Operations Research Linear Programming (LP)

Operations Research Linear Programming (LP)
Dosen Febriyanto, SE. MM.

Linear Programming Linear programing (LP) adalah salah satu metode matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Salah satu ciri khususnya yaitu berusaha mencari maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya. LP digunakan untuk menguji/menyelesaikan model untuk mencari alternatif keputusan yang dapat mengoptimalkan sifat maksimum atau minimum dari fungsi tujuan. Suatu penyelesaian masalah LP perlu dibentuk formulasi secara matematik dari masalah yang sedang dihadapi dengan memenuhi syarat sebagai berikut: Adanya variabel keputusan yang dinyatakan dalam simbul matematik dan variabel keputusan ini tidak negatif. Adanya fungsi tujuan dari variabel keputusan yang menggambarkan kriteria pilihan terbaik. Fungsi tujuan ini harus dapat dibuat dalam satu set fungsi linear yang dapat berupa maksimum atau minimum. Adanya kendala sumber daya yang dapat dibuat dalam satu set fungsi linear.

Linear Programming Aplikasi Model LP
Masalah product mix atau kombinasi produksi, yaitu menentukan berapa jumlah dan jenis produk yang harus dibuat agar diperoleh keuntungan maksimum atau biaya minimum dengan memperhatikan sumber daya yang dimiliki. Masalah perencanaan investasi, yaitu berapa banyak dana yang akan ditanamkan dalam setiap alternatif investasi, agar memaksimumkan Return On Investment atau Net Present Value dengan memperhatikan kemampuan dana tersedia dan ketentuan setiap alternatif. Masalah perencanaan produksi dan persediaan, yaitu menentukan berapa banyak produk yang akan diproduksi setiap periode, agar meminimumkan biaya persediaan, sewa, lembur dan biaya subkontrak.

Linear Programming Aplikasi Model LP
Masalah perencanaan advertensi/promosi, yaitu berapa banyak dana yang akan dikeluarkan untuk kegiatan promosi, agar diperoleh efektivitas penggunaan media promosi. Masalah diet, yaitu berapa banyak setiap sumber makanan digunakan untuk membuat produk makanan baru. Masalah pencampuran, yaitu berapa banyak jumlah setiap bahan yang akan digunakan untuk membuat bahan baru. Masalah distribusi/transportasi, yaitu jumlah produk yang akan dialokasikan ke setiap lokasi pemasaran.

Linear Programming Asumsi Model LP Linearitas:
Fungsi tujuan (objective function) dan kendala (constraint equations) dapat dibuat dalam satu set fungsi linear. Divisibility: nilai variabel keputusan dapat berbentuk pecahan atau bilangan bulat (integer). Nonnegativity: nilai variabel keputusan tidak boleh negatif atau minimal = nol. Certainty: Semua keterbatasan maupun koefisien variabel setiap kendala dan fungsi tujuan dapat ditentukan secara pasti.

Linear Programming Formulasi Model LP
Membuat formulasi model LP atau model matematik LP, terdapat tiga langkah utama yang harus dilakukan, yaitu: Tentukan variabel keputusan atau variabel yang ingin diketahui dan gambarkan dalam simbul matematik. Tentukan tujuan dan gambarkan dalam satu set fungsi linear dari variabel keputusan yang dapat berbentuk maksimum atau minimum. Tentukan kendala dan gambarkan dalam bentuk persamaan linear atau ketidaksamaan linear dari variabel keputusan. Perumusan model LP ini adalah kunci keberhasilan dalam menyelesaikan masalah dengan metode LP, dan untuk dapat merumuskan model LP secara tepat diperlukan banyak latihan, karena setiap masalah yang dihadapi akan memiliki model yang berbeda.

