FMIPA Universitas Indonesia

Presentasi berjudul: "FMIPA Universitas Indonesia"— Transcript presentasi:

1 FMIPA Universitas Indonesia
TURUNAN DI Rn FMIPA Universitas Indonesia

2 Turunan Berarah dan Vektor Gradien
Materi Turunan di Rn Fungsi n Variabel Limit dan Kekontinuan Turunan Parsial Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia

3 Tujuan Instruksional Khusus
Mahasiswa mampu Memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut. Merepresentasikan sebuah fungsi dua peubah sebagai grafik permukaan, dan membuat sketsa kurva ketinggian dengan bantuan TIK. Memvisualisasikan grafik permukaan dan kurva ketinggian secara tepat. Menghitung turunan parsial dan gradien Menggunakan gradien untuk mencari bidang singgung, turunan berarah, dan menginterpretasikan secara geometri Hanya digunakan di Universitas Indonesia

4 Tujuan Instruksional Khusus
Mahasiswa mampu: Menggunakan aturan rantai untuk mengevaluasi turunan fungsi n peubah. Mencari dan mengklasifikasikan titik kritis dari fungsi multivariabel dengan menggunakan uji turunan kedua. Menggunakan metode Lagrange untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi multivariabel dengan kendala. Menggunakan metode kuadrat terkecil untuk melakukan prediksi. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

5 Hanya digunakan di Universitas Indonesia
FMIPA Universitas Indonesia Fungsi n Variabel Hanya digunakan di Universitas Indonesia

6 Fungsi-2 Variabel Fungsi dua variabel : adalah aturan f yang mengaitkan setiap pasangan terurut di daerah asal D yang berupa bidang dengan tepat sebuah bilangan real, ditandai oleh Himpunan nilai-nilai f disebut jangkauan. disebut variabel bebas fungsi dan z adalah variabel terikat. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

7 CONTOH 1 : Mencari daerah asal fungsi
Tentukanlah daerah asal dari fungsi . Penyelesaian Daerah asal dari f adalah semua (x,y) sedemikian sehingga y ^2 -x ≥ dan titik (2,0) tidak termasuk. Dari ketaksamaan y^ x diperoleh daerah adadaaa . Hanya digunakan di Universitas Indonesia

8 Grafik Fungsi Dua Variabel
Grafik fungsi dua variabel adalah gambar dari persamaan berupa permukaan di ruang dengan koordinat titiknya adalah yang memenuhi persamaan Setiap titik di daerah asal berkorespondensi dengan tepat satu titik z. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

9 Contoh 2 : Sketsa grafik fungsi
Sketsalah grafik dari Penyelesaian : Cari titik-titik potong bidang terhadap sumbu-sumbu koordinat Cartesius seperti berikut : Titik potong bidang dengan sumbu x, y dan z adalah : (0,0,6),(0,12,0),(18,0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

10 Contoh 3 : Sketsa grafik fungsi
Sketsalah grafik dari . Penyelesaian Mula-mula gambar grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan Berikutnya gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda, misalnya z=1, z=2, z=3, dst., dengan daerah alas berbentuk lingkaran x^2/+/y^2/=/9-z/ Hanya digunakan di Universitas Indonesia

11 Contoh 3(Lanjutan) Bila kita perhatikan kedua grafik ini, grafik persamaan menjadi grafik paraboloida. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

12 Contoh 4 : Sketsa grafik fungsi
. Sketsalah grafik dari . Penyelesaian Grafik ini ekivalen dengan grafik persamaan 2x^2+y^2+2z^2=4 di atas bidang z=0 Gambar dulu grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan y^2+2z^2=4 Gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda dengan daerah alas berbentuk elips Hanya digunakan di Universitas Indonesia

13 Contoh 4 (lanjutan) Grafik persamaan f menjadi grafik elipsioda.
Hanya digunakan di Universitas Indonesia

14 Kurva Ketinggian Untuk menggambar permukaan dari fungsi seringkali amat sukar. Cara lain yang lebih mudah adalah dengan menggambarkan peta kontur. Setiap bidang z=c memotong permukaan di suatu kurva. Proyeksi kurva ini di bidang-xy disebut kurva ketinggian. Himpunan kurva-kurva ketinggian inilah yang disebut sebagai peta kontur. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

15 Contoh 5 : Sketsa peta kontur
Sketsalah peta kontur untuk seperti pada Contoh 3. Penyelesaian: Gambarlah kurva-kurva dari pada ketinggian z=-4; -3; -2; - 1; 0; 1; 2; 3; dan 4 Kurva-kurva ini berbentuk lingkaran. Peta kontur Hanya digunakan di Universitas Indonesia

16 Contoh 6 Peta kontur untuk
Hanya digunakan di Universitas Indonesia

17 Limit dan Kekontinuan FMIPA Universitas Indonesia
Hanya digunakan di Universitas Indonesia

18 Limit Fungsi Dua Variabel
Secara intuitif, ide limit untuk fungsi dua variabel serupa dengan ide limit pada fungsi satu variabel. Suatu nilai fungsi f(x,y) dikatakan mendekati L apabila (x,y) juga mendekati titik (a,b). Masalah : pada limit fungsi dua variabel, (x,y) menghampiri (a,b) dari segala arah. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

