Analisa Data Statistik Chap 9a: Estimasi Statistik (Interval Kepercayaan Sampel Tunggal) Agoes Soehianie, Ph.D.

Presentasi berjudul: "Analisa Data Statistik Chap 9a: Estimasi Statistik (Interval Kepercayaan Sampel Tunggal) Agoes Soehianie, Ph.D."— Transcript presentasi:

1 Analisa Data Statistik Chap 9a: Estimasi Statistik (Interval Kepercayaan Sampel Tunggal)
Agoes Soehianie, Ph.D

2 Daftar Isi Inferensi Statistik

3 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan Rata-Rata Populasi (σ diketahui)
Case1 : Diberikan sampel berukuran cukup besar (n≥30) yg diambil dari populasi dengan distribusi normal , yang memiliki variansi populasi σ2..Jika rata-rata sampel adalah xs, maka interval keyakinan (confidence interval) 100(1-α)% untuk rata-rata populasi μ akan diberikan oleh: 1-α α/2 -Zα/ μ Zα/2 Distribusi rata-rata sampel akan normal, dengan nilai rata-rata (populasi) μ dengan STD σ. Terdapat probabilitas (1-α) bahwa rata-rata sampel berukuran n akan terletak antara –zα/2 dan zα/2 : P (–zα/2<Z<zα/2) = 1-α dengan

4 Arti Interval Kepercayaan Rata-Rata Populasi
Apakah arti interval kepercayaan rata-rata populasi yg diperoleh? Sebab tiap sampel berukuran n yg kita ambil akan menghasilkan interval bagi μ yg berbeda! Sedangkan nilai μ yg sebenarnya mungkin tak pernah diketahui? No sampel 5 4 3 2 1 μ

5 Taksiran Error bagi μ dan ukuran sampel
Teorema: Jika dipakai sebagai taksiran untuk μ, maka kita bisa yakin (confident) dengan tingkat keyakinan (confidence level) 100(1-α)% bahwa error (E= x-μ ) yg terjadi tidak akan lebih besar dari Kita bisa yakin dengan tingkat keyakinan 100(1- α)% bahwa error dalam menaksir μ dengan memakai rata-rata sampel tidak melebihi (errornya!) E (=x-μ) jikalau ukuran sampelnya:

6 Contoh. Rata-rata konsentrasi kandungan Zinc sebuah sungai yg diambil dari 36 lokasi adalah 2.6 gr/ml. Carilah interval kepercayaan 95% dan 99% untuk menaksir nilai rata-rata konsentrasi kandungan Zinc sungai tsb, jikalau dari survei-survei sebelumnya diketahui standard deviasinya adalah 0.3 gr/ml. Jawab. Xs = 2.6, σ=0.3

7 Contoh. Berapakah ukuran sampel yg harus dipakai, jikalau taksiran rata-rata populasi dalam contoh sebelumnya diinginkan tak lebih dari 0.05 dengan tingkat keyakinan 95%?

8 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan Sebelah untuk Rata-Rata Populasi
Case2 : Diberikan sampel berukuran cukup besar (n≥30) yg diambil dari populasi dengan distribusi normal , yang memiliki variansi populasi σ2..Jika rata-rata sampel adalah xs, maka interval keyakinan sebelah (confidence interval) 100(1-α)% untuk rata-rata populasi μ akan diberikan oleh: 1-α α μ Zα 1-α α -Zα μ Kasus-kasus interval kepercayaan dengan ekor tunggal seperti ini terjadi bilamana kesalahan taksiran dalam satu arah (terlalu tinggi) atau terlalu rendah penting.

9 Contoh. Ekor tunggal Dalam sebuah eksperimen psikologi untuk mengukur kecepatan waktu reaksi sesorang, dilakukan percobaan thd 25 orang secara acak. Data dari survei survei sebelumnya menunjukkan variansi waktu reaksi adalah 4 detik2 dengan distribusi waktu reaksi normal. Dari percobaan ini didapati rata-rata waktu reaksi adalah 6.2 detik. Berikanlah batas atas dengan tingkat kepercayaan 95% bagi waktu reaksi populasi. –tα/2 Jawab. n=25, σ2 = 4, xs = 6.2 Batas atas dengan tingkat kepercayaan 95% (jadi α=5%) adalah: Ini berarti kita bisa yakin 95% bahwa rata-rata waktu reaksi sebenarnya < detik