Formulasi Model Linear Programming
Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Perusahaan Maspion merencanakan untuk memproduksi tiga jenis produk peralatan dapur yang membutuhkan tenaga kerja dan bahan baku, tabel berikut rincianya: Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari sebanyak 400 kg, sedangkan kapasitas jam tenaga kerja yang dimiliki adalah 300 jam perhari. Bagaimana merumuskan model LP, agar diperoleh keuntungan maksimum dari produksi harian. Keterangan Jenis Produk A B C Jam Tenaga Kerja Bahan Baku Keuntungan (Rp) 4 2 40 3 30 20

Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Menentukan variabel keputusan atau kegiatan yang ingin diketahui adalah produksi harian dari jenis produk. Misalkan: x1 = jumlah produksi harian produk A x2 = jumlah produksi harian produk B x3 = jumlah produksi harian produk C Menentukan tujuan, yaitu maksimum keuntungan dengan anggapan semua produksi laku terjual. Fungsi tujuan berbentuk maksimum, dirumuskan sebagai berikut: Zmak = 40x1 + 30x2 + 20x3

Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Menentukan kendala, yaitu jam tenaga kerja dan bahan baku. Produk A membutuhkan 4x1 jam tenaga kerja. Jenis B membutuhkan 3x2 jam tenaga kerja dan Jenis C membutuhkan 2x3 jam tenaga kerja Kebutuhan jam tenaga kerja total adalah 4x1 + 3x2 + 2x3 dan tidak boleh melebihi 300 jam perhari. Sehingga fungsi kendala jam tenaga kerja adalah: 4x1 + 3x2 + 2X3 ≤ 300 Demikian pula dengan bahan baku, produk A membutuhkan 2x1 produk B membutuhkan 2x2 dan produk C membutuhkan 3x3. Sehingga fungsi kendala bahan baku adalah 2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 400

Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi Dari ketiga langkah tersebut, secara lengkap model LP masalah kombinasi produksi perusahaan Maspion dapat dirumuskan sebagai berikut: Zmak = 40x1 + 30x2 + 20x3 d.k. (1) 4x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 300 (jam tenaga kerja) (2) 2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 400 (bahan baku) (3) x1; x2; x3 ≥ 0 (non negativity)

LP Metode Grafik Maximisasi
Masalah Kombinasi Produk: Perusahaan Maspion menghasilkan tigajenis produk, yaitu A, B dan C. Ketiga jenis produk membutuhkan dua sumber daya, yaitu tenaga kerja dan bahan baku: Penyediaan bahan baku yang dapat dilakukan per hari 400 kg, kapasitas jam kerja 300 jam per hari. Buat formulasi LP? Jawab: Zmak = 40 A + 30 B + 20 C 1). 4A + 3 B + 2 C ≤ 300 (jam Tenaga Kerja) 2). 2A + 2 B + 3 C ≤ 400 (bahan baku) 3). A, B, C, ≥ 0 (non negativity) Keterangan Jenis Produk A B C Jam tenaga kerja Bahan baku Keuntungan 4 2 40 3 30 20

Linear Programming Metode Grafik
Contoh. Masalah Product Mix. PT. VENUS adalah pabrik yang memiliki dua jenis produk yaitu Astro dan Cosmos. Untuk memproduksi kedua produk, diperlukan bahan baku X, bahan baku Y dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku X adalah 60 kg per hari, bahan baku Y 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan bahan baku dan jam tenaga kerja, dapat dilihat dalam Tabel berikut. Produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 untuk Astro dan Rp.30 untuk cosmos. Bagaimana menentukan jumlah produk yang akan diproduksi dalam setiap hari agar mencapai laba max.

Sumbangan keuntungan Astro Rp 40,00 dan Rp30,00 Cosmos X1 = Astro X2 = Cosmos Zmax = 40x1 + 30x2 d.k [1] 2X1 + 3X2 ≤ 60 (bahan baku A) [2] 2X2 ≤ 30 (bahan baku B) [3] 2X1 + 1X2 ≤ 40 (jam tenaga kerja) [4] X1 ≥ 0 (nonnegativity) [5] X2 ≥ 0 (nonnegativity).