19 Definisi: Limit Fungsi Dua Peubah
Fungsi f(x,y) dikatakan memiliki limit L apabila (x,y) mendekati (a,b) jika: untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap (x,y) di daerah asal f yang memenuhi maka Penulisannya adalah Hanya digunakan di Universitas Indonesia

20 Aljabar Limit Misalkan dan Maka:
Jika m, n adalah bilangan bulat dan n≠0 , maka Hanya digunakan di Universitas Indonesia

21 Aplikasi Aljabar Limit
Bila sifat limit kita aplikasikan pada fungsi polinom atau fungsi rasional, maka menghitung limit fungsi apabila dapat dilakukan dengan menghitung nilai fungsi di Contoh: Carilah Penyelesaian: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

22 Latihan 1. Carilah 2. Tunjukkan
Hanya digunakan di Universitas Indonesia

23 Contoh 7 Tunjukkan bahwa f yang didefinisikan sebagai
tidak memiliki limit di titik asal (0,0). Penyelesaian: Fungsi f memiliki nilai di seluruh bidang kecuali di titik asal (0,0). Nilai f di sumbu-x, kecuali di titik asal, adalah Akibatnya, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

24 Contoh 7 (lanjutan) Nilai f di sumbu-y, kecuali di titik asal, adalah
Sehingga, nilai limit fungsi jika menuju titik asal dari sumbu-y adalah Jadi, fungsi f tidak memiliki limit di (0,0) karena terdapat sembarang titik dekat (0,0) yang bernilai 1, sedangkan titik lain yang juga dekat dengan (0,0) memiliki nilai -1. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

25 Uji Dua Lintasan untuk Ketakberadaan Limit
Jika fungsi memiliki nilai limit yang berbeda dari dua lintasan mendekati , maka tidak ada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

26 Latihan Tunjukkan bahwa fungsi
tidak memiliki limit di titik asal (0,0). Petunjuk: Carilah nilai fungsi f di garis y=mx, dengan m konstanta yang berubah-ubah dan x≠0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

27 Penyelesaian Untuk setiap nilai m , fungsi f bernilai konstan sepanjang garis y=mx, x≠0 karena Nilai limit fungsi f pada saat y=mx berubah-ubah sesuai dengan nilai m, sebab Akibatnya, f tidak punya limit di (0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

28 Kekontinuan Fungsi f dikatakan kontinu di titik (a,b) jika
f terdefinisi di (a,b) ada Fungsi f dikatakan kontinu apabila f kontinu di setiap titik di daerah asal. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

29 Kekontinuan Secara intuitif, fungsi dua variabel yang kontinu tidak memiliki lompatan, perubahan yang fluktuatif atau perilaku tak terbatas di sekitar (a,b). Fungsi polinom selalu kontinu di setiap di bidang. Fungsi rasional juga kontinu di seluruh bidang kecuali di titik-titik yang memberikan nilai pembaginya sama dengan nol. Dengan menggunakan sifat limit, kita dapat mengatakan bahwa penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian fungsi-fungsi kontinu juga kontinu (dengan mengasumsikan bahwa pembagi nol diabaikan). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

30 TURUNAN PARSIAL FMIPA Universitas Indonesia
Hanya digunakan di Universitas Indonesia

31 Turunan Parsial Bidang y=y0 (PQR) memotong permukaan z=f(x,y) di kurva z=f(x,y0) (busur QR). Kurva ini adalah grafik dari fungsi z=f(x,y0) yang merupakan fungsi satu variabel x. Turunan parsial f terhadap x di titik (x0,y0) adalah turunan biasa dari f(x,y0) terhadap x di x0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

32 Arti geometri turunan parsial
Nilai turunan parsial dari f terhadap x pada titik (x0,y0) memiliki arti geometri: Kemiringan kurva z=f(x,y0) (busur QR) di titik pada bidang y=y0 (PQR). ATAU Laju perubahan dari f di (x0,y0) terhadap x dengan menganggap y tetap yaitu y=y0. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

33 Definisi: Turunan Parsial
Turunan Parsial terhadap x Turunan Parsial terhadap y Turunan parsial f(x,y) terhadap x pada titik (x0,y0) adalah dengan asumsi limitnya ada. Turunan parsial f(x,y) terhadap y pada titik (x0,y0) adalah dengan asumsi limitnya ada. Definisi: Turunan Parsial Hanya digunakan di Universitas Indonesia

34 Contoh 8 : Mencari turunan parsial
Carilah nilai dari ∂f/∂x dan ∂f/∂y di (2,3) dari Penyelesaian : Untuk mencari ∂f/∂x, pandang y sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap x : Untuk mencari ∂f/∂y, pandang x sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap y: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

35 Latihan: Mencari turunan parsial
Cari turunan parsial dan di dari Tentukan dan dari Hanya digunakan di Universitas Indonesia

