Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id KALKULUS Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id.

Presentasi berjudul: "Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id KALKULUS Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id."— Transcript presentasi:

1 Eva Safaah, ST e_safaah@yahoo.co.id
KALKULUS Eva Safaah, ST

2 Himpunan kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

3 Definisi Himpunan Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...). Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

4 Menyatakan Suatu Himpunan
Enumerasi: mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. ex : A = {a, i, u, e, o} Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. P = himpunan bilangan bulat positif Z = himpunan bilangan bulat R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan komplek Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat} 4. Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

5 Himpunan Kosong Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}
memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong. Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai: Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

6 Format Penulisan N = 1, 2, 3, ... Z = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Q = bentuk m/n R = ..,-1,-¾,-¼,0,¼, ¾,1… C = a + bi Bil. Imajiner = sifatnya i 2 = −1 Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

7 Simbol – Simbol Khusus Teacher Give You One, Book Give You More
19/01/2010

8 Relasi Antar Himpunan Teacher Give You One, Book Give You More
19/01/2010

9 Subhimpunan Misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari himpunan tersebut. {apel, jeruk} {jeruk, pisang} {apel, mangga, pisang} Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan atau himpunan bagian dari A. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

10 Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A. Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya. Subhimpunan sejati dari A menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

11 Superhimpunan Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

12 Kesamaan dua himpunan Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A. Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

13 Himpunan Kuasa Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A. { { }, {apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang}, {apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang}, {jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel, mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang}, {apel, jeruk, mangga, pisang} } Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

14 Kelas Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka himpunan kuasanya, adalah sebuah keluarga himpunan. Contoh berikut, bukanlah sebuah kelas, karena mengandung elemen c yang bukan himpunan. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

15 Jenis Himpunan Jenis Notasi Keterangan
Himp.A yg anggota-anggotanya semua huruf kecil dalam abjad A = { a, b, c, .... } A adalah nama yg diberikan kepada suatu himpunan Himpunan yg anggotanya sama banyak A  B A = { 1,2, 3, 4 } B = { a, b, c, d } Jml anggoota A = 4 ditulis n(a) = 4 Jml anggoota B = 4 ditulis n(b) = 4 Jadi, n(A) = n(B) = 4 Himpunan yg sama A = B Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, bila setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya. Himpunan kosong { } atau  Himpunan yg tidak mempunyai anggota sama sekali Himpunan bagian A  B A Himpunan bagian dari himpunan B Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

16 Jenis Notasi Keterangan
Himpunan universum, atau semesta pembicaraan U atau S A adalah himpuman dari semua unsur yang dibicarakan Himpunan komplemen A` atau Ac U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A = { 3, 5 } A` = Ac = Himpunan komplemen dari A = { 1, 2, 4, 6 } Himpunan lepas A // B Himpunan A lepas dari himpunan B, bila tidak ada anggota A yg menjadi anggota B Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

17 Hukum (sifat-sifat) operasi
Jenis Operasi Hukum (sifat-sifat) operasi Gabungan A  B = B  A disebut hukum (sifat) komutatif gabungan. ( A  A )  C = A  (B  C) Sifat asosiatif A   = A A  U = U A  A = A A  A` = U disebut sifat komplemen gabungan Irisan A  B = B  A sifat komutatif irisan A  A = A A   =  A  U = A A  A` =  sifat komplemen irisan (A  B)  C = A  (B  C) sifat asosiatif irisan Distributif A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disebut sifat distributif gabungan terhadap irisan A  (B  C) = (A  B)  (A  C) disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

18 Hukum (sifat-sifat) operasi
Jenis Operasi Hukum (sifat-sifat) operasi Selisih A - A =  A -  = A A - B = A  B` A – (B  C) = (A - B)  (A – C) A – (B  C) = (A - B)  (A – C) Komplemen (A`)` = A U` =  ` = U A  A` = U A  A` =  Banyaknya anggota n(A) + n(B) ≠ n(A  B) n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(B  C) – n(C  A) + n(A  B  C) n(A) + n(B) = n(A  B) + n(A  B) n(A) + n(B) + n(C) = n(A  B  C) + n(A  B) + n(A  C) + n(B  C) - n(A  B  C) Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

19 Diagram Venn Diagram venn digunakan untuk menunjukan kebenaran dari suatu argumen Ex. Terjemahkan tiap pernyataan berikut dalam bentuk diagram venn : Semua Mahasiswa adalah Malas Beberapa mahasiswa adalah malas Tidak ada mahasiswa yang malas Tidak semua mahasiswa adalah malas Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

20 Gambar 3 Gambar 1 Gambar 2 Mahasiswa Orang Malas Mahasiswa Orang Malas
Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

21 Diagram Venn U U U A Pernyataan Diagram Himpunan semesta U
● ● ● 8 U A Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