Sebuah perusahaan merencanakan memproduksi dua jenis produk dengan harga jual produk A Rp 500 dan produk B Rp 400. Biaya variabel kedua jenis produk 60% dari harga jual. Setiap produk diproses melalui tiga departemen produksi, yaitu departemen I, departemen II dan departemen III yaitu pengujian produk akhir. Setiap jenis produk membutuhkan waktu pemrosesan dan kapasitas jam tenaga kerja perminggu untuk departemen I dan II adalah sebagai berikut: Untuk menjaga keseimbangan produksi, manajer menetapkan bahwa paling sedikit satu unit produk B untuk setiap tiga unit produk A. Khusus untuk jam tenaga kerja departemen III, yang menggunakan tenaga kerja kontrakan, telah disepakati bahwa paling sedikit penggunaan jam tenaga kerja sebanyak 650 jam perminggu. Kebijakan manajer lainnya adalah ditetapkan bahwa kedua jenis produk tersebut diproduksi paling sedikit atau minimum 50 unit setiap minggu. Bagaimana formulasi model LP, agar diperoleh keuntungan maksimum?. Keterangan Jenis Produk Kapasitas (Jam) A B Departemen I Departemen II Departemen III 2 5 8 4 3 750 900 -

Penyelesaian Contoh 1. Masalah kombinasi produksi
1. Menentukan variabel keputusan, yaitu: X1 = jumlah produksi mingguan produk A x2 = jumlah produksi mingguan produk B 2. Menentukan fungsi tujuan, keuntungan yang diperoleh setiap kali memproduksi dan menjual Produk A adalah Rp (60% x 500) = Rp 200. Produk B adalah Rp (60% x 400) = Rp 160. Fungsi tujuan dapat dirumuskan sebagai berikut: Zmak = 200x x2

Menentukan fungsi kendala, dalam kasus ini terdapat lima jenis kendala, yaitu kendala minimum produksi, jam kerja departemen I, jam kerja departemen II, jam kerja departemen III, dan keseimbangan produksi. (1) x1 + x2 ≥ 50 (produksi minimum) (2) 2x1 + 4x2 ≤ 750 (departemen I) (3) 5x1 + 3x2 ≤ 900 (departemen II) (4) 8x1 + 2x2 ≥ 650 (departemen III) (5) 3x1 - b ≥ 0 (keseimbangan produksi)

Secara lengkap formulasi model LP sebagai berikut: Zmak = 200x1+ 160x2 Dk (1) x1 + x2 ≥ 50 (2) 2x1 + 4x2 ≤ 750 (3) 5x1 + 3x2 ≤ 900 (4) 8x1 + 2x2 ≥ 650 (5) 3x1 - x2 ≥ 0 (6) X1, X2 ≥ 0

1. Paling sedikit 0,6% calcium tetapi tidak boleh lebih dari 1,2%
Salah satu pemakaian LP yang berhasil adalah dalam menyelesaikan masalah pencampuran bahan untuk mendapatkan bahan baru atau masalah komposisi bahan yang digunakan. Misalnya, perusahaan membutuhkan 500 kg makanan ternak per hari dan makanan tersebut harus mengandung: 1. Paling sedikit 0,6% calcium tetapi tidak boleh lebih dari 1,2% 2. Paling sedikit 24% protein, 3. Paling banyak 5% serat. Ketiga bahan di atas dapat diperoleh dari kapur (calcium carbonat), jagung dan kacang kedelai. Kandungan gizi per kg dari ketiga bahan tersebut adalah sebagai berikut: Bagaimana formulasi LP agar diperoleh komposisi bahan yang membuat biaya seminimum mungkin. Bahan Calsium Protein Serat Harga/kg Kapur Jagung K. Kedelai 0.34 0.001 0.002 0.09 0.50 0.02 0.08 Rp. 325 Rp. 900 Rp