36 Turunan Parsial dan Kekontinuan
Pada fungsi satu variabel,jika fungsi terturunkan di suatu titik maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Berbeda dengan fakta tersebut, pada fungsi dua atau lebih variabel, turunan parsial terhadap x dan terhadap y di suatu titik tidak menjamin kekontinuan fungsi di titik tersebut. Jika turunan parsial dari z=f(x,y) ada dan turunan parsial tersebut kontinu di seluruh cakram yang berpusat di (x0,y0), barulah kita katakan fungsi kontinu di (x0,y0). Perhatikanlah contoh berikut. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

37 Contoh 9: Menunjukkan turunan parsial f ada tetapi f diskontinu
Misalkan dan ada di titik asal (0,0), yaitu: Nilai f sepanjang garis adalah 0, kecuali di titik (0,0). Maka, Karena dan maka f tak kontinu di (0,0). Namun demikian, turunan parsial dan ada di titik asal (0,0). Hanya digunakan di Universitas Indonesia

38 Turunan Parsial Orde Dua
Ada 4 macam turunan orde dua dari fungsi dua variabel Hanya digunakan di Universitas Indonesia

39 Contoh 10 : Menghitung turunan parsial
Carilah turunan parsial kedua dari fungsi Penyelesaian : Hanya digunakan di Universitas Indonesia

40 Keterturunan Pada fungsi dua variabel, keterturunan juga berkaitan dengan eksistensi bidang singgung. Namun, keterturunan fungsi dua variabel memerlukan lebih dari sekedar turunan parsial yang hanya menyatakan perilaku f dari dua arah saja. Dengan demikian, eksistensi turunan parsial tidak menjamin keterturunan suatu fungsi dua variabel. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

41 ATURAN RANTAI FMIPA Universitas Indonesia
Hanya digunakan di Universitas Indonesia

42 Aturan Rantai Aturan Rantai Hanya digunakan di Universitas Indonesia

43 Contoh 11 : Penggunaan aturan rantai
Misalkan dengan , , carilah Penyelesaian Fungsi z ,x,dan y adalah fungsi polinom yang terturunkan maka Hanya digunakan di Universitas Indonesia

44 Contoh 12 : Penggunaan aturan rantai
Jika dengan, , carilah ∂z/∂s dan ∂z/∂t. Penyelesaian Karena fungsi x dan y adalah fungsi polinom yang terturunkan dan z adalah fungsi logaritma yang juga terturunkan, maka ∂z/∂s dan ∂z/∂t ada. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

45 Contoh 12 (lanjutan) Hanya digunakan di Universitas Indonesia

46 Turunan Fungsi Implisit
Misalkan mendefinisikan secara implisit y sebagai fungsi dari x. Maka turunannya: Hanya digunakan di Universitas Indonesia

47 Contoh 13 : Mencari turunan fungsi implisit
Carilah dy/dx dari persamaan berikut : Penyelesaian Kita turunkan kedua ruas secara implisit seperti berikut. Kemudian dengan menyelesaikan persamaan tersebut kita peroleh nilai dy/dx, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

48 TURUNAN BERARAH & VEKTOR GRADIEN
FMIPA Universitas Indonesia TURUNAN BERARAH & VEKTOR GRADIEN Hanya digunakan di Universitas Indonesia

49 Turunan Berarah & Vektor Gradien
Mencari turunan berarah dengan vektor gradien Vektor Gradien Hanya digunakan di Universitas Indonesia

50 Turunan Berarah Turunan parsial fungsi dua variabel terhadap-x memiliki arti geometri sebagai laju perubahan f dalam arah i (arah sumbu- x) Bagian ini adalah mempelajari laju perubahan f dalam sebarang arah vektor u Limit ini, jika ada, adalah turunan berarah dari f di p dalam arah u. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

51 Arti geometri turunan berarah
Vektor u menyatakan garis L pada bidang-xy yang melalui (x0, y0). Bidang yang melalui L dan tegak lurus bidang-xy memotong permukaan z=f(x,y) pada kurva C. Garis singgung di titik (x0, y0, f(x0, y0)) memiliki kemiringan Duf(x0, y0). Jadi, Duf(x0, y0) menyatakan laju perubahan f pada arah u. Hanya digunakan di Universitas Indonesia

52 Vektor Gradien Misalkan dan turunan parsial di .
Gradien dari f di p adalah Hanya digunakan di Universitas Indonesia

53 Arti geometri vektor gradien
Gradien dari f di p , , adalah suatu vektor Di setiap titik pada domain, adalah vektor normal terhadap kurva ketinggian yang melalui Hanya digunakan di Universitas Indonesia

54 Aljabar Gradien Perkalian dengan konstanta α
Penjumlahan dan pengurangan Perkalian Pembagian Hanya digunakan di Universitas Indonesia

55 Mencari turunan berarah dengan vektor gradien
Misalkan f terturunkan di Maka f mempunyai turunan berarah di p dengan arah vektor satuan dan yaitu Hanya digunakan di Universitas Indonesia

56 Contoh 14 : Mencari turunan berarah
Carilah turunan berarah dari di titik dengan arah Penyelesaian Gradien dari f adalah Gradien f di adalah Jadi, Hanya digunakan di Universitas Indonesia

57 SELESAI Hanya digunakan di Universitas Indonesia