22 U A B A = B U A B C Pernyataan Diagram A  U B  U B  A A = B
C  B  A  U U = {bilangan asli} A = { 1, 2, 3, } B = { 1, 3, 5, 9 } C = { 1, 3 } U A B U A = B U A B C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

23 Fungsi Karakteristik Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak. Jika maka: χA(apel) = 1 χA(durian) = 0 χA(utara) = 0 χA(pisang) = 1 χA(singa) = 0 Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

24 Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

25 Representasi Biner Dlm himpunan semesta S, maka setiap himpunan bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan Biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai  elemen tersebut ada nilai 0 --- elemen tersebut tidak ada. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

26 masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut.
ex : jika himpunan S = {a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c, d, f}, maka: Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

27 Operasi Himpunan Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Union : Operasi gabungan setara dengan A or B Interseksi : Operasi irisan setara dengan A and B Komplemen : Operasi komplemen AC setara dengan not A Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler- kompiler Pascal dan juga Delphi. Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

28 Operasi Himpunan Gabungan (Union)
Gabungan dua buah himpunan A dan B dinyatakan dengan A  B Himpunan semua elemen dari A dan B A B A B Saling Lepas/Asing Saling Joint/Persekutuan Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

29 Operasi Gabungan Himpunan
Ex. A = { a, b, c, d } B = { e, f } Maka, A  B = { a, b, c, d, e, f } E = { x, y, z } F= { x } Maka, E  F = { x, y, z } ●a ●c ●d ●b ●e ●f U ●y ●z E ●x F Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

30 Operasi Gabungan Himpunan
Ex. Terdapat 2 himpunan yaitu : A = { 1, 2, 3, 4 } C = = { 3, 4, 5 } Tentukan A  C dan gaambarkan diagram vennnya Penyelesaian : A  C = { 1, 2, 3, 4, 5 } U ●1 ●2 A ●3 ● 5 ●4 C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

31 Perhatikan himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 },
Ex. Perhatikan himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn A  B A  B  C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

32 Penyelesaian : A  B = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 } A  B  C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

33 A  B  C 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C A B 2 4 1 3 6 8 7 A B U 5 9 U A  B Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

34 Operasi Himpunan Persekutuan (Irisan)
Persekutuan dua buah himpunan A dan B dinyatakan dengan A  B Himpunan yang elemen-elemennya merupakan anggota dari A dan B A  B Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

35 Ex. Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn a. A  B b. A  B  C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

36 Penyelesaian : A  B = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 2, 4 }
A  B  C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 4 } Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

37 A B U 2 4 1 3 8 6 5 7 9 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C A  B A  B  C Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

38 Irisan U Ex. ●a A = { a, b, c, d } ●b B = { c, d, e }
Maka, A  B = { c, d } C = { a, b, c, d } D = { a, b } Maka, C  D = { a, b } ●a ●b A ●c ● e ●d B U ●c ●d C ●a ●b D Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

39 Ex. E = { a, b, c } F = { 1, 2, 3 } Maka, E  F =  U ●a ●b ●c E ●1 ●2
●3 F Teacher Give You One, Book Give You More 19/01/2010

40 Operasi Himpunan Selisih (relative component)
Selisih dua buah himpunan A dan B dinyatakan dengan A \ B Himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B A \ B Teacher Give you one, Book Give You More

41 Mengacu pada himpunan-himpunan berikut :
Ex. Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn A \ B A \ B \ C Penyelesaian : A \ B = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 1, 3 } A \ B \ C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1 } Teacher Give you one, Book Give You More

42 A B U 2 4 1 3 8 6 5 7 9 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C A \ B \ C A \ B Teacher Give you one, Book Give You More

43 Selisih Himpunan U Ex. A = { a, b, c } B = { d, e } Maka, A / B = { a, b, c } C = { 1, 2, 3 } D = { 3, 4 } Maka, C / D = { 1, 2 } ●a ●b ●c A ●d ●e B U ●1 ●2 C ●3 ● 4 D Teacher Give you one, Book Give You More

44 Selisih Himpunan U C = { 1, 2, 3 } D = { 3, 4 } Maka, D / C = { 4 } ●4
●3 ● 1 ● 2 C Teacher Give you one, Book Give You More

45 Operasi Himpunan Complemen (Absolute Component)
Komplemen dari himpunan A dinyatakan dengan AC Himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota dari A AC Teacher Give you one, Book Give You More

46 Mengacu pada himpunan-himpunan berikut :
Ex. Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn ( A \ B )C ( A  B  C )C Penyelesaian : ( A \ B )C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 2, 4 , 6, 7, 8, 9 } ( A  B  C )C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3 , 5, 6, 7, 8, 9 } Teacher Give you one, Book Give You More