Penyelesaian Contoh 3. Masalah Komposisi Bahan
1. Variabel keputusan: X1 = jumlah kapur yang dibutuhkan untuk membuat 500 kg makanan ternak X2 = jumlah jagung yang dibutuhkan untuk membuat 500 kg makanan ternak X3 = jumlah kacang kedelai yang dibutuhkan untuk membuat 500 kg makanan ternak 2. Fungsi tujuan Zmin = 325X X X3

3. Fungsi kendala 1) 0.34X X X3 ≥ 0.006(500) Atau 0.34X X X3 ≥ 3 2) 0.34X X X3 ≤ 0.012(500) Atau 0.34X X X3 ≤ 6 3) X X3 ≥ 0.24(500) Atau X X3 ≥ 120 4) X X3 ≥ 0.05(2500) Atau X X3 ≥ 125

Secara lengkap formulasi model LP dari masalah komposisi bahan tersebut, sebagai berikut: Zmin = 325X X X3 d.k. (1) 0.34X X X3 ≥ 3 (B. Calsium) (2) 0.34X X X3 ≤ 6 (B. Calsium) (3) X X3 ≥ 120 (B. Kapur) (4) X X3 ≥ 125 (B. K. Kdlai) (5) X1, X2, X3 ≥ 0 (nonnegatif)

Linear programing (LP) adalah salah satu metode matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Metode Grafik: Masalah Maximisasi Langkah mencari solusi optimal secara grafik adalah sebagai berikut: Langkah [1]. Gambarkan kendala dan tentukan daerah yang layak (feasible solution space). Langkah [2]. Gambarkan garis fungsi tujuan. Langkah [3]. Dapatkan solusi optimal, dengan cara mencari nilai variabel keputusan yang dapat memaksimumkan fungsi tujuan.

Contoh. Masalah Product Mix. PT. VENUS adalah pabrik yang memiliki dua jenis produk yaitu Astro dan Cosmos. Untuk memproduksi kedua produk, diperlukan bahan baku X, bahan baku Y dan jam tenaga kerja. Maksimum penyediaan bahan baku X adalah 60 kg per hari, bahan baku Y 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan bahan baku dan jam tenaga kerja, dapat dilihat dalam Tabe berikut. Produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40,00 untuk Astro dan Rp30,00 untuk cosmos. Masalahnya, bagaimana menentukan jumlah produk yang akan diproduksi dalam setiap hari agar mencapai laba max.

Sumbangan keuntungan sebesar Rp 40,00 untuk Astro dan Rp30,00 untuk cosmos Z mak = 40x1 + 30x2 d.k [1] 2X1 + 3X2 ≤ 60 (bahan baku A) [2] 2X2 ≤ 30 (bahan baku B) [3] 2X1 + 1X2 ≤ 40 (jam tenaga kerja) [4] X1 ≥ 0 (nonnegativity) [5] X2 ≥ 0 (nonnegativity).

Langkah 1: Menggambarkan grafik kendala Kendala 1: Bahan baku A. Kendala 2x1 + 3x2 ≤ 60  2x1 + 3x2 = 60. Bila x1 = 0, Maka x2 = 60/3 = 20 Bila x2 = 0, Maka x1 = 60/2 = 30.

Kendala 2: Bahan baku B. Kendala 2x2 ≤ 30 2x2 = 30, x2 = 30/2 X2 = 15.

Kendala 3: Jam tenaga kerja. 2x1 + 1x1 ≤ 40 2x1 + 1x2 = 40 bila xl = 0, maka x2 = 40/1 = 40 bila x2 = 0, maka xl = 40/2 = 20

Langkah 2: Daerah feasible (feasible solution space) adalah daerah yang diliputi oleh semua kendala. Untuk mendapatkan daerah ini, kita ambil setiap daerah feasible yang terdapat pada ketiga gambar. Daerah feasible terletak pada ersilangan ketiga gambar tersebut. Dalam Gambar 3.4 daerah feasible adalah titik ABCDE.

