Distribusi Beta, t dan F.

Presentasi berjudul: "Distribusi Beta, t dan F."— Transcript presentasi:

1 Distribusi Beta, t dan F

2 Distribusi Beta Misalkan X1 dan X2 adalah variabel-variabel random yang independen dan masing-masing mempunyai distribusi Gamma dengan parameter (α,1) dan (β,1), α>0, β>0. Maka, p.d.f dari X 1 adalah :

3 P.d.f dari X2 adalah : sehingga, p.d.f bersama dari X1 dan X2 adalah :
Dimana α>0 dan β>0.

4 Misalkan Y1 = X1+X2 , Y2 = X1/(X1+X2).
Akan ditunjukkan bahwa Y1 dan Y2 independen. - A={(x1,x2): h(x1,x2)>0}. Transformasinya : y1=x1+x2, y2=x1/(x1+x2) dari A pada B ={(y1,y2):0 <y1< , 0 < y2 < 1}. Inversnya : x1= y1y2 , x2= y1(1-y2) Jacobian :

5 - Transformasi tersebut adalah transformasi satu-satu yang memetakan dari A ={(x1,x2):0<x1<∞, 0<x2< ∞} ke B ={(y1,y2):0<y1<∞, 0<y2< 1}. - Jadi, pdf bersama dari Y1 dan Y2 adalah : g(y1,y2)=h(y1y2,y1(1-y2))|J|

6 Ini adalah pdf dari distribusi Beta dengan
Karena g(y1,y2)=w(y1)v(y2) , maka Y1 dan Y2 independen Akan dicari pdf marginal dari Y2 . Ini adalah pdf dari distribusi Beta dengan parameter α dan β

7 Karena Y1 dan Y2 independen maka g(y1,y2)=g1(y1)g2(y2) pdf marginal dari Y1 adalah Yang merupakan pdf dari distribusi gamma dengan parameter (α+β) dan 1

8 Perhatikan distribusi dari Y2, yaitu distribusi beta dengan parameter α dan β. Dapat dibuktikan bahwa : Mean = Variansi =

9 Distribusi t Misalkan W~N(0,1) dan V~ Misalkan W dan V independen. Maka p.d.f bersama dari W dan V adalah :

10 Didefinisikan variabel random baru, yaitu : , akan dicari distribusi dari T Didefinisikan variabel random baru lagi yaitu U=V. A= {(w,v): } Sehingga transformasinya : Inversnya adalah :

11 Maka, Transformasinya adalah satu-satu yang memetakan dari A={(w,v): } ke B = {(t,u): }.

12 Maka, p.d.f bersama dari T dan U adalah :

13 p.d.f marginal dari T adalah : misalkan

14 Distribusi yang mempunyai pdf : Disebut berdistribusi t.

15 Distribusi F Misalkan U~ dan V~ Misalkan U dan V saling bebas. Maka, p.d.f bersama dari U dan V adalah :

16 Didefinisikan variabel random Akan dicari distribusi dari W
Didefinisikan variabel random Akan dicari distribusi dari W. Untuk mencari distribusi dari W, didefinisikan variabel random baru yaitu Z=V. A={(u,v):0<u< ∞, 0<v< ∞} transformasinya adalah : inversnya adalah :

17 Transformasinya adalah transformasi satu-satu dari A={(u,v):0<u< ∞, 0<v< ∞} ke B={(w,z):0<w< ∞, 0<z< ∞}. Jacobian : atau

18 Maka, pdf bersama dari W dan Z adalah :

19 Pdf marginal dari W adalah : Misalkan,

20

21 Distribusi yang mempunyai bentuk pdf seperti diatas disebut distribusi F.

22 - Distribusi Beta mempunyai 2 parameter
Note: - Distribusi Beta mempunyai 2 parameter - Distribusi t mempunyai 1 parameter yaitu r - Distribusi F mempunyai 2 parameter yaitu - Pada slide 18, baris kedua dari bawah, seharusnya z tidak ada lagi sesudah