47 A B U 2 4 1 3 8 6 5 7 9 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C ( A \ B )C ( A  B  C )C Teacher Give you one, Book Give You More

48 Himpunan Complement Ex.
Diketahui himpunan semesta = {1,2,3,4,5,..,10), A = {1,3,5,7}, B {2,4,6,8} , C = {2,4,7,9}.Tentukanlah Ac , Bc dan Cc Jawab Ac = { 2,4,6,8,9,10 } Bc = { 1,3,5,7,9,10 } Cc = { 1,3,5,6,8,10}

49 Himpunan Komplemen U A` atau komplemen dari A (A  B)` = A`  B` A U B
Teacher Give you one, Book Give You More

50 A`  B` = (A  B)` U B A Teacher Give you one, Book Give You More

51 Penyajian himpunan Mendaftar semua anggotanya dan tidak harus berurutan A = {1,2,3,4} Mendaftar sifat yang diperlukan untuk menjadi anggotanya A = {x | x < 0}

52 1 bukan anggota dari himpunan A 5 adalah anggota himpunan dari B
Ex. Tuliskan kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan : 1 bukan anggota dari himpunan A 5 adalah anggota himpunan dari B A adalah himpunan bagian/ sama dengan (subset) C A bukan himpunan bagian/ sama dengan (subset) D F mengandung semua elemen dari G E dan F mengandung elemen-elemen yang sama Penyelesaian 1  A 5  B A  C A  D G  F atau F ≥ G E = F Teacher Give you one, Book Give You More

53 Cara untuk menentukan himpunan suatu himpunan tertentu
1. Menentukan elemen-elemennya. ex. A = { a, e, i, o, u } menyatakan himp.A yang mempunyai elemen-elemen a, e, i, o, u. Ingat bahwa elemen-elemen tsb dipisahkan dengan tanda koma dan ditutup dengan { }. Menentukan sifat-sifat yang mencerminkan elemen-elemen dalam himpunan. ex. B = { x: x adalah bil.bulat, x > 0 } “ B adalah himpunan dari x sedemikian hingga x adalah bilangan bulat yang lebih besar dari 0”, B mempunyai elemen-elemen bilangan bulat positip. sebuah abjad, biasanya x, digunakan untuk menyatakan tipe atau jenis anggota himpunan ; tanda titik dua menyatakan “sedemikian hingga” dan koma menyatakan “dan”. Teacher Give you one, Book Give You More

54 B = { x: x  N, x bilangan genap, x < 15 }
Ex. Tuliskan elemen-elemen dari himpunan-himpunan berikut; dalam hal ini N = { 1, 2, 3, ... } a. A = { x: x  N, 3 < x < 12 } B = { x: x  N, x bilangan genap, x < 15 } C = { x: x  N, 4 + x = 3 } Penyelesaian : A terdiri dari bilangan bulat positip antara 3 dan 12 ; sehingga: A = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 } Terdiri dari bilangan bulat genap positip yang kurang dari 15; sehingga: B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 } c. Tidak ada bilangan bulat positip yang memenuhi syarat 4 + x = 3; sehingga C tidak mempunyai elemen. Dengan kata lain, C = , himpunan kosong Teacher Give you one, Book Give You More

55 Operasi Himpunan Selisih Simetris
Selisih Simetris dari himpunan A dan B dinyatakan dengan A  B Himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota A dan B tetapi bukan anggota persukutuan/irisan A dan B A  B Teacher Give you one, Book Give You More

56 Untuk himpunan-himpunan berikut :
Ex. Untuk himpunan-himpunan berikut : U = { 1, 2, 3, … , 8, 9 }, A = { 1, 2, 3, 4}, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 4, 5, 6 }, Tentukanlah himpunan penyelesaian dan diagram Venn A  B A  B  C Penyelesaian : A  B = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 } = { 1, 3, 6, 8 } A  B  C = { 1, 2, 3, 4 }  { 2, 4, 6, 8 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3, 5, 6, 8 } Teacher Give you one, Book Give You More

57 A B U 2 4 1 3 8 6 5 7 9 4 2 6 3 1 8 5 7 9 U A B C A  B A  B  C Teacher Give you one, Book Give You More

58 Himpunan Berhingga Terdapat m elemen/anggota berbeda dimana m menyatakan suatu bilangan bulat non negatif (positip) Notasi menyatakan jumlah elemen n(A) Teacher Give you one, Book Give You More