Langkah 3. Mendapatkan solusi optimal [1] 2x1 + 3x2 = 60 [3] 2x1 + 1x2 = 40 - 2x2 = 20 X2 = 10 Masukkan X2 = 10 ke dalam salah satu persamaan: 2x1 + 3(10) = 60 2x = 60 => 2x1 = 60 – 30 => 2x1 = 30 x1 = 15. Nilai optimum fungsi tujuan dapat ditemukan dengan memasukkan x1 = 15 dan x2 = 10 ke dalam fungsi tujuan Z: Z = 40(15) + 30(10) Z = Z = 900

Setelah melakukan analisa, secara praktis dapat disimpulkan bahwa: Kombinasi produk optimum (optimum product mix) adalah memproduksi 15 astro dan 10 cosmos setiap hari, dengan maksimum keuntungan per hari Rp900,00.

Masalah Maksimum Keuntungan: Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis produk, yaitu G dan T. Kedua jenis produk diproses melalui tiga departmen dengan kapasitas jam kerja serta waktu proses setiap produk adalah sebagai berikut: Kedua jenis produk, memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp. 30 untuk G dan Rp. 20 untuk T. Bagaimana kombinasi pengerjaan agar memperoleh keuntungan maksimum. Keterangan Jenis Produk Kapasitas (jam) G T Dept. Pencampuran Dept. Penyaringan Dept. Penyelesaian 1 2 40 25

Masalah Maksimum Keuntungan: Kedua jenis produk, memberikan sumbangan keuntungan sebesar Rp. 30 untuk G dan Rp. 20 untuk T. Bagaimana kombinasi pengerjaan agar memperoleh keuntungan maksimum. Formulasi LP Zmak = 30G + 20T d.k. (1) G + 2T ≤ 40 (2) 2G + T ≤ 40 (3) G + T ≤ 25 (4) G ; T ≥ 0 Keterangan Jenis Produk Kapasitas (jam) G T Dept. Pencampuran Dept. Penyaringan Dept. Penyelesaian 1 2 40 25

Formulasi LP Zmak = 30G + 20T d.k. (1) G + 2T ≤ 40 (2) 2G + T ≤ 40 (3) G + T ≤ 25 (4) G ; T ≥ 0 Kendala 1 G + 2T ≤ 40, atau G + 2T = 40 G = 0,  T = 20; dan jika T = 0,  G = 40 Kendala 2 2G + T ≤ 40, atau 2G + T = 40 Jika G = 0,  T = 40; dan jika T = 0,  G = 20 Kendala 3 G+T ≤ 25, atau G + T = 25 Jika G = 0,  T = 25; dan jika T = 0,  G = 25

Fungsi tujuan Zmak = 30G + 20T, Jika Z = Rp 300, Jika produk T = 0, produk G = 10. Jika produk G = 0, produk T = 15.

Jika grafik fungsi tujuan digeser kekanan menjauhi titik origin, maka titik ekstrim C merupakan titik ekstrim optimum, yaitu titik yang disinggung oleh garis fungsi tujuan yang terjauh dari titik nol. Titik ekstrim C, terbentuk dari perpotongan garis kendala departemen penyaringan dan penyelesaian. 2G + T = (15) + T = 40 G + T = T = 10 G = 15 Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa untuk mendapatkan keuntungan maksimum produk G yang harus diproduksi sebanyak 15 unit dan produk T sebanyak 10 unit, dengan total keuntungan sebesar: Zmak = 30G + 20T Zmak = 30(15) + 20(10) = Zmak = Rp 650

Linear programing (LP) adalah salah satu metode matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam pengambilan keputusan. Salah satu ciri khususnya yaitu berusaha mencari maksimisasi keuntungan atau minimisasi biaya. LP digunakan untuk menguji/menyelesaikan model untuk mencari alternatif keputusan yang dapat mengoptimalkan fungsi tujuan. Kata optimal dipakai untuk menonjolkan sifat maksimum atau minimum dari fungsi tujuan.

