p )  p ( p  p )  p
Hukum Assosiatif (As) ( p v q ) v r  p v ( q v r ) ( p  q )  r  p  ( q  r ) Hukum Komutatif (Kom) ( p  q )  ( q  p ) ( p v q )  ( q v p ) Hukum Distributif (Dist) ( p v q )  r  ( p  r ) v ( q  r ) ( p  q ) v r  ( p v r )  ( q v r )

4 Hukum Komplemen (Komp)
Hukum Identitas (Id) p v F  p p v T  T p  F F p  T  p Hukum Komplemen (Komp) p v ~ p  T p  ~ p  F ~(~ p)  p ~(T)  F dan ~ (F)  T Transposisi (trans) p  q  ~ q  ~ p Hukum Implikasi (imp) p  q  ~ p v q

5 Hukum Ekivalensi (Eki)
p  q  ( p  q )  ( q  p ) p  q  ( p  q ) v ( ~ p  ~ q ) Hukum Eksportasi (Eks) p  ( q  r )  ( p  q )  r Hukum de Morgan (DM) ~ ( p  q )  ~ p v ~ q ~ ( p v q )  ~ p  ~ q

6 Contoh soal 1. Buktikan bahwa: p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) menggunakan aturan penggantian. Penyelesaian: p ⇒ (q ∧ r) ≡ ~ p v (q ∧ r) (Imp) ≡ (~ p v q) ∧ (~ p v r) (Dist) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) (Imp) Terbukti

7 2. Buktikan bahwa ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu kontradiksi dengan menggunakan aturan penggantian Penyelesaian: ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) ek (((-p) v (-q)) ⇒(-((-p) v (-q)))) ∧ ((-((-p) v (-q))) ⇒ ((-p) v (-q))) (eki) (-((-p) v (-q)) v (-((-p) v (-q)))) ∧ (-(-((-p) v (-q))) v ((-p) v (-q))) (Imp, DM) ((-(-p) ∧ -(-q)) v (-(-p) ∧ -(-q))) ∧ (((-p) v (-q) v ((-p) v (-q))) (DM, komp) ((p ∧ q) v (p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q)) (komp, idem) (p ∧ q) ∧ ((-p) v (-q)) (idem) ((p ∧ q) ∧ (-p)) v ((p ∧ q)∧(-q)) (dist) (p ∧ (-p) ∧ q) v (p ∧ (q ∧ (-q))) (Kom, Ass)

8 (F ∧ q) v (p ∧ F) (Komp) F v F (Komp) F ( Idem) Jadi ((-p) v (-q)) ⇔(-((-p) v (-q))) suatu kontradiksi

9 3. Buktikan argumen berikut ini sah menggunakan aturan penggantian
p ⇒ q -q / ∴ -p Penyelesaian Argumen di ubah menjadi bentuk implikasi yaitu ((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p) Perhatikan bahwa ((p ⇒ q) ∧ (-q)) ⇒ (-p) ek -((p ⇒ q) ∧ (-q)) v (-p) (Imp) (-(p ⇒ q) v –(-q)) v (-p) (DM) (-(p ⇒ q) v q) v (-p) (Komp) (-(-p v q) v q) v (-p) (Imp) ((-(-p) ∧ (-q)) v q ) v (-p) (DM) ((p ∧ (-q)) v q ) v (-p) (Komp) ((p v q) ∧ ((-q) v q)) v (-p) (Dist)

10 ((p v q) ∧ T ) v (-p) (Komp) (pv q) v (-p) (ident) p v (q v (–p)) (Ass) p v ((-p) v q) (Kom) (p v (-p)) v q (Ass) T v q (komp) T (Ident) Jadi argumen sah.

11 ATURAN PENYIMPULAN Modus Ponens (MP) p ⇒ q p ∴ q Modus Tollens (MT) -q
Silogisme (Sil) q ⇒ r ∴ p ⇒r

12 Distruktif Silogisma (DS)
p v q -p ∴ q Konstruktif Delema (KD) (p⇒q) ∧ (r⇒s) p v r ∴ q v s Distruktif Delema (DD) -q v -s ∴ -p v -r

13 Simplifikasi (Simp) p ∧ q ∴ p Adisi (Ad) p ∴ p v q Konjungsi (Konj) q ∴ p ∧ q

14 Contoh soal 1. a  b 2. c  d 3. ( ~b v ~d )  ( ~a v ~b )/ ~a v ~c
Buktikan kesahan argumen berikut ini menggunakan aturan penyimpulan 1. a  b 2. c  d 3. ( ~b v ~d )  ( ~a v ~b )/ ~a v ~c Penyelesaian: 1. a b 4. (a  b )  ( c  d ) 1,2 Conj 5. ( ~b v ~d ) , Simpl 6.~ a v ~c ,5 DD (Argumen sah)

15 Aturan bukti bersyarat (ABB)
Catatan ABB dapat digunakan apabila konklusi argumen merupakan implikasi Prosedur pembuktian ABB yaitu menarik antiseden dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) dan konsekuennya menjadi konklusi argumen

16 Contoh Soal Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan ABB
(a v b) ⇒ (c ∧ d) (d v e) ⇒ f / ∴ a ⇒ f a / ∴ f (asumsi) a v b (3 Ad) (c ∧ d) (1,4 MP) d (5 simp) d v e (6 ad) f (2,7 MP) a ⇒ f s.d 8 ABB

17 Bukti Tak Langsung Menarik ingkaran dari konklusi menjadi premis baru (premis tambahan) Dengan menggunakan aturan penyimpulan dan hukum penggantian ditunjukkan adanya kontradiksi Setelah ditemukan kontradiksi kita tinggal menggunakan prinsip Adisi dan Distruktif Silogisma

18 Contoh soal Buktikan kesahan argumen berikut ini dengan BTL
a v (b ∧ c) a⇒ c / ∴ c -c (asumsi) -a (2,3 MT) -a v b ( 4 Ad) a ⇒ b (5 Imp) (a v b) ∧ (a v c) ( 1 Dist) a v c (7 Simp) c v a (8 Kom) -c ⇒ a ( 9 imp) a (10,3 MP)

19 a ∧ -a (11,4 Konj) a v c ( 11 Ad) c ( 13,4 DS)