10 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan Rata-Rata Populasi (σ TAK diketahui tapi ukuran sampel n>30) Jika standard deviasi populasi (σ) .TAK diketahui, asalkan ukuran sampel besar maka standard deviasi sampel S bisa dipakai sebagai pengganti. Hal ini bahkan cukup baik walaupun distribusi populasinya tidak normal. Seluruh rumus yg telah diturunkan yg melibatkan σ bisa dipakai dengan mengganti σ dengan S dari sampel. Confidence interval untuk rata-rata Taksiran besar Error Ukuran sampel diperlukan

11 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan Rata-Rata Populasi (σ TAK diketahui dan ukuran sampel kecil)
Jika diberikan sampel berukuran kecil (n<30) tapi diambil dari populasi dengan distribusi normal , dan tidak diketahui variansi populasi, maka variansi populasi S2 bisa dipakai sebagai pengganti σ2, akan tetapi distribusi yg dipergunakan adalah distribusi student t..Jika rata-rata sampel adalah xs, maka interval keyakinan (confidence interval) 100(1-α)% untuk rata-rata populasi μ akan diberikan oleh: 1-α α/2 -tα/ μ tα/2 bahwa rata-rata sampel berukuran n akan terletak antara –tα/2 dan tα/2 : Dengan probabilitas: P (–zα/2<Z<zα/2) = 1-α dimana variabel t adalah: tα/2 adalah nilai variabel t dengan luas ekor kanan α/2

12 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan Rata-Rata Populasi (σ TAK diketahui dan ukuran sampel kecil)
Confidence interval untuk rata-rata Taksiran besar Error Ukuran sampel diperlukan

13 Interval untuk Prediksi
Dalam pengukuran yg dilakukan dari data yg terdistribusi normal dan rata-rata populasi tidak diketahui μ dan variansi yg diketahui σ2, maka interval prediksi nilai yg akan muncul dari 1 kali pengukuran di masa depan dengan interval kepercayaan 100(1-α)% adalah: Dalam pengukuran yg dilakukan dari data yg terdistribusi normal dan rata-rata populasi tidak diketahui μ dan dan variansi populasi juga tak diketahui, maka interval prediksi nilai yg akan muncul dari 1 kali pengukuran di masa depan dengan interval kepercayaan 100(1-α)% adalah: Dengan derajat kebebasan bagi distribusi student t adalah n-1

14 Problem Seorang petugas QC meneliti sampel 29 pak daging sapi yg diklaim mengandung lemak dibawah 5%, jadi dagingnya 95%. Ternyata rata-rata sampel kandungan dagingnya 96.2%, dengan standard deviasi sampel 0.8%. Jika diasumsikan kandungan daging terdistribusi normal, buatlah interval prediksi 99% untuk hasil pengukuran kandungan daging pada 1 kali pengukuran berikutnya.

15 Contoh Sampel 50 buah dari kredit yg diberikan oleh Bank FirstBank ternyata rata-rata sampel Rp ribu. Asumsikan standard deviasi populasi untuk besar kredit adalah Rp ribu. Carilah interval prediksi 95% besarnya kredit yg diinginkan oleh seorang nasabah yg akan mengajukan kredit berikutnya? Jawab: n=50, σ = , xs= 257 α = 0.05 dengan nilai α ini maka zα/2 = z0,.025= 1.96 Kita hitung Dan – < x0 <

16 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan untuk Rata-Rata Proporsi dalam distribusi Binomial
Dalam sebuah distribusi binomial, misalnya di populasi fraksi atau proporsi yang “sukses” adalah P. Sedangkan dari sampel random n buah didapat jumlah “sukses” adalah x, maka proporsi sampel p=x/n menjadi taksiran bagi proporsi populasi P. Jika proporsi populasi yg “sukses” P tidak terlalu dekat ke-0 atau 1 maka kita bisa mempergunakan distribusi normal untuk membuat interval kepercayaan bagi proporsi P populasi dari proporsi sampel p. “Rata-rata” proporsi populasi = μP = P Rata-rata sampel untuk proporsi = p dengan p+q=1 Variansi distribusi “rata-rata” proporsi σP2 = pq/n Maka interval kepercayaan 100(1-α)% untuk sampel besar (n≥30) untuk proporsi populasi p (yg menyatakan prosentasi “sukses”) diberikan oleh

17 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan untuk Rata-Rata Proporsi dalam distribusi Binomial
Keterangan: Variabel normal (standardize) untuk proporsi sampel “sukses” p yg diambil dari populasi dengan proporsi “sukse” P dengan variansi σP2 adalah : Rumus ini berlaku untuk p atau q yg tidak terlalu dekat 0 atau 1. Sebagai patokan rumus ini dipakai bilamana pn atau qn ≥5