Metode Grafik: Masalah Minimisasi
Penggunaan metode grafik untuk menyelesaikan masalah minimisasi pada prinsipnya sama dengan masalah maksimisasi. Perbedaan terletak pada langkah 3 dalam hal penentuan solusi optimum. Solusi optimum masalah maksimisasi tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible yang terjauh dari titik origin. Sedangkan masalah minimisasi, solusi optimum tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible yang terdekat dengan titik origin.

Penyelesaian Masalah Minimisasi Langkah 1. Gambarkan semua kendala Langkah 2. Gambarkan garis fungsi tujuan Langkah 3. Dapatkan solusi optimum, dengan cara mencari nilai variabel keputusan yang dapat meminimumkan fungsi tujuan.

Seorang ahli penata diet merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu makanan A dan makanan B. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Jenis makanan A paling sedikit diproduksi 2 unit dan jenis makanan B paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel 3.2 berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan.

Formulasi LP Zmin = 100x1 + 80x2 d.k [1] 2x1 + 1x2 ≥ 8 (vitamin) [2] 2x1 + 3x2 ≥ 12 (protein) [3] x1 ≥ 2 (makanan A) [4] x2 ≥ 1 (makanan B) [5] x1 ≤ 0 (nonnegativity) [6] x2 ≤ 0 (nonnegativity)

Langkah 1 menggambarkan grafik kendala. [1] 2x1 + 1x2 ≥ 8 (vitamin) 2x1 + 1x2 = 8,  xl = 0 2(0) + 1x2 = 8 . 1X2 = 8 . X = 8 2x1 + 1x2 = 8,  x2 = 0 2x1 + 1(0) = 8 2x1 = 8 . X1 = 4

Langkah 1 menggambarkan grafik kendala. [2] 2x1 + 3x2 ≥ 12 (protein) 2x1 + 3x2 = 12  xl = 0 2(0) + 3x2 = 12 . 3X2 = 12 . X = 4 2x1 + 3x2 = 12  x2 = 0 2x1 + 3(0) = 12 2x1 = 12 . X1 = 6

Langkah 1 menggambarkan grafik kendala. [3] X1 ≥ 2 (makanan A) X1 = 2 [4] X2 ≥ 1 (makanan B) X2 = 1

Langkah 2 fungsi tujuan. Z min = 100x1 + 80x2. Langkah 3 mencari nilai minimum Z Kombinasi optimum (xl dan x2) adalah pada titik B yaitu persilangan garis kendala [1] dan [2]. [1] 2x x2 = 8 [2] 2x x2 = 12 - -2x2 = -4 x2 = 2 Masukkan x2 = 2 kedalam persamaan [1] 2x1 + 1(2) = 8 2x1 = 8-2 2x1 = 6 X1 = 3

Langkah 2 fungsi tujuan. Z min = 100x1 + 80x2 Z min = 100(3) + 80(2) Z min = Z min = 460 Jumlah kombinasi optimum dari makanan A adalah 3 unit dan makanan B sebanyak 2 unit. Total biaya minimum adalah Rp.460.

Operations Research Linear Programming (LP)

Presentasi serupa

Presentasi berjudul: "Operations Research Linear Programming (LP)"— Transcript presentasi:

Presentasi serupa

Tentang proyek

Tanggapan

Masuk

Otorisasi melalui jaringan sosial:

Operations Research Linear Programming (LP)

Presentasi serupa

Presentasi berjudul: "Operations Research Linear Programming (LP)"— Transcript presentasi:

Presentasi serupa

Tentang proyek

Tanggapan