Pengantar Persamaan Diferensial (PD)

Presentasi berjudul: "Pengantar Persamaan Diferensial (PD)"— Transcript presentasi:

1 Pengantar Persamaan Diferensial (PD)

2 Materi Persamaan Diferensial
Definisi PD PD Eksak Faktor Integrasi

3 DEFINISI Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung fungsi yang tidak diketahui dan turunannya. Contoh. 𝑎. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥+5 𝑏. 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 +3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +6𝑦=0 𝒚 adalah variabel terikat dan 𝒙 adalah variabel bebas.

4 Persamaan Diferensial Parsial
Contoh. 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 =0 𝒖 adalah variabel terikat dan 𝒙 dan 𝒚 adalah variabel bebas.

5 ORDER Persamaan Diferensial
Order (tingkat) persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan diferensial. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥+5 1 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +6𝑦=0 2

6 DEGREE Persamaan Diferensial
Degree (derajat) persamaan diferensial adalah pangkat dari suku dengan order tertinggi dalam persamaan diferensial. PERSAMAAN DIFERENSIAL DEGREE 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥+5 1 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +6𝑦=0 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦+7=0

7 Solusi Integrasi Langsung
Soal 1. Selesaikan PD berikut: d𝑦 d𝑥 =2𝑥+5 Solusi d𝑦= 2𝑥+5 d𝑥 d𝑦 = 2𝑥+5 d𝑥 𝑦+ 𝐶 1 = 𝑥 2 +5𝑥+ 𝐶 2 𝑦= 𝑥 2 +5𝑥− 𝑪 𝟏 + 𝑪 𝟐 𝑦= 𝑥 2 +5𝑥+𝑪

8 Persamaan Diferensial Eksak …(1)
Persamaan 𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦=0 (1) disebut PD eksak bila terdapat fungsi 𝑓 𝑥,𝑦 dimana turunan totalnya adalah 𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦, yaitu d𝑓 𝑥,𝑦 = 𝜕𝑓 𝑥,𝑦 𝜕𝑥 d𝑥+ 𝜕𝑓 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 d𝑦=𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦

9 Persamaan Diferensial Eksak …(2)
UJI KE – EKSAK – AN Persamaan: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah PD EKSAK jika 𝜕𝑀 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝑥,𝑦 𝜕𝑥

10 Soal 2. Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
2𝑥+3𝑦 d𝑥+ 3𝑥+4𝑦 d𝑦=0 Solusi Uji keEKSAKan 𝜕𝑀 𝜕𝑦 =3 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =3 sama ⟹Persamaan Diferensial EKSAK

11 Solusi soal 2. Mencari fungsi f 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =𝑀 ⟺ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 =2𝑥+3𝑦 ⟺𝜕𝑓= 2𝑥+3𝑦 𝜕𝑥
⟺ 𝜕𝑓 = 2𝑥+3𝑦 𝜕𝑥 ⟺𝑓= 𝑥 2 +3𝑥𝑦+𝒉 𝒚 Ditambah fungsi ℎ 𝑦 karena turunan fungsi 𝑓 terhadap 𝑥 adalah nol

12 Faktor Integral …(1) Jika persamaan 𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦=0 bukan PD eksak, maka dapat dijadikan PDE. Persamaan di atas dikalikan dengan faktor integral.

13 Faktor Integral …(2) Misal 𝑈 𝑥,𝑦 adalah faktor integral, maka 𝑈 𝑥,𝑦 𝑀 𝑥,𝑦 d𝑥+𝑈 𝑥,𝑦 𝑁 𝑥,𝑦 d𝑦=0 adalah PD eksak. Sehingga 𝜕 𝑈 𝑥,𝑦 𝑀 𝑥,𝑦 𝜕𝑦 = 𝜕 𝑈 𝑥,𝑦 𝑁 𝑥,𝑦 𝜕𝑥 atau 𝑈 𝜕𝑀 𝜕𝑦 +𝑀 𝜕𝑈 𝜕𝑦 =𝑈 𝜕𝑁 𝜕𝑥 +𝑁 𝜕𝑈 𝜕𝑥 maka diperoleh 𝑈 𝑥,𝑦 =− 𝑀 𝜕𝑈 𝜕𝑦 −𝑁 𝜕𝑈 𝜕𝑥 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥

14 Faktor Integrasi …(3) Kondisi Faktor Integral 1 𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =𝑓 𝑥
1 𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =𝑓 𝑥 𝑈= 𝑒 𝑓 𝑥 d𝑥 − 1 𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =𝑔 𝑦 𝑈= 𝑒 𝑔 𝑦 d𝑦 𝑈=𝑈 𝑥,𝑦 ℎ 𝑉 =− 𝜕𝑀 𝜕𝑦 − 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝑀 𝜕𝑉 𝜕𝑦 −𝑁 𝜕𝑉 𝜕𝑥 𝑈= 𝑒 ℎ V dV

15 Soal 3. Selesaikan persamaan di bawah ini 4𝑥𝑦+3 𝑦 2 −𝑥 d𝑥+𝑥 𝑥+2𝑦 d𝑦=0

16 Pengumuman BAHAN UAS SISTEM KOORDINAT PENGANTAR PERSAMAAN DIFERENSIAL