59 Tunjukan manakah himpunan berikut yang berhingga :
Ex, Tunjukan manakah himpunan berikut yang berhingga : A = { Musim dalam Setahun } B = { Negara bagian Amerika } C = { Bilangan Postif kurang dari 1} D = { Faktor dari 12} Penyelesaian : A berhingga karena 4 musim dalam setahun, maka n(A) = 4 B berhingga karena ada 50 negara bagian di amerika, n(B) = 50 Tidak ada bilangan bulat positip yang kurang dari 1, maka C =  dan n(C) = 0 faktor pembagi 12 D = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }, maka D berhingga n(D) = 6 Teacher Give you one, Book Give You More

60 Himpunan Tak Berhingga
Terdapat m elemen/anggota berbeda dimana m menyatakan suatu bilangan bulat negatif Tidak bisa terhitung jumlah elemen Teacher Give you one, Book Give You More

61 Tunjukan manakah himpunan berikut yang tak berhingga :
Ex. Tunjukan manakah himpunan berikut yang tak berhingga : A = { Bilangan bulat negatif } B = { Garis Melalui Titik Pusat } C = { angka 1 di bagi 0 } Penyelesaian : A tak berhingga, ada jumlah tak hingga banyaknya bilangan bulat negatif B tak berhingga, banyak garis yang melalui titik pusat C tak berhingga, 1 / 0 = ~ Teacher Give you one, Book Give You More

62 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
Theorema n(A  B) = n(A) + n(B) n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) - n(A  C) - n(B  C) + n(A  B  C) Teacher Give you one, Book Give You More

63 A B A B C A B n(A  B  C) = n(A  C) n(B) = n(B  C) = n(A  B)
Teacher Give you one, Book Give You More

64 Aljabar Himpunan No Keterangan Rumus 1. Hukum Idempotent A  A = A
2. Hukum Asosisatif A  ( B  C ) = (A  B)  C A  ( B  C ) = (A  B )  C 3. Hukum Distributif A  (B  C) = ( A  B )  ( A  C ) A  (B  C) = ( A  B )  ( A  C ) 4. Hukum Identitas A  Ø = A A  Ø = Ø A  U = U A  U = A 5. Hukum Involusi (Ac) c = A 6. Hukum Komplemen A  Ac = U A  Ac = Ø Uc = Ø Øc = A 7. Dalil Demorgan ( A  B)c = Ac  Bc ( A  B)c = Ac  Bc Teacher Give you one, Book Give You More

65 Gunakan hukum-hukum aljabar untuk membuktikan identitas berikut :
Ex. Gunakan hukum-hukum aljabar untuk membuktikan identitas berikut : ( A  Ø )  ( B  A ) = A Penyelesaian : ( A  Ø )  ( B  A ) ( A  Ø )  ( A  B ) Hukum Assosiatif A  (Ø  B) Hukum Distributif A  Ø Hukum Identitas A -----Terbukti ( A  Ø )  ( B  A ) = A----- Teacher Give you one, Book Give You More

66 Perhatikan himpunan-himpunan berikut : A = { jas, topi, payung }
B = { sepatu, jas, sarung tangan, syal } C = { baju, topi, sarung tangan, syal } D = { jas, sepatu } Tentukan A  B dan B  C (A  C)  (B\ C) B \ (A  D) C \ B A` Teacher Give you one, Book Give You More

67 Mengacu pada himpunan-himpunan berikut : A = { M, W, F, S }
B = { S, SU } C = { M, T, W, TH, F } D = { W, TH, F, S } Dimana himpunan semesta U = { M (mon), T (tues), W (wed), TH (thurs.), F (fri.), S (Sat.), SU (Sun.) } Tentukan A  B dan A  C B  C dan B  D A` dan B` C` dan D’ A \ B dan (A\B)  D (C  D) Teacher Give you one, Book Give You More

68 Tugas Perhatikan asumsi-asumsi berikut ini :
S1 = semua ahli matematika adalah orang yang menarik S2 = hanya orang-orang yang tidak menarik yang menjadi penjual asuransi S3 = setiap orang jenius adalah ahli matematika Tunnjukkan kebenaran dari setiap kesimpulan berikut dengan diagram venn Orang penjual asuransi bukan ahli matematika Beberapa orang jenius adalah penjual asuransi Beberapa orang jenius adalah orang yang menarik Teacher Give you one, Book Give You More

69 S1 S3 Orang Yang menarik Ahli matematika Orang jenius S2 Orang Yang tidak menarik Penjual asuransi

70 a) b) c) Penjual asuransi Ahli matematika Orang jenius Penjual
menarik

71 a) S2 S1 S3 Penjual asuransi Orang jenius Ahli matematika Orang Yang tidak menarik Orang Yang menarik

72 b) S1 S2 S3 Orang Yang tidak menarik Ahli matematika Penjual asuransi Orang jenius Orang Yang menarik

73 c) S1 S2 S3 Orang Yang tidak menarik Ahli matematika Penjual asuransi Orang jenius Orang Yang menarik