PERTEMUAN VI Analisa Dualitas dan Sensitivitas Definisi Masalah Dual

Presentasi berjudul: "PERTEMUAN VI Analisa Dualitas dan Sensitivitas Definisi Masalah Dual"— Transcript presentasi:

1 PERTEMUAN VI Analisa Dualitas dan Sensitivitas Definisi Masalah Dual
Relasi Primal Dual Interpretasi Variabel Dual dan Constraint Dual

2 Tujuan Menjelaskan relasi antara simpleks primal dan simpleks dual

3 Teori Dualitas Latar Belakang : setiap model LP memiliki model LP lain yang saling berkaitan (dual)  (yang semula PRIMAL juga memberi solusi pada DUAL nya).

4 Definisi Dual Definisi dual akan bergantung pada: Jenis pembatas

5 Definisi Masalah Dual Permasalahan LP yang diturunkan secara matematis dari satu model LP Primal. Bentuk umum LP Primal: Max or Min z =

6 Definisi Masalah Dual (cont’d)
Model dual diperoleh secara simetris dari model primal dgn mengikuti aturan berikut: Untuk setiap batasan primal terdapat 1 var. dual. Untuk setiap var. primal terdapat 1 batasan dual. Koefisien batasan dari 1 var. primal membentuk koefisien sisi kiri dari batasan dual yg bersesuaian; dan koefisien tujuan dari variabel yg sama menjadi sisi kanan dari batasan dual.

7 Definisi Masalah Dual (cont’d)
Variabel Primal x1 x2 xj Sisi kanan batasan dual xn c1 c2 …. cj cn a11 a12 a1j a1n b1 a21 a22 a2j a2n b2 . b3 am1 am2 amj amn b4 Variabel Dual Sisi kiri batasan dual Batasan Dual ke-j Tujuan Dual

8 Tabel Konv. Primal Dual Dual Tujuan Batasan Variabel Maksimasi
Tujuan Primal Std Dual Tujuan Batasan Variabel Maksimasi Minimasi ≥ Tdk dibatasi ≤

9 Contoh: Primal Max z = 5x1 + 12x2 + 4x3 Batasan x1 + 2x2 + x3 ≤ 10 2x1 - x2 + 3x3 = 8 x1 ,x2 , x3 ≥ 0

10 Primal Standard Konversi ke bentuk standar: Max z = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1 Batasan x1 + 2x2 + x3 + s1 = 10 2x1 - x2 + 3x3 + 0s1 = 8 x1 ,x2 , x3 , s1, ≥ 0 Dual Min w = 10y1 + 8y2 Batasan y1+ 2y2 ≥ 5 2y1 - y2 ≥ 12 y1+ 3y2 ≥ 4 y1 ≥ 0 y2 tidak dibatasi

11 Dual Min w = 10y1 + 8y2 Batasan x1 : y1+ 2y2 ≥ 5 x2 : 2y1 - y2 ≥ 12 x3 : y1+ 3y2 ≥ 4 s1 : y1+ 0y2 ≥ 0 y1 ,y2 tidak dibatasi

12 Dual (Cont’d) Min w = 10y1 + 8y2 Batasan y1+ 2y2 ≥ 5 2y1 - y2 ≥ 12 y1+ 3y2 ≥ 4 y1 ≥ 0 y2 tidak dibatasi

13 Interpretasi Ekonomi Dua Indikator Ekonomi : dual price & reduced cost
Dual price mewakili nilai per unit dari sumber daya LP -> model Dual Reduced Price mewakili penurunan dalam biaya per unit sumber daya yang diperlukan (atau kenaikan dalam pengembalian marginal) untuk membuat sebuah kegiatan sumber daya LP(var) sekedar menguntungkan. -> model primal

14 Bentuk Primal RM Max z = 3xE + 2x I+ 0s1+ 0s2+ 0s3+ 0s4 Batasan xE + 2x I+ s1 = 6 2xE + x I + 1s2 = 8 -xE + x I + s3 = 1 x I + s4 = 2 xE , x I, s1, s2, s3, s4 ≥ 0 Dual: Min z = 6y1 + 8y2 + y3 + 2y4 Batasan: Y1 + 2y2 – y3 >= 3 2y1 + y2 + y3 +y4 >= 2 y1, y2, y3, y4 >= 0

15 Bentuk Dual RM Min z = 6y1 + 8y2 + y3 + 2y4 Batasan: Y1 + 2y2 –y3 >= 3 2y1 + y2 +y3 +y4 >= 2 y1,y2,y3,y4 >= 0

16 Iterasi Optimal Model RM Primal
Basis xE xI s1 s2 s3 s4 Solusi z 1/3 4/3 122/3 1 2/3 -1/3 -1 -2/3 10/3 3 Cj 2 Cj-Zj -4/3 Nilai Cj-Zj pada kolom s1 -1/3 berarti apabila dilakukan penambahan pada ketersediaan maksimum bahan mentah A, maka akan mengurangi laba sebesar 1/3.

17 Solusi Dual dapat dilihat dari tabel optimal Simpleks Primal yaitu nilai cj-zj pada kolom s1 & s2 (cell yg berwarna kuning). s1 dan s2 mewakili var slack pada constraint ketersediaan bahan mentah A dan bahan mentah B. Apabila iterasi Simpleks dual dijalankan, maka nilai w adalah 12 2/3 (=nilai z) dengan y1 =1/3 dan y2=4/3, sedangkan y3 dan y4 =0. Hal ini berarti untuk menambah ketersediaan bahan mentah A sebanyak 1 ton/hari, diperlukan biaya $1/3 ribu

18 Analisis Sensitivitas
Terdapat beberapa perubahan yang berhubungan dengan sensitivitas dari LP. Yang dibahas kali ini yaitu: Perubahan NBV pada keofisien fungsi tujuan Perubahan BV pada keofisien fungsi tujuan

19 Contoh: Max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 Batasan 8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 4x1 + 2x x3 ≤ 20 2x x x3 ≤ 8 x1 ,x2 , x3 ≥ 0

20 Penyelesaian Konversi ke bentuk standar: Max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 Batasan 8x1 + 6x2 + x3 + s1 = 48 4x1 + 2x x3 + s2 = 20 2x x x3 + s3 = 8

21 Tabel Iterasi 2 (Optimal)
BV x1 x2 x3 s1 s2 s3 Solusi z 1 5 10 280 -2 2 -8 24 -4 8 1.25 -0.5 1.5 BV = s1, x3 , x1 NBV = x2, s2, s3

22 Perubahan NBV Pada Koefisien Fungsi Tujuan
NBV = x2. Koefisien f. tujuan = 30  C2 Jika C2 diubah, bagaimana pengaruhnya terhadap solusi optimal? Perubahan c2 dari 30  30+∆ tidak akan mengubah harga pembatas kanan dan Matriks B-1 yang diperoleh dari iterasi terakhir untuk variabel basis (s1, s2 , s3). Satu-satunya variabel yang berubah karena perubahan c2 adalah x2

23 Perubahan Koefisien BV Pada Fungsi Tujuan
Bagaimana apabila c1 & c3 yang mewakili koeefisien x1 dan x3 dirubah?