18 Contoh. Sampel random 500 keluarga pemilik pesawat TV mendapati 340 berlangganan saluran HBO. Tentukan interval kepercayaan 95% bagi prosentase yg sebenarnya dari pelanggan HBO. Jawab. Diket. p = 340/500 = berarti q= 1-p = 0.32 dan α = 5% Sehingga zα/2 = Z = 1.96, Dan σP = √(pq/n)= √(0.68*0.32/500) Maka interval kepercayaan 95% p - Z0.025 σP < P < p + Z0.025 σP 0.64 < P < 0.72

19 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan untuk Rata-Rata Proporsi dalam distribusi Binomial
ERROR JIka p adalah proporsi “sukses” dalam sampel maka kita yakin 100(1-α)% bahwa error dalam menggunakan p sebagai penaksir proporsi di populasi tidak akan lebih dari Zα/2 √(pq/n) UKURAN SAMPEL JIka ditentukan tingkat ERROR yg ditolerir maksimum adalah E, maka kita bisa yakin proporsi sampel p sebagai penaksir proporsi populasi dengan tingkat keyakinan 100 (1-α)% jika ukuran sampel yg dipakai sekitar: Rumus ini berlaku untuk p atau q yg tidak terlalu dekat 0 atau 1. Sebagai patokan rumus ini dipakai bilamana pn atau qn ≥5

20 Contoh Bilamana dalam survei TV (HBO) sebelumnya yg memiliki proporsi yg berlangganan (p) di sampel = 0.68, berapakah ukuran sampel yg harus digunakan jikalau diinginkan dengan tingkat kepercayaan 95% taksiran terhadap prosentase pelanggan HBO (P) akurat dalam batas ±2%. Jawab. Kita pakai rata-rata sampel yaitu p=0.68 sebagai penaksir parameter P populasi, berarti E = 0.02, dan α=5% sehingga Zα/2 = Z0.025 =1.96 Berarti ukuran sampel dengan tingkat kepercayaan 95% adalah:

21 Batas Atas Error dan Ukuran Sampel
Seringkali kita tak punya taksiran untuk P, sehingga dalam menentukan ukuran sampel kita pakai “worst case scenario”. Nilai pq maksimum bilamana p=1/2 dan berarti q=1/2 yaitu pq=1/4. Jadi untuk menentukan ukuran sampel n yg diperlukan agar dengan tingkat keyakinan 100(1-α)% diperoleh ketelitian hasil (error) tidak melebihi E (error margin) maka ukuran sampel yg harus digunakan adalah:

22 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan untuk estimasi Variansi
JIka sampel ukuran n diambil dari populasi dengan variansi σ2, kemudian dari sampel dihitung variansinya S2, maka taksiran interval bagi σ2 diperoleh dari distribusi variabel statistik X2 Terdapat probabilitas 1-α, maka X2 akan terletak antara χ21-α/2 dan χ2α/2 : P(χ21-α/2 < X2 < χ2α/2) = 1-α, dimana χ2α/2 adalah nilai variabel chi-squared dengan luas ekor kanan α/2 dan derajat kebebasan n-1. Berarti interval kepercayaan 100(1-α)% untuk σ2 yg ditaksir berdasarkan sampel ukuran n yg diambil dari populasi dengan distribusi normal dan memiliki variansi sampel s2 adalah:

23 Sampel Tunggal : Interval Kepercayaan untuk estimasi Variansi
1-α α/2 α/2 χ1-α/22 χα/22 χ2

24 Contoh. Berikut adalah bobot dari 10 sampel obat-obatan yg didistribusikan sebuah perusahaan: 46.4, 46.1 , 45.8, 47.0, dan 46.0 kg. Asumsikan distribusi bobot adalah normal, tentukan interval kepercayaan 95% bagi variansi dari bobot obat-obatan tsb. Jawab: Pertama kita hitung variansi sampel: No Xk Xk^2 1 46.4 2 46.1 3 45.8 4 47 2209 5 6 45.9 7 8 46.9 9 45.2 10 46 2116 SUM 461.2 Sum^2 n= S^2= (nSxx- Sx^2)/(n(n-1)) Sx^2=

25 Contoh. Interval kepercayaan 95% berarti α=5%, jumlah data n=10, berarti derajat kebebasan v=n-1= 9. Dari tabel diperoleh untuk v=9: χ = dan χ = 2.7 Sehingga interval kepercayaan 95% bagi taksiran nilai variansi populasi σ2 adalah: Atau < σ2 < 0.953